Разделы презентаций

Перпендикулярность прямых и плоскостей (10 класс)

Содержание

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.Теорема 3.1 Если две пересекающие прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.aba1b1 CC1AA1BB1

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Слайд 2Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым

углом.
Теорема 3.1 Если две пересекающие
прямые параллельны соответственно
двум перпендикулярным

прямым,
то они тоже перпендикулярны.



a

b

a1

b1







C

C1

A

A1

B

B1

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.Теорема 3.1 Если две пересекающие прямые параллельны

Слайд 3
Задача № 3 (П 14). Прямые АВ, АС

и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если АВ

= 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.

А

В

С

D


Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC.
АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.




3 см

7 см

1,5 см

Найти CD.

?


Решение: 1) АВС – прямоугольный,


по теореме Пифагора АС2 = ВС2 – АВ2 = 49 – 9 = 40, АС = см.




2) АСD – также прямоугольный,





по теореме Пифагора СD2 = AC2 + AD2 =
= 40 + 2,25 = 42,25. CD = cм = 6,5 см.



Ответ: CD = 6,5 см.

Задача № 3 (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок

Слайд 4
Задача № 3 2) (П 14). Прямые АВ, АС

и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если

ВD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см.

А

В

С

D


Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC.
BD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см.




16 см

5 см

Найти CD.

?


Решение: 1) АВD – прямоугольный,


по теореме Пифагора АB2 = ВD2 – АD2 = 81 – 25 = 56, АС = см.




2) АСB – также прямоугольный,


по теореме Пифагора AC2 = BC2 - AB2 =
= 256 - 56 = 200. AC = cм.



Ответ: CD = 15 см.

9 см





3) ACD – прямоугольный, CD2 = AC2 +AD2= = 200 + 25 = 225, CD = 15 см.


Задача № 3 2) (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите

Слайд 5Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой

плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной

плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости




Перпендикулярность прямой и плоскости.Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая

Слайд 6Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 3.2 Если прямая перпендикулярна двум

пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

a





b

c

x

C

X

B

A

A1

A2

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.Теорема 3.2 Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она

Слайд 7Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

Теорема 3.3 Если плоскость перпендикулярна одной

из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

a1
a2
A1
A2
x2
x1



Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.Теорема 3.3 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна

Слайд 8
Теорема 3.4 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,

параллельны.

а
b
• С
b1
В
В1

Теорема 3.4 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.аb• Сb1ВВ1

Слайд 9Перпендикуляр и наклонная.




А
В
С

АВ - перпендикуляр, расстояние от точки до плоскости.
В

– основание перпендикуляра.
АС – наклонная, С- основание наклонной.
ВС – проекция

наклонной
Перпендикуляр и наклонная.АВСАВ - перпендикуляр, расстояние от точки до плоскости.В – основание перпендикуляра.АС – наклонная, С- основание

Слайд 10
Задача Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 15

см и 20 см. Разность проекций этих наклонных равна 7

см. Найдите проекции наклонных.



А

В

20 см

С

15 см

7 см

О


Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости


АО , АВ = 20 см, АС = 15 см, ВС = 7 см.



Найти: ВО и СО.


Решение:

1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .



p = (a+b+c)/2 = (20+15+7)/2 = 21 см.





= 7·6 = 42 см2.

2)



, АО = 2·42/7 = 84/7 = 12 см.

12 см

АOС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС2 = АС2 – АО2 = 225 – 144 = 81,


ОС = 9 см.

4) ОВ = ВС + ОС = 7 + 9 = 16 см.

Ответ: 9 см и 16 см.

9 см





Задача Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 15 см и 20 см. Разность проекций этих

Слайд 11
Задача 24 2) Из точки к плоскости проведены две наклонные.

Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции

наклонных равны 1 см и 7 см.



А

В

2 х

С

1 х

7 см

О


Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости


АО , АВ : АС = 2 : 1, ВО = 7 см, СО = 1 см.



Найти: АВ и АС.


Решение:













Ответ: 4 см и 8 см.

1 см






Пусть АВ = 2х см, АС = х. В АВО АО2 = АВ2 – ОВ2 = 4х2 – 49,



В АСО АО2 = АС2 – СО2 = х2 – 1.


Т. к. левые части этих равенств равны, то

равны и правые: 4х2 – 49 = х2 – 1, 3х2 = 48, х2 = 16, х = 4.

Таким образом, АС = 4 см, АВ = 8 см.

