Симметрия многогранника

как их еще называют Платоновы тела, обладают неповторимыми свойствами. С

этими объектами связано несколько научных гипотез. Когда начинаешь изучать данные геометрические тела, понимаешь, что практически ничего не знаешь о таком понятии, как правильные многогранники. Презентация этих объектов в школе не всегда проходит интересно, поэтому многие даже и не помнят, как они называются. В памяти большинства людей остается только куб. Ни одни тела в геометрии не обладают таким совершенством, как правильные многогранники. Все названия этих геометрических тел произошли из Древней Греции. Они означают количество граней: тетраэдр - четырехгранный, гексаэдр - шестигранный, октаэдр - восьмигранный, додекаэдр – двенадцатигранный, икосаэдр - двадцатигранный. Все эти геометрические тела занимали важнейшее место в концепции Платона о мироздании. Четыре из них олицетворяли стихии или сущности: тетраэдр - огонь, икосаэдр - воду, куб - землю, октаэдр - воздух. Додекаэдр воплощал все сущее. Он считался главным, поскольку был символом мироздания.

из сторон любого из многоугольников является одновременно и стороной только

одного другого многоугольника по той же стороне;
от каждого из многоугольников можно дойти до других переходя по смежным с ним многоугольникам.

- ребра. Вершинами многогранников являются вершины многоугольников. Если под понятием

многоугольник понимают плоские замкнутые ломаные, то приходят к одному определению многогранника. В том случае, когда под этим понятием подразумевают часть плоскости, что ограничена ломаными линиями, то следует понимать поверхность, состоящую из многоугольных кусочков. Выпуклым многогранником называют тело, лежащее по одну сторону плоскости, прилегающей к его грани.

многоугольников, которая ограничивает геометрическое тело. Они бывают:
невыпуклыми;
выпуклыми (правильные и неправильные).

Правильный

многогранник - это выпуклый многогранник с максимальной симметрией. Элементы правильных многогранников:
тетраэдр: 6 ребер, 4 грани, 5 вершин;
гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
додекаэдр: 30, 12, 20;
октаэдр: 12, 8, 6;
икосаэдр: 30, 20, 12.

топологически эквивалентных сфере. Складывая количество вершин и граней (В +

Г) у различных правильных многогранников и сравнивая их с количеством ребер, можно установить одну закономерность: сумма количества граней и вершин равняется числу ребер (Р), увеличенному на 2. Можно вывести простую формулу:

В + Г = Р + 2.

Эта формула верна для всех выпуклых многогранников.

многозначное и объемное. Чтобы тело было признано таковым, необходимо, чтобы

оно отвечало ряду определений. Так, геометрическое тело будет являться правильным многогранником при выполнении таких условий:
оно выпуклое;
одинаковое количество ребер сходится в каждой из его вершин;
все грани его - правильные многоугольники, равные друг другу;
все двугранные углы его равны.

у него плоский угол при вершине составляет 90°. Он имеет

3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 270°.
Тетраэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 180°.
Октаэдр - плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 4-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 240°.
Додекаэдр - плоский угол при вершине 108°. Он имеет 3-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины - 324°.
Икосаэдр - у него плоский угол при вершине - 60°. Он имеет 5-гранный угол. Сумма плоских углов у вершины составляет 300°.

площадь правильного многоугольника, умноженная на количество его граней (G):
S =

(a : 2) х 2G ctg π/p.

в основании которой находится правильный многоугольник, на число граней, а

высота ее является радиусом вписанной сферы (r):
V = 1 : 3rS.

имеют различные объемы. Ниже представлены формулы, по которым можно их

вычислить:
тетраэдр: α х 3√2 : 12;
октаэдр: α х 3√2 : 3;
икосаэдр; α х 3;
гексаэдр (куб): 5 х α х 3 х (3 + √5) : 12;
додекаэдр: α х 3 (15 + 7√5) : 4.

концентрические сферы:
описанная, проходящая через его вершины;
вписанная, касающаяся каждой его грани

в центре ее;
срединная, касающаяся всех ребер в середине.
Радиус сферы описанной рассчитывается по такой формуле:
R = a : 2 х tg π/g х tg θ : 2.
Радиус сферы вписанной вычисляется по формуле:
R = a : 2 х ctg π/p х tg θ : 2,

словами, они могут получиться друг из друга в том случае,

если центр тяжести грани одного принимается за вершину другого, и наоборот. Также дуальными являются икосаэдр и додекаэдр. Сам себе дуален только тетраэдр. По способу Евклида можно получить додекаэдр из гексаэдра с помощью построения «крыш» на гранях куба.

Вершинами тетраэдра будут любые 4 вершины куба, не смежные попарно по ребру. Из гексаэдра (куба) можно получить и другие правильные многогранники. Несмотря на то что правильных многоугольников есть бесчисленное множество, правильных многогранников существует всего 5.

сферы срединной можно вычислить по следующей формуле:
ρ = a cos

π/p : 2 sin π/h,
где h величина = 4,6 ,6,10 или 10. Отношение описанных и вписанных радиусов симметрично относительно p и q. Оно рассчитывается по формуле:
R/r = tg π/p х tg π/q.