Перпендикулярность прямых и плоскостей (10 класс)

углом.
Теорема 3.1 Если две пересекающие
прямые параллельны соответственно
двум перпендикулярным

a

b

a1

b1

C

C1

A

A1

B

B1

и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если АВ

А

В

С

D

Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC.
АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.

3 см

7 см

1,5 см

Найти CD.

?

Решение: 1) АВС – прямоугольный,

по теореме Пифагора АС2 = ВС2 – АВ2 = 49 – 9 = 40, АС = см.

2) АСD – также прямоугольный,

по теореме Пифагора СD2 = AC2 + AD2 =
= 40 + 2,25 = 42,25. CD = cм = 6,5 см.

Ответ: CD = 6,5 см.

и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если

А

В

С

D

Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC.
BD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см.

16 см

5 см

Найти CD.

?

Решение: 1) АВD – прямоугольный,

по теореме Пифагора АB2 = ВD2 – АD2 = 81 – 25 = 56, АС = см.

2) АСB – также прямоугольный,

по теореме Пифагора AC2 = BC2 - AB2 =
= 256 - 56 = 200. AC = cм.

Ответ: CD = 15 см.

9 см

3) ACD – прямоугольный, CD2 = AC2 +AD2= = 200 + 25 = 225, CD = 15 см.

плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной

пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

a

b

c

x

C

X

B

A

A1

A2

из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

a1
a2
A1
A2
x2
x1

параллельны.

а
b
• С
b1
В
В1

– основание перпендикуляра.
АС – наклонная, С- основание наклонной.
ВС – проекция

см и 20 см. Разность проекций этих наклонных равна 7

А

В

20 см

С

15 см

7 см

О

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АВ = 20 см, АС = 15 см, ВС = 7 см.

Найти: ВО и СО.

Решение:

1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .

p = (a+b+c)/2 = (20+15+7)/2 = 21 см.

= 7·6 = 42 см2.

2)

, АО = 2·42/7 = 84/7 = 12 см.

12 см

АOС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС2 = АС2 – АО2 = 225 – 144 = 81,

ОС = 9 см.

4) ОВ = ВС + ОС = 7 + 9 = 16 см.

Ответ: 9 см и 16 см.

9 см

Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции

А

В

2 х

С

1 х

7 см

О

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АВ : АС = 2 : 1, ВО = 7 см, СО = 1 см.

Найти: АВ и АС.

Решение:

Ответ: 4 см и 8 см.

1 см

Пусть АВ = 2х см, АС = х. В АВО АО2 = АВ2 – ОВ2 = 4х2 – 49,

В АСО АО2 = АС2 – СО2 = х2 – 1.

Т. к. левые части этих равенств равны, то

равны и правые: 4х2 – 49 = х2 – 1, 3х2 = 48, х2 = 16, х = 4.

Таким образом, АС = 4 см, АВ = 8 см.

10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна

А

В

17 см

С

10 см

9 см

О

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АВ = 17 см, АС = 10 см, ВС = 9 см.

Найти: ВО и СО.

Решение:

1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .

p = (a+b+c)/2 = (17+10+9)/2 = 18 см.

= 9·4 = 36 см2.

2)

, АО = 2·36/9 = 72/9 = 8 см.

8 см

АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС2 = АС2 – АО2 = 100 – 64 = 36,

ОС = 6 см.

4) ОВ = ВС + ОС = 9 + 6 = 15 см.

Ответ: 6 см и 15 см.

6 см

Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см

А

В

(х + 26 )см

С

х см

40 см

О

Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости

АО , АС = х см, АВ = х+26 см, СО = 12 см, ОВ = 40 см.

Найти: АВ и АС.

Решение:

Ответ: 15 см и 41 см.

12см

Пусть АС = х см, АВ = (х+26) см. В АВО АО2 = АВ2 – ОВ2 = (х+26)2 – 402,

В АСО АО2 = АС2 – СО2 = х2 – 122.