Задача 24 2) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как

Слайд 12
Задача 23 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные

10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна

9 см. Найдите проекции наклонных.



А

В

17 см

С

10 см

9 см

О


Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости


АО , АВ = 17 см, АС = 10 см, ВС = 9 см.



Найти: ВО и СО.


Решение:

1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .



p = (a+b+c)/2 = (17+10+9)/2 = 18 см.





= 9·4 = 36 см2.

2)



, АО = 2·36/9 = 72/9 = 8 см.

8 см

АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС2 = АС2 – АО2 = 100 – 64 = 36,


ОС = 6 см.

4) ОВ = ВС + ОС = 9 + 6 = 15 см.

Ответ: 6 см и 15 см.

6 см

Задача 23 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций

Слайд 13
Задача 24 1) Из точки к плоскости проведены две наклонные.

Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см

больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.



А

В

(х + 26 )см

С

х см

40 см

О


Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости


АО , АС = х см, АВ = х+26 см, СО = 12 см, ОВ = 40 см.



Найти: АВ и АС.


Решение:












Ответ: 15 см и 41 см.

12см





Пусть АС = х см, АВ = (х+26) см. В АВО АО2 = АВ2 – ОВ2 = (х+26)2 – 402,



В АСО АО2 = АС2 – СО2 = х2 – 122.


Т. к. левые части этих равенств равны, то

равны и правые: (х+26)2 – 402 = х2 – 122, х2 +52х+676 – 1600 = х2 -144, 52х = 780, х = 15 см.

Таким образом, АС = 15 см, АВ = 41 см.


Задача 24 1) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них

Слайд 14Теорема о трёх перпендикулярах.

Теорема 3.5 Если прямая, проведённая

на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она

перпендикулярна наклонной.
Обратная теорема
Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.


А

В

С


А1

с


Теорема о трёх перпендикулярах. Теорема 3.5 Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её

Слайд 15
Задача № 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр

AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до

стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см.


А

В

С

D

F

6 см

6 см

6 см

13 см


Дано: АВС – равносторонний, АВ=ВС=АС= 6 см, АD (АВС), АD=13 см.



Найдите: (D; BC).



Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую ВС.

По теореме о трёх перпендикулярах AF BC,


т.к. треугольник АВС- равносторонний, то АF –медиана, т.е. BF=FC= 3 см.

АFC – прямоугольный. По теореме Пифагора AF2 = AC2 – CF2 = 36 – 9 = 27, AF = см.



ADF – прямоугольный, DF2 = AD2 + AF2 = 169 + 27 = 196, следовательно DF = 14 см.


Ответ: 14 см.

Задача № 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от

Слайд 16
Задача . Стороны треугольника 15 см, 26 см и 37

см. Через вершину среднего по величине угла проведён перпендикуляр в

его плоскости, равный 9 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до противоположной стороны.


А

В

С

D

15 см

37 см

26 см

9 см



Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки В опустим перпендикуляр ВF на прямую ВС.

F

По теореме о трёх перпендикулярах DF AC.


BF найдём из треугольника АВС.

Найдём площадь треугольника АВС по формуле Герона.

p = (a+b+c)/2 = (15+26+37)/2 = 39,

S =








= 13·3·4 = 156 (см2).

S= AC·BF,

BF = 2·S/AC= 2·156 / 26 = 12 см.

12 см

Треугольник DFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора DF2 = DB2 + BF2 ,

DF2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.

Ответ: 12 см и 15 см.



Задача . Стороны треугольника 15 см, 26 см и 37 см. Через вершину среднего по величине угла

Слайд 17 Задание на дом:

П. 19,
Задача . Из вершины треугольника АВС
восставлен перпендикуляр

ВD к
плоскости треугольника. Найдите
расстояние от точки D до стороны АС,
если ВD = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.

Задание на дом: П. 19, Задача . Из вершины треугольника

Слайд 18
Задача . Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр ВD к

плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС,

если ВD = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.


А

В

С

D

15 см

20 см

7 см

9 см



Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую АС.

F

По теореме о трёх перпендикулярах BF AC.


BF найдём из треугольника АВС.

Вычислим площадь треугольника АВС по формуле Герона.

p = (a+b+c)/2 = (15+20+7)/2 = 21,

S =







=

=

=

7·6 = 42 (см2).

S= AC·BF,

BF = 2·S/AC= 2·42 / 7 = 12 см.

12 см

Треугольник DFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора DF2 = DB2 + BF2 ,

DF 2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.

