Слайд 1СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ВИДЫ, СВОЙСТВА.
Слайд 2ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - совокупность приемов и правил для записи
чисел.
Коэффициенты - знаки (цифры), используемые для записи чисел.
Наиболее
известна десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Слайд 3
Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество.
Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:
возможность представления
любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
простоту оперирования числами.
Слайд 4СВОЙСТВА СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Все системы представления чисел делят на позиционные и
непозиционные.
Непозиционная система счисления - система, для которой значение символа не
зависит от его положения в числе. Непозиционные система счисления в настоящее время используются редко, в основном для целей нумерации. Примером такой системы является римская система счисления с цифрами:
Десятичные цифры 1 5 10 50 100 500 1000 и т. д.
Римские цифры I V X L C D M и т. д.
Несколько стоящих рядом одинаковых цифр суммируются: ХХХ =Х +Х +Х= 30. Если рядом стоят две разные цифры, причем младшая - справа от старшей, то они также суммируются: XVI= X+ V+ I= 16; если же младшая цифра находится слева от старшей, то она вычитается из этой старшей цифры: IX= X- I= 9.
Например, MCMLXV= 1965; MMDCLIII= 2653.
Слайд 5ОСНОВНЫЕ НЕДОСТАТКИ НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ:
Теоретически имеют бесконечное количество цифр;
Арифметические действия
над числами в них очень сложны.
Например, умножить: XXXII и XXIV.
Поэтому
преимущественное применение получили позиционные системы счисления.
Слайд 6ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Позиционными называются такие системы, в которых значение
каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в
числе.
Например, 222 - первая цифра справа означает две единицы, соседняя с ней - два десятка, а левая - две сотни.
Любая позиционная система счисления характеризуется основанием.
Слайд 7ОСНОВАНИЕ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Основание позиционной системы счисления - количество знаков
или символов, используемых для изображения чисел в данной системе.
Возможно бесчисленное
множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое число, образовав, таким образом, новую систему. Например, запись числа в шестнадцатеричной системе может производиться с помощью следующих цифр(знаков): 0,1,...,9,A,B,...,F.
Слайд 8Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется
базисом позиционной системы счисления
Слайд 9РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ
Для позиционной системы
счисления справедлива теорема:
Любое число в позиционной системе можно записать в
развернутой форме, через основание, причем единственным способом. Т.е.:
A= anpn + an-1pn-1 + ... + a1p1 + a0p0 + a-1p-1 + ...
+ a-mp-m
, где
А- произвольное число, записанное в системе счисления с основанием р;
аi- коэффициенты ряда (цифры системы счисления);
n, m- количество целых и дробных разрядов.
На практике используют сокращенную запись чисел:
А= anan-1 ... a1a0a-1... a-m
Слайд 10ПРИМЕРЫ РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
В десятичной
системе счисления числа изображаются с помощью цифр 0,1,…,9. Например, 3957,25=3*103+9*102+5*101+7*100+
2*10-1+5*10-2
В
восьмеричной системе счисления числа изображают с помощью цифр 0,1,...,7. Например, 124,5378= 1*82 + 2*81 +4*80 + 5*8-1 + 3*8-2 +
7*8-3.
В двоичной системе счисления используют цифры 0, 1. Например, 1001,11012=1*23 + 0*22 + 0*21 +1*2-1 + 1*2-2 +1*2-3 +0*2-4 .
Для записи чисел в троичной системе берут цифры 0, 1, 2. Например, 21223=2*33 + 1*32 + 2*31 + 2*30.