Пирамиды 10 класс

плоского многоугольника - основания пирамиды ( ABCD ), точка S,

не лежащая в плоскости основания, - вершиной пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Треугольники SAB, SBC, SCD, SDA - боковые грани.
Прямые SA, SB, SC, SD - боковые ребра пирамиды.
Перпендикуляр SO, опущенный из вершины на основание, называется высотой пирамиды и обозначается Н.
Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а высота ее проходит через центр основания.
Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники, равные между собой.
Высота боковой грани правильной пирамиды - апофема пирамиды.
Треугольная пирамида называется тетраэдром.

пирамиды.Как известно центр правильного треугольника совпадает с центром вписанной и

описанной окого него окружности. Поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы. Поэтому прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ и СОМ равны по двум катетам (МО-общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ=ВМ=СМ
Свойство 1: В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой. Из равенства ребер следует и равенство боковых граней. Треугольники АВМ, ВСМ и АСМ равны по трем сторонам.
Свойство 2: Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны. Из равенства прямоугольных треугольников ОРМ, ОТМ и ОКМ (ОТ=ОР=ОК как радиусы вписанной окружности; МО - общая) следует равенство всех двугранных углов при основании пирамиды РОРМ=РОТМ=РОКМ
Свойство 3: В правильной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основании равны.

её граней
Sполн=Sбок+Sосн;
Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей её боковых

граней;
Площадь боковой грани
Sбок.гр=1/2 x mx\g\,
где m – апофема, \g\ - основание грани;
Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
Sбок=1/2 x(Pосн x m),
где m – апофема, Р – периметр многоугольника основания;
Объём пирамиды
V=(1/3) x Sосн x h.

и 2, а угол между ними равен 60˚. Каждое боковое

ребро равно √13 .
Найдите объем пирамиды.

Решение. Так как все ребра (боковые) пирамиды равны, они одинаково наклонены к основанию, и вершина пирамиды проектируется в центр описанной вокруг основания окружности. (см. чертеж).
Объем пирамиды: , ,

Высоту SO можно найти по т. Пифагора например, из треугольника ASO. Для этого нужно найти AO – радиус описанной окружности основания.
Воспользуемся теоремой синусов: .Но сначала по

теореме косинусов найдем сторону BC: ,
BC= .
Теперь вычислим радиус описанной окружности:
Найдем SO: .
Вычислим объем: . Ответ: V=1.

Задача

заимствовали его
у египтян, создавших самые знаменитые
пирамиды в мире. Другая теория

выводит
этот термин из греческого слова «пирос»
(рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы,
имевшие форму пирамиды