Организация поисковой и рефлексивной деятельности учащихся при решении планиметрических задач

№ 3, Заслуженный учитель России Т.Ю.Пупанова,
доктор педагогических наук. заведующий кафедрой

МОМ и ИТ И.Е. Малова,
Брянск, 2010

на рисунок все данные: Хорда АВ и диаметр MN одной

и той же окружности не пересекаются, а точка пересечения прямых АМ и ВN равноудалена от концов хорды АВ на расстояние 3. Найдите радиус окружности, если ∠АNМ = 30° (С.89, вариант 1, С4).

Попробуйте в течение 5 минут обнаружить способ решения задачи

Получилось!

Почему?

Не получилось…

Что делать?

о них известно?”, “Что можно найти по данным задачи?”, заполнив

схему 1. Нанесите обнаруженные данные на рисунок

Какие фигуры образовались на чертеже?

Что известно о данных фигурах?

Схема 1

Что можно найти по данным задачи?

Δ АКВ

Δ МАN

Вписанные углы ∠АNМ, ∠АВN, …

Секущие КМ и КN

Равноб, КВ = 3

Прям-й, ∠А = 90°, ∠N = 30°

∠АNМ = 30°, ∠АВN = =½ ∪АМN

∠АКN =
=½ (∪МN – ∪АВ)

∠АМN = 60°,
АМ = ½ МN

60°

∪АМ = 60°,
∠АВN = ½ (60° + 180) = 120°

120°

60°

60°

АВ ⎜⎟ МN

Перестроить чертеж

Составьте план решения задачи

тема

– равносторонний.
В Δ МКN проведена высота NА. Из соображений симметрии,

выполним дополнительное построение, соединив точки М и В.

Аналогично тому, что NА высота, можно доказать, что МВ – высота Δ МКN.
Из планиметрии известно, что треугольник, образованный основаниями двух высот остроугольного треугольника и его вершиной, подобен данному. Значит, Δ МКN подобен ΔАКВ. По условию ΔАКВ равнобедренный, значит, Δ МКN – равнобедренный. Но в Δ МКN угол АМN = 600, значит, Δ МКN – равносторонний.

на рисунок все данные: Четырехугольник МNРК вписан в окружность, его

диагонали пересекаются в точке А. Найдите АР, если NР = 6; МА = 9 и МР – биссектриса угла NМК и в четырехугольник МNРК можно вписать окружность (С.96, вариант 4, С4)

Рис.2 а

Попробуйте в течение 5 минут обнаружить способ решения задачи

Получилось!

Почему?

Не получилось…

Что делать?

Проанализируем способ организации поиска

?

точке А
3. МР – биссектриса угла NMK
4. В четырехугольник можно

вписать окружность

Что можно узнать из
данного условия?

Что можно узнать из полученного условия?

5.Суммы противополож-ных углов равны 1800

13. Учитывая условие 12,
∠1 + ∠3 = 900 , значит,
∠N =900

6. Можно использовать свойство секущих: NA∙AK = MA∙AP

7. ˘ NP = ˘PK

8. Можно использовать свойство биссектр.
∆ МNК:
NA:AK= MN: MK

10. NP = PK(равные дуги стягивают равные хорды),
PK = 6, ∆NPK - равнобедренный

9. Можно использовать свойство описанного четырехугольника: NP + MK = MN + PK

11. Учитывая усл.10,
MK = MN,∆ MNK- равнобедренный.

12. Учитывая усл. 3, МА – высота и медиана ∆ MNK. Надо изменить рис.

на рисунок все данные: В треугольнике АВС проведена медиана АМ.

Известно, что АВ = 7, АС = 5, АМ = 2. Чему равны площади частей, на которые медиана делит треугольник? (С.103, вариант 7, С4).

Попробуйте в течение 5 минут обнаружить способ решения задачи

Получилось!

Почему?

Не получилось…

Что делать?

Проанализируем способ организации поиска

7, АС = 5, АМ = 2. Чему равны площади

частей, на которые медиана делит треугольник? (С.103, вариант 7, С4).

Нужно знать площадь всего треугольника, т.к. части, на которые медиана делит тр-к, равновелики

Что нужно знать, чтобы найти площадь всего треугольника, зная две его стороны?

Нужно знать длину третьей стороны или угол между ними.

Зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону.

Зная три стороны треугольника, найдите его площадь.

3. Зная площадь треугольника, найти площади частей, на которые делит медиана треугольник, учитывая, что части равновелики.