Т. к. левые части этих равенств равны, то

равны и правые: (х+26)2 – 402 = х2 – 122, х2 +52х+676 – 1600 = х2 -144, 52х = 780, х = 15 см.

Таким образом, АС = 15 см, АВ = 41 см.

на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она

А

В

С

А1

с

AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до

А

В

С

D

F

6 см

6 см

6 см

13 см

Дано: АВС – равносторонний, АВ=ВС=АС= 6 см, АD (АВС), АD=13 см.

Найдите: (D; BC).

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую ВС.

По теореме о трёх перпендикулярах AF BC,

т.к. треугольник АВС- равносторонний, то АF –медиана, т.е. BF=FC= 3 см.

АFC – прямоугольный. По теореме Пифагора AF2 = AC2 – CF2 = 36 – 9 = 27, AF = см.

ADF – прямоугольный, DF2 = AD2 + AF2 = 169 + 27 = 196, следовательно DF = 14 см.

Ответ: 14 см.

см. Через вершину среднего по величине угла проведён перпендикуляр в

А

В

С

D

15 см

37 см

26 см

9 см

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки В опустим перпендикуляр ВF на прямую ВС.

F

По теореме о трёх перпендикулярах DF AC.

BF найдём из треугольника АВС.

Найдём площадь треугольника АВС по формуле Герона.

p = (a+b+c)/2 = (15+26+37)/2 = 39,

S =

= 13·3·4 = 156 (см2).

S= AC·BF,

BF = 2·S/AC= 2·156 / 26 = 12 см.

12 см

Треугольник DFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора DF2 = DB2 + BF2 ,

DF2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.

Ответ: 12 см и 15 см.

П. 19,
Задача . Из вершины треугольника АВС
восставлен перпендикуляр

плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС,

А

В

С

D

15 см

20 см

7 см

9 см

Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую АС.

F

По теореме о трёх перпендикулярах BF AC.

BF найдём из треугольника АВС.

Вычислим площадь треугольника АВС по формуле Герона.

p = (a+b+c)/2 = (15+20+7)/2 = 21,

S =

=

=

=

7·6 = 42 (см2).

S= AC·BF,

BF = 2·S/AC= 2·42 / 7 = 12 см.

12 см

Треугольник DFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора DF2 = DB2 + BF2 ,

DF 2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.

Ответ: 15 см.

15 см

перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым.

с

a

b

перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
b

c
a

в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на

•

А

•

В

С

D

Дано: , А∈ , В∈ , АС CD, BD CD
АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м.
Найти: АВ.

6 м

7 м

6 м

?

Решение: BCD – прямоугольный,

900

по теореме Пифагора ВС2 = СD2 + BD2,

ВС2 = 36 +49 = 85, ВС = м.

АВС – прямоугольный,

900

по теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2,

АВ2 = 36 + 85 = 121, АВ = 11 м.

Ответ : 11 м.

перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения

•

А

•

В

С

D

Дано: , А∈ , В∈ , АС CD, BD CD
АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м.
Найти: АВ.

м

5 м

7 м

?

900

900

см и 17 см восставлен перпендикуляр к его плоскости, равный

А

В

С

D

9 см

10 см

17 см

Решение:

1) Т.к. АВС - тупоугольный, то перпендикуляр, проведённый из точки В, мы должны провести на продолжение стороны АС.

F

2) Найдём площадь АВС по формуле Герона:

p=(a + b + c): 2= (9 + 10 + 17): 2 = 18 (см),

= 9·4 = 36 см2.

3)

, ВF = (2·S) : АС = (2· 36) : 9 = 8 (см).

4)

DF AC по теореме о трёх перпендикулярах.

DBF – прямоугольный, поэтому

DF 2 = BD 2 + BF 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289,

DF = 17 см.

Ответ: 8 см и 17 см.

8 см

15 см

17 см

задачи № № 25, 59 3),

две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние

?