Производная в заданиях ЕГЭ

изменяются по закону x(t), то мгновенная скорость точки:


а ускорение:


Пример 2:
Пример 3:
Проверь себя!!!
Вернуться к

оглавлению

                         , где x(t) — расстояние от точки

отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9.
Решение:
Скорость движения материальной точки есть производная расстояния в момент времени.
                                           
       

                                   
Ответ: 60.

Назад

К следующему примеру

 

(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.
Найдем закон изменения скорости:   
 
Чтобы найти, в какой момент времени  скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

 
Ответ: 8.

Назад

К следующему примеру

по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось

расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.
Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение.Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике 6.

Ответ: 6

Назад

Проверь себя!

к графику функции  y=f(x) в этой точке
f’(x) = ?
Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Проверь себя!!!

Вернуться к оглавлению

f’(x) = tg x > 0

в точке касания x0 возрастает

в точке касания x0 убывает

в точке касания x0 параллельна оси Ох

возрастает — и после точки Е продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была

положительной, так и осталась.

f’(x) = tg x > 0

резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
Производная не существует

5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции

параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

y = 6

Х 1

Х 2

Х 3

Х 4

Ответ: 4

6

Назад

К следующему примеру

интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику

функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Решение:Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых   это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

y = −2

Назад

К следующему примеру

в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
С
А
Решение: Значение

производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A  (1; 2), B (1; -4), C(-2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен тангенсу угла ACB:

В

Назад

К следующему примеру

уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10),

поэтому 10 = 8 · k, откуда k = 1,25.
f’ (x) = k = 1,25

На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f '(8).

Назад

наименьшее значение функции
Вернуться к оглавлению
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 6
Пример

5

Пример 4

Проверь себя!!!

если они являются точками максимума и минимума для функции f(x).
Определение

2: Точка x0 называется критической точкой функции f(x), если:
x0 - внутренняя точка области определения;
2) f′(x0)=0 или не существует.

Достаточное условие экстремума
Пусть точка x0 является критической для функции y=f(x) и лежит в интервале (a,b). На каждом интервале (a,x0) и (x0,b) производная f′(x) существует и сохраняет постоянный знак.
Если на интервале (a,x0) f′(x)>0, а на интервале (x0,b) f’(x)<0, то точка х0 – точка максимума
Если на интервале (a,x0) f′(x)<0, а на интервале (x0,b) f’(x)>0, то точка x0 - точка минимума.
Если и на интервале (a,x0), и на интервале (x0,b) f′(x)>0 или f’(x)<0, то точка х0 – точка перегиба

Назад

Далее

называется возрастающей, если для любых точек x1

y=f(x), определенная на промежутке X, называется убывающей, если для любых точек x1f(x2).

x1

x1f(x2).

Назад

Далее

промежутке X, достигает своего наибольшего значения, если существует точка x0∈X,

такая, что для всех x∈X выполняется неравенство f(x)≤f(x0)
Определение 2:
Функция y=f(x), определенная на промежутке X, достигает своего наименьшего значения, если существует точка x0∈X, такая, что для всех x∈X выполняется неравенство f(x)≥f(x0)

Назад

Далее

на интервале    Найдите промежутки возрастания функции   В ответе укажите

сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.
Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5.
2+3+4+5 равна  14.
 
Ответ: 14.

Назад

Далее

(−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции

положительна.

Решение.
Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7).
В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
 


Ответ: 4.

Назад

Далее

-2

-1

5

6

(−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). 
Ответ: 44.
Решение.
Заданная функция имеет максимумы

в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

Решение.
Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

Решение.
Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

4

9

11

2

7

10

Назад

Далее

производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой

точке отрезка [-3; 2 ] функция f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:
На отрезке [-3;2] производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
 
Ответ: −3.

Назад

Далее

интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает

наименьшее значение?
 

Решение: На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 

Ответ: −7.

интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Решение. Точки

максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Функция имеет две точки максимума 7 и 12. На отрезке [−6; 9] одна из них точка максимума x = 7.
 
Ответ: 1.

7

Проверь себя!