Рациональные уравнения

2008год

уравнений,
за исключением линейных и квадратных
уравнений, а также общей теории
решения

уравнений 3-й и 4-й степеней.
Нет здесь и примеров, решаемых
с помощью теоремы Безу.
Каждый вид уравнения сопровождается
решением соответствующего примера.
Данные материалы могут быть использованы
частично на уроках алгебры
в обычных классах,
но в большей мере пригодятся
для изучения этой темы
в классах с углубленным изучением
математики.

новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой.
Например, в

уравнении ,
где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую
переменную y=Р(х), решить полученное
квадратное уравнение
относительно y и, наконец, решить
уравнение Р(х)= yо, где yо – корень
уравнения

Обратно
в меню

Пример

Тогда получим уравнение

Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку.




Ответ: 2; 3.

Обратно
в меню

к виду

, где – рациональные выражения с переменной х.
Для решения воспользуемся равносильным переходом


Применяемые приемы разложения на множители:
- вынесение общего множителя за скобки;
- способ группировки;
-формулы сокращенного умножения.

Обратно
в меню

Пример

Воспользуемся равносильным переходом:

Ответ:-2;0;1;2.

Обратно
в меню

ситуации:
1)

т.е. корнями заданного уравнения
являются решения этой системы.
2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на Q2(x) получим уравнение


которое подстановкой сводится
к квадратному уравнению
В ответ включают числа, полученные
при рассмотрении обеих ситуаций.

Обратно
в меню

Пример

2х)(x2 – х – 2) – 2(x2 – х –

2)2 = 0.
Решение. Возможны две ситуации.
Рассмотрим первую:

Обратно
в меню

Найден первый корень уравнения х=2.

(x2 – х – 2)2 при условии, что х ≠

-1 и х ≠ 2. Уравнение принимает вид


Обозначим и решим квадратное
уравнение t2 – t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2.
Обратная подстановка дает уравнения
откуда х = -0,5 и х = -2.
С учетом обеих ситуаций получаем
ответ: - 0,5; -2; 2.

Обратно
в меню

aх4+bх2+c=0.
Сделаем подстановку x2 = t. Значит, x4 = t2.
Получаем квадратное уравнение
at2+bt+c=0.
Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения.
Замечание.
При решении биквадратного уравнения можно
получить от 1 до 4-х корней или же это
уравнение может совсем не иметь корней.

Обратно
в меню

Пример

t. Получаем квадратное уравнение

t2–3t–4=0,
корни которого t = -1 и t = 4.
Обратная замена дает два уравнения
x2 = -1 и x2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2.
Ответ: -2; 2.

Обратно
в меню

ах3+bх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые: а(х3+1)+bх(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов
а(х+1)(х2 –х+1)+bх(х+1)=0
и выполним разложение на множители
(х+1)(ах2+(b - а)х+а)=0.
Получили распадающееся уравнение. Значит,
х+1=0 или ах2+(b - а)х+а=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
исходного уравнения.

Обратно
в меню

Пример

в каждой паре вынесем общий множитель за скобки:

2(х3+1)–3х(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1):
2(х+1)(х2 –х+1)– 3х(х+1)=0,
(х+1)(2х2 –5х+2)=0.
Значит,
х+1=0 или 2х2 –5х+2=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
исходного уравнения: -1; 0,5; 2.
Ответ: -1; 0,5; 2.

Обратно
в меню

ах4+bх3+сх2+bх+а=0.
Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения

на х2. Получаем



Сделаем подстановку , тогда

Получаем квадратное уравнение
a(t2-2)+bt+c=0.
Находим значения t и делаем обратную подстановку.

Обратно
в меню

Пример

0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение:

Сделаем подстановку , тогда

Получаем квадратное уравнение , корни
которого 2 и -3,5.
Обратная подстановка дает два рациональных
уравнения и
откуда и находим корни исходного уравнения.
Ответ: 1;

Обратно
в меню

ax4

+ bx3 + cx2 + dx + e = 0,

где   a ≠ 0,   b ≠ 0 и ,

называется возвратным уравнением четвертого порядка.

Это уравнение сводится к квадратному с
помощью подстановки

Обратно
в меню

Пример

x4

+ x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0.

Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.
Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение


Обозначим , тогда

и уравнение примет вид t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1.
Делаем обратную замену и после умножения на x ≠ 0
получаем два квадратных уравнения
x2 + 2x - 2 = 0, x2 - x - 2 = 0,
откуда и получим корни исходного уравнения.
Ответ:

Обратно
в меню

d) = m
Если a + b = c

+ d , то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно,
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd =
= x2 + (a + b)x + cd
Обозначив x2 + (a + b)x = t, получим квадратное
уравнение
(t + ab)(t + cd) = m
Из этого уравнения найдем значения t и,
сделав обратную подстановку, закончим
решение исходного уравнения.

Обратно
в меню

Пример

(x - 2)(x + 1)(x +

4)(x + 7) = 19.
Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя, получим
[(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19
или
(x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19.
Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18.
Уравнение примет вид
t(t + 18) = 19   или   t2 + 18t - 19 = 0,
откуда t = -19 и t = 1.
Сделав обратную подстановку, получим
x2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1.

Окончательный ответ:

Обратно
в меню

c
Используя подстановку

, уравнение
можно свести к биквадратному уравнению относительно t.
Действительно, подставив в уравнение , получим

Обозначим и возведем

каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения
подобных получим биквадратное уравнение

Обратно
в меню

Пример

(x + 3)4 + (x - 1)4 = 82.
Решение. Сделаем подстановку

Получим следующее уравнение относительно t:
(t + 2)4 + (t - 2)4 = 82
или
t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0.
Откуда получим биквадратное уравнение
t4 + 24t2 - 25 = 0,
корни которого t = ± 1.
Следовательно, x + 1 = ± 1.
Значит, корни исходного уравнения
x = -2 и x = 0.
Ответ: -2;0.

Обратно
в меню

Р(х) = 0
сделать проверку: удовлетворяет ли он

условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то
это — корень заданного уравнения,
а если нет, то этот корень является
посторонний для заданного уравнения
и в ответ его включать не следует.

Обратно
в меню

Пример

к нулю и решим полученное уравнение:

  

Значение х = 2 не удовлетворяет условию
Следовательно, уравнение имеет один
корень х= 4.
Ответ: 4.

Обратно
в меню

это уравнение
сводится к виду


Умножим на

и решим полученное квадратное
уравнение относительно t.
Остается сделать обратную подстановку
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
относительно х.

Обратно
в меню

Пример

это уравнение
сводится к виду


Умножим на

и решим полученное квадратное
уравнение относительно t.
Остается сделать обратную подстановку
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
относительно х.

Обратно
в меню

Пример

подстановку

и решим полученное
уравнение относительно t :

  
Обратная подстановка приводит к уравнению

корень которого х = -1.
Ответ: -1.

Обратно
в меню

все члены уравнения
в одну часть.
Привести уравнение

к виду и найти корни полученного уравнения.
2-й способ
Определить О.Д.З. уравнения.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение.
Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З.

Обратно
в меню

Пример

не могут обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х

≠ 2 и х ≠ 0.
Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.

  
.
Приравняем числитель дроби к нулю: х2 – 6х + 8 = 0.
Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2.
Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З.
Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4.
Ответ: 4.

Обратно
в меню

заменой переменной


Обратно
в меню
Пример

Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде



(разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x).

Обозначим и уравнение примет вид

Обратно
в меню

-1.
Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению

  2t2 - 13t + 11 = 0,
корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З..
Делаем обратную подстановку и получаем два
рациональных уравнения

решив которые находим корни заданного
уравнения.
Ответ:

Обратно
в меню

О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд
Алгебра и начала

анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.