Сборник задач со всего света по теме "Делимость"

5 класса

Я хочу, чтобы мои ученики любили математику и главное -

учиться надо интересно. Поверьте, математика -очень нескучный предмет.

сушили или вялили их. Технологию консервирования предложил француз Николя Аппер.

В каком году это произошло, если известно следующее: - число это четырехзначное, кратное 10; - первая и третья цифры его не являются ни простыми, ни составными числами; - вторая и третья цифры образуют число, кратное 9.

Решение:так как число кратно 10, то последняя цифра 0,первая и третья - 1(так как ни простые,ни составные). Вторая - 8 (так как 81 кратно 9).
Ответ:1810.

из самых революционных изобретений в истории – первый паровоз. Правда,

полноценным транспортным средством железная дорога стала лишь много лет спустя. Назовите год демонстрации, если известно следующее: - это четырехзначное число – произведение двух простых чисел; - первая цифра – ни простое, ни составное число; - сумма трех оставшихся цифр совпадает с наименьшим простым двузначным числом; - вторая цифра – наибольший общий делитель чисел 24 и 40; - все цифры этого года различны.

Решение:первое число равно 1, так как оно не является ни простым, ни составным числом. Узнаём два простых множителя, это 601 и 3.
Ответ: в 1803 году

что можно было разглядеть, кроме размытых силуэтов, но это не

обескуражило французского изобретателя Ж. Н. Ньепса. Назовите этот год, если известно следующее: - это четное четырехзначное число – произведение трех простых чисел, причем один из множителей – наименьшее двузначное простое число; - сумма же этих множителей – наименьшее общее кратное чисел 48 и 32.

Решение: Находим три множителя, таковыми являются 2, 11, 83. Перемножаем их, и получаем 1826
Ответ: в 1826.

млекопитающих – крупного грызуна из рода пышнохвостых крыс. От кончика

носа до кончика хвоста крыса имеет длину более х см. Найдите х, если известно что это двузначное число. Если от этого числа отнять 3, то разность разделится на 3, а если отнять 4, то разность разделится на 4, если отнять 5, то разность разделится на 5.

Решение:перебор двузначных чисел, оканчивающихся 0, позволяет найти ответ , удовлетворяющий всем условиям задачи.
Ответ: 60см

лесу жёлуди. Ниф-Ниф собрал 137 желудей, Наф-Наф собрал на 46

желудей меньше, а Нуф-Нуф – в 2 раза больше, чем Наф-Наф. Удастся ли поросятам разделить желуди поровну?

РЕШЕНИЕ

1)137-46=91(ж.)- собрал Наф-Наф
2) 91*2=182(ж.)- собрал Нуф-Нуф
3)137+91+182=410(ж.)- собрали вместе
410 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа (4+1+0=5) не делится на 3.
Ответ: поросятам не удастся
разделить жёлуди
поровну.

ни на 5 ни на 7 ?

Решение:среди 999 чисел, меньших

1000, 199 чисел кратны 5 : [999 : 5] = 199. В этом же интервале имеются 142 числа, кратных 7 : [999 : 7] = 142. Среди 142 чисел, кратных 7, имеются числа, которые делятся также и на 5, то есть кратные 35. Всего таких чисел 28: [999 : 35]= 28. Эти 28 чисел уже учтены в числе 199, найденном ранее. Поэтому количество чисел, меньших 1000, которые делятся либо на 5, либо на 7, равно 199 + 142 - 28 = 313. В рассматриваемом интервале остается 999 - 313 = 686 чисел, которые не делятся ни на 5, ни на 7.

какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.

Решение: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=110
(это при

условии, что каждый что-то собрал).
Ответ: Так как 110 больше 100, то какие-то два из них собрали одинаковое число орехов как минимум

На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра

равна сумме первых двух?

Решение:Очевидно, что последняя цифра больше 1. Трёхзначное простое число не может оканчиваться ни на чётную цифру (т. е. на 0, 2, 4, 6 или 8), ни на цифру 5. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3. Таким образом, осталась только цифра семь.
Ответ:только на 7.

Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или

прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?
Решение: После того как листок побывает в руках у богатыря, число, на нём написанное, будет менять свою чётность, т.е. станет чётным, если было нечётное, и наоборот. Это значит, что после 33-х изменений число станет нечётным, т.е. никак не сможет равняться 10. Ответ:нет, не может.

Проверив контрольные, строгий директор Фёдор Калистратович сказал, что он поставил

двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли строгий Фёдор Калистратович?
Решение:конечно же, директор ошибся. Число оценок должно быть чётным, поскольку чётно число учеников, но если бы директор был прав, то число учеников можно было бы выразить формулой 13 + 2a, где a — число "не двоек", т.е. получается, что число учеников нечётно. Противоречие и доказывает, что Фёдор Калистратович был неправ.Ответ Фёдор Калистратович ошибся.

12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на

24?
Решение:данное число не делится на 4, поскольку число, составленное из двух его последних цифр — 34 — не делится на 4. А, значит, указанное в условии число не делится и на 24.

h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно

один раз?
Решение:пусть клетка a1 — белая. Тогда противоположная ей клетка h8 — также белая.Конь должен сделать 63 хода.Каждым нечетных ходом (первым, третьим и так далее) от будет вставать на черную клетку, а каждым четным ходом (вторым, четвертым и так далее) будет возвращаться на белый цвет.
Последним (63-им, нечетным) ходом он встанет на черное поле. Но клетка h8 — белая. Поэтому конь не может закончить свой путь в клетке h8.Ответ :нет, не может.