равна сумме квадратов всех его сторон
1
2
3

не является привычной, обозначьте

ее какой-нибудь буквой и временно отбросьте. Изобразите фигуры, участвующие в задаче без этой величины, и нанесите на рисунок оставшиеся данные. Выясните свойства треугольника, у которого высота и медиана, проведенные из одной и той же вершины треугольника, делят его угол на три равные части ( №349, уч-к Л.С.Атанасян, 7 – 9 кл), отвечая на вопросы: “Какие фигуры образовались на чертеже?”, “Что о них известно?”, “Что можно узнать по данным задачи?”, “Что можно узнать по полученным условиям?”. (Вопросы и ответы занесите в таблицу).

АСВ на три равных угла. Длина отрезка СО, где О

– центр вписанной окружности, равна . Найдите площадь треугольника АВС.

Попробуйте обнаружить способ решения задачи

∆ АСК

∆ НСВ

Вывод: если в треугольнике высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части, то…

1. СН – биссектриса и высота

2. ∆ АСК- равнобедренный, СН - медиана

3. ∆НСВ – прямоугольный, СК – биссектриса; КВ в два раза больше КН

4. Можно исп. св-во биссектрисы. Тогда СВ в 2 раза больше СН, значит, ∠СВН = 300

5. Тогда ∠НСВ = 600,а, значит, ∠НСК = ∠КСВ = 300

6. Тогда ∠АСВ = 900, т.е.∆ АСВ- прямоугольный

треугольник является прямоугольным и в нем острые углы 300 и 600.

АВС на три равных угла. Длина отрезка СО, где О

– центр вписанной окружности, равна . Найдите площадь треугольника АВС.

О

про вневписанную окружность

его сторон, называется вневписанной.

Теорема. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении

биссектрис внешних углов при вершинах касаемой стороны и биссектрисы угла при третьей вершине.

сторонами 4, 5, 6. (с.125, вариант 15, С4). Изобразите фигуры,

участвующие в задаче, и нанесите на рисунок все данные.

Попробуйте в течение 5 минут обнаружить способ решения задачи

Получилось!

Почему?

Не получилось…

Что делать?

Задание5

Проверьте, все ли данные нанесены на чертеж

6

5

4

фигуры двумя способами




А
В
С
О1
О2
О3
Р1
К1
К2
К3
4
6
5



r1
r2
r3
Задание5
1. Прочитайте задачу. Найдите произведение радиусов вневписанных окружностей

треугольника со сторонами 4,5,6. (с.125, вариант 15, С4)

Выполните стандартное дополнительное построение: центр вписанной (вневписанной) в треугольник окружности соедините с точками касания.

Какие фигуры образовались на чертеже?

Выполните еще одно стандартное дополнительное построение: центр вписанной (вневписанной) в треугольник окружности соедините с вершинами треугольника.

Что о них известно или может быть найдено?

Составьте план решения задачи

Данные задачи расположены разрозненно, поэтому выполняют дополнительные построения

Достаточно ли в них данных, чтобы провести вычисления?

Как поступают в этом случае?

Площадь какой фигуры можно выразить двумя способами?

План:
1. Выразить S АО1ВС как сумму верхнего и нижнего тр-ка и как сумму левого и правого тр-ка ⇒ r1.
2. Найти анал-но r2 и r3.
3. Ответить на вопрос задачи

3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и

сторон угла. Изобразите фигуры, участвующие в задаче, и нанесите на рисунок все данные.

С

А

В

О1

К

G

L

F

E

M

Сравните свой рисунок с предложенным

4

3

О

Какие фигуры образовались на чертеже?

?

?

радиус вписанной окружности.
2. Используя метод площадей, найти радиус вневписанной окружности.
3.

Ответить на вопрос задачи.

Случай 1

∆ АВС

Окр.
(О1; r =О1К)

2.Вписанная в ∆АВС.

3.Формула связи между площадью тр-ка и радиусом вписанной окр.

1.Прямоугольный,
<С = 900, АС=3,ВС=4

4. АВ = 5 по теореме Пифагора

5

5. Учитывая 4, SАВС; р

6. Учитывая 3 и 5,
r = S∆/p

Случай 2

Составьте план решения задачи

Данные задачи расположены разрозненно, поэтому выполняют стандартные дополнительные построения

Достаточно ли данных, чтобы провести вычисления?

Как поступают в этом случае?

Составить уравнение помогает метод площадей: выразить площадь известного треугольника как сумму или разность площадей нескольких треугольников, основаниями которых являются стороны известного треугольника