Разделы презентаций


Рациональные уравнения

Содержание

В данной презентации достаточно полно изложена теория решения различных видоврациональных уравнений, за исключением линейных и квадратныхуравнений, а также общей теориирешения уравнений 3-й и 4-й степеней.Нет здесь и примеров, решаемыхс помощью теоремы

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1 Рациональные уравнения
Вишняков А.Ю.

2008год
Рациональные уравнения Вишняков А.Ю.

Слайд 2В данной презентации достаточно полно
изложена теория решения различных видов
рациональных

уравнений,
за исключением линейных и квадратных
уравнений, а также общей теории
решения

уравнений 3-й и 4-й степеней.
Нет здесь и примеров, решаемых
с помощью теоремы Безу.
Каждый вид уравнения сопровождается
решением соответствующего примера.
Данные материалы могут быть использованы
частично на уроках алгебры
в обычных классах,
но в большей мере пригодятся
для изучения этой темы
в классах с углубленным изучением
математики.
В данной презентации достаточно полно изложена теория решения различных видоврациональных уравнений, за исключением линейных и квадратныхуравнений, а

Слайд 5Способ подстановки
При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести

новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой.
Например, в

уравнении ,
где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую
переменную y=Р(х), решить полученное
квадратное уравнение
относительно y и, наконец, решить
уравнение Р(х)= yо, где yо – корень
уравнения

Обратно
в меню

Пример

Способ подстановкиПри решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение

Слайд 6Пример
Решите уравнение
Решение. Введем новую переменную. Пусть


Тогда получим уравнение


Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку.




Ответ: 2; 3.

Обратно
в меню

Пример Решите уравнениеРешение. Введем новую переменную. Пусть      Тогда получим уравнение

Слайд 7Распадающееся уравнение
Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести

к виду

, где – рациональные выражения с переменной х.
Для решения воспользуемся равносильным переходом


Применяемые приемы разложения на множители:
- вынесение общего множителя за скобки;
- способ группировки;
-формулы сокращенного умножения.

Обратно
в меню

Пример

Распадающееся уравнение Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду

Слайд 8Пример
Решите уравнение
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители:


Воспользуемся равносильным переходом:



Ответ:-2;0;1;2.

Обратно
в меню

Пример Решите уравнениеРешение. Разложим левую часть уравнения на множители:  Воспользуемся равносильным переходом:

Слайд 9Однородное уравнение 2-го порядка
При решении уравнения надо проверить две

ситуации:
1)

т.е. корнями заданного уравнения
являются решения этой системы.
2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на Q2(x) получим уравнение


которое подстановкой сводится
к квадратному уравнению
В ответ включают числа, полученные
при рассмотрении обеих ситуаций.

Обратно
в меню

Пример

Однородное уравнение 2-го порядка При решении уравнения надо проверить две ситуации:  1)

Слайд 10Пример
Решить уравнение
(x2 – 2х)2 – (x2 –

2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х –

2)2 = 0.
Решение. Возможны две ситуации.
Рассмотрим первую:


Обратно
в меню

Найден первый корень уравнения х=2.


Пример Решить уравнение  (x2 – 2х)2 – (x2 – 2х)(x2 – х – 2) – 2(x2

Слайд 11Продолжение решения
Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на

(x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠

-1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид


Обозначим и решим квадратное
уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2.
Обратная подстановка дает уравнения
откуда х = -0,5 и х = -2.
С учетом обеих ситуаций получаем
ответ: - 0,5; -2; 2.


Обратно
в меню

Продолжение решения Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x2 – х – 2)2 при условии,

Слайд 12Биквадратное уравнение
Уравнение имеет вид

aх4+bх2+c=0.
Сделаем подстановку x2 = t. Значит, x4 = t2.
Получаем квадратное уравнение
at2+bt+c=0.
Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения.
Замечание.
При решении биквадратного уравнения можно
получить от 1 до 4-х корней или же это
уравнение может совсем не иметь корней.