Ответ: 15 см.

15 см

Задача . Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр ВD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D

Слайд 19Перпендикулярность плоскостей.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость,

перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым.




с



a

b

Перпендикулярность плоскостей.Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их

Слайд 20

Признак перпендикулярности плоскостей.

Теорема 3.6 Если плоскость проходит через прямую,

перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
b

c
a



Признак перпендикулярности плоскостей.Теорема 3.6 Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Слайд 21
Задача № 59 1) Из точек А и В, лежащих

в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на

прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м.





•

А

•

В

С

D


Дано: , А∈ , В∈ , АС CD, BD CD
АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м.
Найти: АВ.







6 м

7 м

6 м

?


Решение: BCD – прямоугольный,



900

по теореме Пифагора ВС2 = СD2 + BD2,

ВС2 = 36 +49 = 85, ВС = м.


АВС – прямоугольный,



900

по теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2,

АВ2 = 36 + 85 = 121, АВ = 11 м.

Ответ : 11 м.


Задача № 59 1) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС

Слайд 22
Задача Из точек А и В, лежащих в двух

перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения

плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м.





•

А

•

В

С

D


Дано: , А∈ , В∈ , АС CD, BD CD
АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м.
Найти: АВ.







м

5 м

7 м

?



900





900



Задача Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD

Слайд 23
Задача. Из меньшего угла треугольника со сторонами 9 см, 10

см и 17 см восставлен перпендикуляр к его плоскости, равный

15 см. Найдите расстояния от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей противолежащую сторону.

А

В

С

D

9 см

10 см

17 см

Решение:

1) Т.к. АВС - тупоугольный, то перпендикуляр, проведённый из точки В, мы должны провести на продолжение стороны АС.



F

2) Найдём площадь АВС по формуле Герона:


p=(a + b + c): 2= (9 + 10 + 17): 2 = 18 (см),






= 9·4 = 36 см2.

3)



, ВF = (2·S) : АС = (2· 36) : 9 = 8 (см).

4)

DF AC по теореме о трёх перпендикулярах.


DBF – прямоугольный, поэтому



DF 2 = BD 2 + BF 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289,

DF = 17 см.

Ответ: 8 см и 17 см.

8 см

15 см

17 см

Задача. Из меньшего угла треугольника со сторонами 9 см, 10 см и 17 см восставлен перпендикуляр к

Слайд 24
Задание на дом: П 20,

задачи № № 25, 59 3),

Задание на дом: П 20, задачи № № 25, 59 3),

Слайд 25К задаче № 25

А
В

О
С
33 см
23 см

3х

2х

Из точки к плоскости проведены

две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние

от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.

?

К задаче № 25АВОС33 см23 см3х2хИз точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33

Слайд 26
СПАСИБО ЗА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ. До свидания.

СПАСИБО ЗА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ. До свидания.
Теги

Похожие презентации

Учись решать Учись решать 251
Объёмы геометрических тел Объёмы геометрических тел 468
Сложение и вычитание в пределах 20 Сложение и вычитание в пределах 20 252
Поурочный план по математике 6 класс тема Числовые промежутки Поурочный план по математике 6 класс тема Числовые промежутки 323
История возникновения числа История возникновения числа 610
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями Сложение дробей с одинаковыми знаменателями 317
График функции (7 класс) График функции (7 класс) 1252
Дело о делимости Дело о делимости 578
Решение задач на умножение дробей Решение задач на умножение дробей 404
Математика ЕГЭ 2012 Математика ЕГЭ 2012 388
Презентация к уроку алгебры в 9 классе на тему Презентация к уроку алгебры в 9 классе на тему "Определение арифметической и геометрической прогрессии" 258
Урок по теме Урок по теме "Элементы комбинаторики" 297
Показательная функция, её свойства и график Показательная функция, её свойства и график 422
Презентация к уроку математики 2 класс Презентация к уроку математики 2 класс "Умножение" 303
Величины и их измерения. Действия с величинами Величины и их измерения. Действия с величинами 356
Деление и умножение Деление и умножение 380
Составление таблиц прибавления и вычитания двух Составление таблиц прибавления и вычитания двух 311
Рисуем в координатной плоскости Рисуем в координатной плоскости 449
Действия с числами, полученными при измерении Действия с числами, полученными при измерении 318
Отрезок. Длина отрезка. Треугольник Отрезок. Длина отрезка. Треугольник 598

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика