Презентация для урока "Геометрическая прогрессия"

случае, если они усвоены творчески.
А.Н. Колмогоров
Дорогие ребята!
Сегодня у

вас необычный урок математики. Сегодня вы еще раз убедитесь в том, что математика не только интересна сама по себе, но она необычайно полезна. В ходе сегодняшнего урока вас ожидает большая радость творчества и огромное поле приложения математических знаний и умений.
Желаю вам успехов и творческих радостей на уроке!

(в VI веке) и понимался в более широком сиысле,
как бесконечная

числовая последовательность

прогрессии»
Вы уже знаете, какая последовательность называется арифметической прогрессией.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Сегодня вы познакомитесь еще с одним видом последовательности, которая называется геометрической прогрессией.

Цели урока:

Сформулировать определение геометрической прогрессии.
Вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии
Закрепить полученные знания на конкретных примерах

понять ее, вовсе не нужно уметь играть в шахматы: достаточно

знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые)

индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее

остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит,

и ты получишь ее.
Сета молчал.
-Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
-Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.
Мудрец поклонился.

трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
-Повелитель, -

сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
-Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно

твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все

зерна пшеницы уместятся в один мешок?
Об этом ты узнаешь чуточку позже.
А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен пшеницы, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей.
Получается последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,….
(запиши ее в тетрадь)
Нетрудно заметить, что члены этой последовательности, начиная со второго, получались путем умножения предыдущего члена на одно и то же число 2.
Запиши еще одну последовательность: 2, 6, 18, 54, 162, ….
Члены этой последовательности, начиная со второго, получаются путем умножения предыдущего на 3.
Приведенные примеры последовательностей являются геометрическими прогрессиями.

А теперь попробуй сформулировать и записать определение геометрической прогрессии. Замечание: члены прогрессии должны быть отличны от нуля!

чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену,

умноженному на одно и то же число.
Обозначим, например, через (bn) - геометрическую прогрессию, тогда по определению
bn+1= bnq, где bn 0, n - натуральное число, q - некоторое число.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е.
bn+1/ bn = q
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что q ≠ 0.

Проверь себя!

2, 4, 8, 16,…,
нужно: 2 разделить на 1, или 4

разделить на 2 и т.д., т.е. q=2

II группа
а) 3; 6; 12; 24;… а) 4; 16;64;…..
б) 3; 3; 3; 3; ….. б) -2; -2; -2; -2;….
в)1; 0,1; 0,01; 0,001;… в) 0,3; 0,6; 1,2; 2,4;…

q = ?

Проверь себя!

I группа II группа
а) q = 2 а) q=4
б) q = 1 б) q=1
в) q = 0,1 в) q=2
Ошибок нет? Молодец!
Если есть неправильные ответы, обратись к учителю.
По аналогии с арифметической прогрессией, выводится формула n-го члена геометрической прогрессии.
Пусть b1 – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель, тогда:
b2 = b1 ·q
b3 = b2 · q = (b1 · q) · q = b1 · q2
b4 = b3 · q = (b1 · q2) · q = b1 · q3
b5 = ………………..= b1 · q4
Продолжи эту цепочку рассуждений в тетради и вырази bn через b1 и q.

прогрессии.
Эта формула используется для решения многих задач. Рассмотри примеры решения

некоторых задач.
1. В геометрической прогрессии (bn) известны
b1 =-2 и q = 3, найти: b3, b4, bk.
Решение:
b3 = b1 • q2 = -2· 32 = -18
b4 = b1 • q3 = -2· 33 = -54
bk = b1 • qk-1 = -2· 3 k-1
2.Найти пятый член геометрической прогрессии (bn):-20; 40; …. Решение:
Найдем знаменатель, для этого нужно 40 разделить на -20, получится q = -2.
b5 = b1• q4 = -20 • (-2)4 = -20 • 16 = -320

руки).
Вверх рука и вниз рука.
Потянули их слегка.
Быстро поменяли руки!
Нам сегодня

не до скуки.
(Вращение головой вправо и влево).
Крутим-вертим головой,
Разминаем шею. Стой! 
(Ходьба на месте, высоко поднимая колени).
И на месте мы шагаем,
Ноги выше поднимаем. 
(Потягивания – руки вверх, в стороны, вперёд).
Потянулись, растянулись
Вверх и в стороны, вперёд. 
(Садимся за парты).
И за парты все вернулись –
Вновь урок у нас идёт. 

I группа

II группа
а) x5, если x1 = 16; q = ½ а) х4, если х1=27, q= 1/3
б) x3, если x1 = 3/4; q = 2/3. б) х3, если х1=2/5, q=1/2
в) x10, если x1 = 48; q = -1. в) х6, если х1=1, q= -2

?

а) x5 = 1

а) х4= 1/3
б) x3 = 1/3 б) х3= 1/10
в) x10 = -48 в) х6 = -32
Если ты испытывал затруднения, обратись к учителю.

Итак, просьба мудрого Сеты помогла тебе понять определение геометрической прогрессии, и теперь настало время узнать что-же было дальше….

послал узнать, унес ли Сета свою жалкую награду.
-Повелитель,

- был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
-Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

важное донесение.
Царь приказал ввести его.
-Прежде чем скажешь

о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

-Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…..

перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и

должна быть выдана..
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни.

- Назови мне это чудовищное число, сказал он в

раздумьи.

Пусть все пространство их будет сплошь засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду…

семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча

шестьсот пятнадцать, о повелитель!

18 446 744 073 709 551 615

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды.

Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак…

него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком

большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь копейку, за второй гвоздь заплатишь две копейки, за третий гвоздь - четыре копейки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец?

4б – «3»

прогрессией тогда и только тогда, когда модуль любого ее члена

, начиная со второго, равен корню квадратному из произведения предыдущего и последующих членов.

Я запомнил, что…

Я понял, что…

Мне на уроке …

Думаю, что …




Молодцы!