Обратно
в меню

Пример

Биквадратное уравнениеУравнение имеет вид

Слайд 13Пример
Решите уравнение х4–3х2–4=0.
Решение.
Сделаем подстановку x2 =

t. Получаем квадратное уравнение

t2–3t–4=0,
корни которого t = -1 и t = 4.
Обратная замена дает два уравнения
x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2.
Ответ: -2; 2.

Обратно
в меню

Пример Решите уравнение х4–3х2–4=0.Решение.   Сделаем подстановку x2 = t. Получаем квадратное уравнение

Слайд 14Симметричное уравнение 3-го порядка
Уравнение имеет вид

ах3+bх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов
а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0
и выполним разложение на множители
(х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0.
Получили распадающееся уравнение. Значит,
х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
исходного уравнения.

Обратно
в меню

Пример

Симметричное уравнение  3-го порядкаУравнение имеет вид

Слайд 15Пример
Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0.
Решение. Сгруппируем слагаемые парами и

в каждой паре вынесем общий множитель за скобки:

2(х3+1)–3х(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1):
2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0,
(х+1)(2х2 –5х+2)=0.
Значит,
х+1=0 или 2х2 –5х+2=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
исходного уравнения: -1; 0,5; 2.
Ответ: -1; 0,5; 2.

Обратно
в меню

Пример Решите уравнение 2х3–3х2– 3х +2=0.Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре вынесем общий множитель за

Слайд 16Симметричное уравнение 4-го порядка
Уравнение имеет вид

ах4+bх3+сх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения

на х2. Получаем



Сделаем подстановку , тогда

Получаем квадратное уравнение
a(t2-2)+bt+c=0.
Находим значения t и делаем обратную подстановку.

Обратно
в меню

Пример

Симметричное уравнение  4-го порядкаУравнение имеет вид        ах4+bх3+сх2+bх+а=0.Сгруппируем слагаемые и

Слайд 17Пример
Решите уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠

0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение:


Сделаем подстановку , тогда

Получаем квадратное уравнение , корни
которого 2 и -3,5.
Обратная подстановка дает два рациональных
уравнения и
откуда и находим корни исходного уравнения.
Ответ: 1;






Обратно
в меню

Пример Решите уравнениеРешение. Разделим обе части уравнения на x2 ≠ 0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение:

Слайд 18Возвратное уравнение
Уравнение вида

ax4

+ bx3 + cx2 + dx + e = 0,

где   a ≠ 0,   b ≠ 0 и ,

называется возвратным уравнением четвертого порядка.

Это уравнение сводится к квадратному с
помощью подстановки

Обратно
в меню

Пример

Возвратное уравнение Уравнение вида

Слайд 19Пример
Решить уравнение

x4

+ x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0.

Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.
Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение


Обозначим , тогда

и уравнение примет вид t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1.
Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0
получаем два квадратных уравнения
x2 + 2x - 2 = 0, x2 - x - 2 = 0,
откуда и получим корни исходного уравнения.
Ответ:






Обратно
в меню

Пример Решить уравнение

Слайд 20Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x +

d) = m
Если a + b = c

+ d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно,
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd =
= x2 + (a + b)x + cd
Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное
уравнение
(t + ab)(t + cd) = m
Из этого уравнения найдем значения t и,
сделав обратную подстановку, закончим
решение исходного уравнения.

Обратно
в меню

Пример

Уравнения вида  (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Если a +

Слайд 21Пример
Решить уравнение

(x - 2)(x + 1)(x +

4)(x + 7) = 19.
Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, получим
[(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19
или
(x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19.
Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18.
Уравнение примет вид
t(t + 18) = 19   или   t2 + 18t - 19 = 0,
откуда t = -19 и t = 1.
Сделав обратную подстановку, получим
x2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1.

