Подготовка к ЕГЭ "Задачи на теорию вероятностей"

средней школы №2
Подготовка к ЕГЭ

выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол,

а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.  

Пусть событие A - "случайно купленное в магазине стекло - бракованное".
H1 - "стекло куплено на 1 фабрике",
H2 - "стекло куплено на 2 фабрике".
P(H1) = 0,45 - вероятность купить стекло с 1 фабрики,
P(H2) = 0,55 - вероятность купить стекло со 2 фабрики,
при этом P(H1)+P(H2) = 0,45+0,55 = 1.
P(A|H1) = 3/100 = 0,03 - вероятность, что бракованное стекло сделано на 1 фабрике,
P(A|H2) = 1/100 = 0,01 - вероятность, что бракованное стекло сделано на 2 фабрике.
По формуле полной вероятности
P(A) = P(A|H1)P(H1)+P(A|H2)P(H2) = 0,45*0,03 + 0,55*0,01 = 0,019.
 
Ответ: 0,019.

Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А.

выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.  

Возможность выиграть первую и вторую партию - независимые события, поэтому:
P(A) = 0,3*0,52 = 0,156.

Решение

Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.  
Решение
У каждого

мальчика равные шансы начать игру. Их всего 4. Вероятность равна:
P(A) = 1/4 = 0,25.
 
Ответ: 0,25.
 

нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой.

В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?  

Решение
Всего исходов - 16 (16 команд), благоприятных исходов (Россия окажется во 2 группе) - 4 (всего четыре "2"). Вероятность того, что Россия окажется во второй группе равна:
P = 4/16 = 1/4 = 0,25.
 
Ответ: 0,25.

экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная

окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.  

Решение
События независимы, поэтому искомая вероятность равна:
P=0,2+0,15 = 0,35.

что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3.

Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.   Решение

Решение
Пусть событие A - "кофе закончится к концу дня в первом автомате", B - "кофе закончится к концу дня во втором автомате", AB - "кофе закончится в обоих автоматах", A+B - "кофе закончится хотя бы в одном автомате".
P(A) = P(B) = 0,3.
P(AB) = 0,12 - вероятногсть того, что кофе закончится в обоих автоматах.
События A и B - совместные.
Найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB) = 0,3+0,3-0,12 = 0,48.
Значит вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах равна (как вероятность противоположного события):
1-0,48 = 0,52.

выявляют 80% дефектных журналов. Остальные журналы поступают в продажу. Найдите вероятность

того, что случайно выбранный при покупке журнал не имеет дефектов. Ответ округлите до тысячных.   Решение :Вероятность того, что журнал имеет дефект, равна 0,1. Вероятность того, что этот дефект будет выявлен, равна 0,8. Тогда вероятность того, что дефект не будет выявлен, равна 1-0,8 = 0,2. А вероятность того, что журнал будет дефектным и поступит в продажу, равна 0,1*0,2 = 0,02. Значит в продажу поступит 90% журналов без дефектов и 2% журналов с дефектами. Всего - 92% журналов. Вероятность того, что журнал при покупке не имеет дефектов, равна 90/92 = 0,9782608... = 0,978.

быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого. Найдите вероятность

того, что хотя бы один автомат исправен.  

Решение
Нам подходят следующие варианты: 1 автомат исправен, а 2 - нет, наоборот: 2 исправен, а 1 - нет, и оба исправны.
Вероятность того, что автомат исправен, равна 1 - 0,2 = 0,8.
Тогда искомая вероятность того, что хотя бы один автомат исправен, равна:
P=0,8⋅0,2+0,2⋅0,8+0,8⋅0,8=0,16+0,16+0,64=0,96.P=0,8⋅0,2+0,2⋅0,8+0,8⋅0,8=0,16+0,16+0,64=0,96.
 
Ответ: 0,96.

при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист

попадет более одного раза.   Решение

Найдем вероятность того, что биатлонист попадет 1 раз в мишень, либо не попадет ни разу.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1-0,7 = 0,3.
1) Вероятность того, что биатлонист не попадет ни разу в мишень, равна
0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,3=0,35.0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,3⋅0,3=0,35.
2) Вероятность того, что биатлонист попадет в мишень 1 раз, равна (по формуле Бернулли):
C15⋅0,7⋅0,34=5⋅0,7⋅0,34=3,5⋅0,34.C51⋅0,7⋅0,34=5⋅0,7⋅0,34=3,5⋅0,34.
Тогда вероятность того, что биатлонист попадет в мишень 1 раз, либо не попадет ни разу, равна :
0,35+3,5⋅0,34=0,34(0,3+3,5)=0,34⋅3,8=0,03078.0,35+3,5⋅0,34=0,34(0,3+3,5)=0,34⋅3,8=0,03078.
А значит, вероятность того, что биатлонист попадет в мишень более 1 раза, равна : 1 - 0,03078 = 0,96922.