Теорема Пифагора. Различные способы ее доказательства

древнегреческий философ (др.-греч. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος; 570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ,математик (др.-греч. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος; 570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ,математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

возрасте отправился в путешествие в Египет, Вавилон
Вернулся на родину в

56 лет
В греческой колонии Кротоне в Южной Италии основал свою школу
Был женат на своей ученице Феано, имел сына и дочь.

собственности в пользу союза
не проливать крови
не употреблять мясной пищи
беречь тайну

учения своего учителя
не обучать других за вознаграждение

делал предсказания
Способен раздваиваться
Исцелял людей
Перевоплощённый бог Аполлон
Имел золотое бедро

только в настоящем.
Дружба есть равенство.
Жизнь подобна игрищам:

иные приходят на них состязаться, иные торговать, а самые счастливые — смотреть.
Из двух человек одинаковой силы сильнее тот, кто прав.

-математическое выражение интервалов между звуками гаммы (т.н. «лидийской» гаммы).
4

одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонамипрямоугольного треугольника.

пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой

же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было

известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э.Мориц Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом

ко времени ХаммурапиНесколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника[2]. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях.
Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников,Ван-дер-ВарденОсновываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников,Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теоремаОсновываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой — на критическом изучении греческих источников,Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

чтобы находитьпифагоровы тройки. Однако Прокл писал, что не существует явного

упоминания, относящегося к периоду продолжительностью 5 веков после смерти Пифагора, что Пифагор был автором теоремы.
Однако, когда авторы, такие как ПлутархОднако, когда авторы, такие как Плутарх иЦицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным.«Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».

пиром, заклав на радостях сотню быков.Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно

Проклу, ПлатонПо преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» ЕвклидаПо преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

« Площадь квадрата, построенного

на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». 

Во времена Пифагора теорема звучала так:

или

треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на

сторонах, заключающих прямой угол".»
  Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ) в переводе на русский гласит:"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне,

столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".
В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на

сторонах, заключающих прямой угол".»
  Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ) в переводе на русский гласит:"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

катетов».    

(геометрических, алгебраических, механических и т.д.).

+ c.
c
a

со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a

и c.

a

c

a

c

В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c.

a

c

Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c.

ACFG и BCHI-квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины

C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q; соединим точки C и E, B и G.

AGB(закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и

углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA; они имеют общее основание AE и высоту AP, опущенную на это основание, следовательно
SPQEA=2SACE
Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, SFCAG=2SGAB

Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

угла С. 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует
AB*AD=AC2.
3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB,

значит
AB*BD=BC2.
4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
AC2+BC2=АВ*(AD + DB)
AB2=AC2+BC2. Что и требовалось доказать.

AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим

перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

SABED=2*AB*AC/2+BC2/2
3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:
SABED= (DE+AB)*AD/2.
4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:
AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2
AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2
AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC
BC2=AB2+AC2.
   Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум

углам. Аналогично, треугольникCBH подобен ABC. 

что эквивалентно

теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё

или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga -

бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.