Окончательный ответ:


Обратно
в меню

Пример Решить уравнение           (x - 2)(x +

Слайд 22Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 =

c
Используя подстановку

, уравнение
можно свести к биквадратному уравнению относительно t.
Действительно, подставив в уравнение , получим

Обозначим и возведем

каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения
подобных получим биквадратное уравнение



Обратно
в меню

Пример

Уравнение вида  (x + a)4 + (x + b)4 = c Используя подстановку

Слайд 23Пример
Решить уравнение

(x + 3)4 + (x - 1)4 = 82.
Решение. Сделаем подстановку

Получим следующее уравнение относительно t:
(t + 2)4 + (t - 2)4 = 82
или
t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0.
Откуда получим биквадратное уравнение
t4 + 24t2 - 25 = 0,
корни которого t = ± 1.
Следовательно, x + 1 = ± 1.
Значит, корни исходного уравнения
x = -2 и x = 0.
Ответ: -2;0.


Обратно
в меню

Пример Решить уравнение

Слайд 24Уравнение вида
Решить уравнение Р(х) = 0.
Для каждого корня уравнения

Р(х) = 0
сделать проверку: удовлетворяет ли он


условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то
это — корень заданного уравнения,
а если нет, то этот корень является
посторонний для заданного уравнения
и в ответ его включать не следует.

Обратно
в меню

Пример

Уравнение вида Решить уравнение Р(х) = 0.Для каждого корня уравнения Р(х) = 0   сделать проверку:

Слайд 25Пример
Решите уравнение  

Решение.
Приравняем числитель дроби

к нулю и решим полученное уравнение:

  


Значение х = 2 не удовлетворяет условию
Следовательно, уравнение имеет один
корень х= 4.
Ответ: 4.



Обратно
в меню

Пример Решите уравнение    Решение. Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное уравнение:     

Слайд 26Уравнение вида
Подстановкой

это уравнение
сводится к виду


Умножим на

и решим полученное квадратное
уравнение относительно t.
Остается сделать обратную подстановку
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
относительно х.

Обратно
в меню

Пример

Уравнение вида Подстановкой          это уравнение   сводится

Слайд 27Уравнение вида
Подстановкой

это уравнение
сводится к виду


Умножим на

и решим полученное квадратное
уравнение относительно t.
Остается сделать обратную подстановку
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
относительно х.

Обратно
в меню

Пример

Уравнение вида Подстановкой          это уравнение   сводится

Слайд 28Пример
Решите уравнение  

Решение.
Сделаем

подстановку

и решим полученное
уравнение относительно t :

  
Обратная подстановка приводит к уравнению

корень которого х = -1.
Ответ: -1.



Обратно
в меню

Пример Решите уравнение    Решение.   Сделаем подстановку

Слайд 29Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей

1-й способ
Перенести

все члены уравнения
в одну часть.
Привести уравнение

к виду и найти корни полученного уравнения.
2-й способ
Определить О.Д.З. уравнения.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение.
Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З.


Обратно
в меню

Пример

Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей 1-й способПеренести все члены уравнения   в одну

Слайд 30Пример
Решите уравнение  


Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей

не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х

≠ 2 и х ≠ 0.
Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.

  
.
Приравняем числитель дроби к нулю: х2 – 6х + 8 = 0.
Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2.
Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З.
Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4.
Ответ: 4.



Обратно
в меню

Пример Решите уравнение    Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З.

Слайд 31Уравнения вида
Данное уравнение сводится к квадратному уравнению

заменой переменной


Обратно
в меню
Пример

Уравнения вида  Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменнойОбратно в менюПример

Слайд 32Пример
Решить уравнение

Решение. О.Д.З. уравнения есть множество



Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде



(разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x).

Обозначим и уравнение примет вид








Обратно
в меню

Пример Решить уравнение  Решение. О.Д.З. уравнения есть множество

Слайд 33Продолжение решения
О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠

-1.
Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению

  2t2 - 13t + 11 = 0,
корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З..
Делаем обратную подстановку и получаем два
рациональных уравнения

решив которые находим корни заданного
уравнения.
Ответ:

Обратно
в меню

Продолжение решенияО.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1. Решая это уравнение, приходим к квадратному

Слайд 34Литература
Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин,

О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд
Алгебра и начала

анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.
Литература Алгебра и математический анализ, 10   Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов,    С.И. Шварцбурд

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика