если результат испытания не зависит от номера испытания и от
того, что произошло до этого испытания.Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях.
Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Теория вероятностей. Случайные величины
Содержание
- 1. Теория вероятностей. Случайные величины
- 2. Схема БернуллиРассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний
- 3. Формула БернуллиВероятность того, что при n испытаниях событие А наступит к-раз:
- 4. Схема БернуллиПример.Вероятность того, что образец бетона при
- 5. Схема БернуллиАсимптотические формулы.1. Формула Пуассона.Пусть число испытаний
- 6. Схема БернуллиПример 1 .Известно, что при транспортировке
- 7. Схема Бернулли2. Локальная теорема Муавра-Лапласа.Пусть число испытаний
- 8. Схема Бернулли3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.Пусть число испытаний
- 9. Схема БернуллиПример 2 .Завод изготавливает 80% высоконапорных
- 10. Схема БернуллиПример 3 .Вероятность поражения цели при
- 11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятностиЗадача.Производится
- 12. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятностиРешение.По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
- 13. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятностиТогда Анализ :
- 14. Случайная величинаОпределение.Случайной величиной называется числовая величина (числовая
- 15. Случайная величинаПример 2.Рассмотрим схему Бернулли:последовательность n независимых
- 16. Слайд 16
- 17. Случайная величинаДискретная случайная величина – такая случайная
- 18. Случайная величинаПример 3. Рассмотрим схему Бернулли:последовательность n
- 19. Случайная величинаПример 5.Случайным образом бросают точку на
- 20. Способы задания случайной величиныФункция распределения и ее
- 21. Закон распределения дискретной случайной величиныОпределение.Закон распределения дискретной
- 22. Закон распределения дискретной случайной величиныПримеры.1. Биномиальный закон
- 23. Дискретная случайная величинаОсновное свойство закона распределения:Функция распределения
- 24. Непрерывная случайная величинаОпределение.Случайная величина ξ называется непрерывной,
- 25. Свойства плотности распределения1.2.3.4.
- 26. Непрерывная случайная величинаПример. Случайным образом бросают точку
- 27. Непрерывная случайная величина110
- 28. Числовые характеристики случайных величинМатематическое ожидание.Определение.Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξназывается число, равное
- 29. Числовые характеристики случайных величинМатематическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число, равное
- 30. Числовые характеристики случайных величинСвойства математического ожидания.1.2.3.4.
- 31. Числовые характеристики случайных величинПример 1. Случайным
- 32. Числовые характеристики случайных величинДисперсия случайной величины.Определение.Дисперсией
- 33. Числовые характеристики случайных величинСвойства дисперсии. 1.2.3.4. Следствие.
- 34. Числовые характеристики случайных величинДоказательство.
- 35. Числовые характеристики случайных величинСреднеквадратическое отклонение случайной величины.Определение.Среднеквадратическим отклонением случайной величины ξ называется числоСвойства.1.2.
- 36. Числовые характеристики случайных величинПример 2. Случайным
- 37. Обзор стандартных распределений
- 38. Обзор стандартных распределений
- 39. Биномиальное распределениеξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли).Закон распределения:Пример
- 40. Распределение Пуассонаξ=(0,1,2,…,n,…)Закон распределения:
- 41. Геометрическое распределениеξ=(0,1,2,…,n,…)Закон распределения:Пример
- 42. Равномерное распределениеПлотность распределения:Функция распределения:1bbaaПример
- 43. Показательное распределениеПлотность распределения:Функция распределения:010
- 44. Нормальное распределениеОпределение.Непрерывная случайная величина ξимеет нормальное распределениес параметрами a и σ,если плотность распределенияВероятностный смысл параметров:
- 45. Нормальное распределениеГрафик плотности распределения.Нормированное распределение.Кривая Гауссах
- 46. Нормальное распределениеФункция распределения.
- 47. Нормальное распределениеВероятность попадания в интервал.Следствие: (вероятность отклонения ξ от а не более чем на ε)
- 48. Нормальное распределениеПравило «3σ».Практически достоверно, что
- 49. Нормальное распределениеПример.Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта-
- 50. Функции случайного аргументаОпределение.Если любому значению случайной величины
- 51. Функции случайного аргумента
- 52. Функции случайного аргументаПример 1.
- 53. Функции случайного аргументаПример 2.
- 54. Системы случайных величин В случае, когда результат
- 55. Системы случайных величин Двумерные случайные величиныДискретные - закон распределения
- 56. Системы случайных величин Непрерывные - функция распределения- вероятность попадания в бесконечный уголxy(x,y)Свойства 1.2.3.не убывает покаждому аргументу
- 57. Системы случайных величин Плотность распределения вероятностей случайного вектора.Определение.Плотностью распределения случайного вектораназываютСвойства плотности1.2.3.4.
- 58. Системы случайных величин Зависимость случайных величин.Случайный вектор
- 59. Системы случайных величин Ковариация. Коэффициент корреляции.Определение
- 60. Системы случайных величин Свойства.1. Если X
- 61. Моменты случайной величиныОпределение 1.Начальным моментом случайной величины
- 62. Моменты случайной величиныОпределение 3.Абсолютным центральным моментом случайной
- 63. Слайд 63
- 64. Неравенство ЧебышеваПусть Х – случайная величина;Следствие: Чем
- 65. Закон больших чиселОпределение.Последовательность случайных величин
- 66. Закон больших чиселТеорема Чебышева.Пусть
- 67. Закон больших чиселТеорема Хинчина (1929 г.).Пусть
- 68. Центральная предельная теоремаТеорема.Пусть
- 69. Центральная предельная теоремаТеорема Ляпунова (1901 г.).Пусть
- 70. Центральная предельная теорема Распределение
- 71. Центральная предельная теоремаСледствие: нормальный закон занимает
- 72. Центральная предельная теоремаПример.В геодезии причинами возникновения ошибок
- 73. Скачать презентанцию
Схема БернуллиРассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов).Испытания считаем независимыми, если результат испытания не зависит от номера испытания и от того, что произошло до этого испытания.Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Схема Бернулли
Рассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов).
Испытания считаем независимыми,
Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях.
Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р
Слайд 4Схема Бернулли
Пример.
Вероятность того, что образец бетона при испытании выдержит нормативную
нагрузку, равна 0,9.
Найти вероятность того, что из 7 образцов 5
выдержат испытания.Решение.
По формуле Бернулли
Слайд 5Схема Бернулли
Асимптотические формулы.
1. Формула Пуассона.
Пусть число испытаний n - велико
( n→∞ )
Вероятность р события А – мала (
р→0 )Причем
Тогда при любом фиксированном к
Закон редких событий
Слайд 6Схема Бернулли
Пример 1 .
Известно, что при транспортировке 2,5% декоративной плитки
повреждается. Определить вероятность того, что в партии из 200 плиток
оказалось поврежденными:а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток.
Решение.
Вероятность того, что плитка окажется поврежденной,
р=0.025 – мала, число испытаний n=200 –велико, причем np=5<10.
По формуле Пуассона:
а) б)
Слайд 7Схема Бернулли
2. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Пусть число испытаний n – велико
(n→∞)
Вероятность р события А – не очень мала ( 0
)(р не близко к 0 и к 1)
Тогда при любом фиксированном к
Слайд 8Схема Бернулли
3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
Пусть число испытаний n – велико
(n→∞)
Вероятность р события А – не очень мала ( 0
)(р не близко к 0 и к 1)
Тогда вероятность того, что событие А наступит
не менее к-раз и не более m-раз,
приближенно равна
Слайд 9Схема Бернулли
Пример 2 .
Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб первого
сорта.
Определить вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого
сорта.Решение.
n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1.
По локальной теореме Муавра –Лапласа:
Слайд 10Схема Бернулли
Пример 3 .
Вероятность поражения цели при одном выстреле равна
0,8.
Производится 100 выстрелов.
Норматив считается выполненным, если цель будет поражена не
менее 75 раз.Определить вероятность выполнения норматива.
Решение.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
Слайд 11Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности
Задача.
Производится n независимых однородных
испытаний.
В каждом испытании событие А может наступить
с вероятностью р,
где 0 << р << 1.Найти вероятность того, что относительная частота
отклонится от вероятности р (по абсолютной величине)
не более чем на ε>0 :
Слайд 12Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности
Решение.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
Слайд 14Случайная величина
Определение.
Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой
может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Обозначения:
Пример 1.
1. Число
вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, является случайным и принимает те или иные значения в зависимости от случайных обстоятельств.
Слайд 15Случайная величина
Пример 2.
Рассмотрим схему Бернулли:
последовательность n независимых однородных испытаний,
событие А
– случайное событие, которое может наступить при каждом испытании.
, если при i-ом испытании событие А наступило, и, если оно не наступило.
Случайная величина
- число наступлений события А в схеме Бернулли.
Слайд 17Случайная величина
Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может
принимать конечное или счетное множество значений.
Значения непрерывной случайной величины –принадлежат
интервалу (конечному или бесконечному). 
Слайд 18Случайная величина
Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли:
последовательность n независимых однородных испытаний,
А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании.
Пусть
Х – число наступлений события А.Х={ 0,1,2,…,п } – дискретная случайная величина.
Пример 4.
Проводятся независимые однородные испытания до первого появления события А.
Пусть ξ – функция, равная числу испытаний, проведенных до первого появления события А.
ξ={0,1,2,3,…} –дискретная случайная величина.
Обзор
Слайд 19Случайная величина
Пример 5.
Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в
].
Х – координата точки попадания.
Х є [ а,в] – непрерывная
случайная величина.Пример 6.
Время работы прибора без поломки μ – непрерывная случайная величина.
μ є ( 0, ∞ )
![Случайная величинаПример 5.Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ].Х – координата точки попадания.Х є [](/img/thumbs/bd032ea70978f0ca30ff83d69db57445-800x.jpg "Теория вероятностей. Случайные величины Случайная величинаПример 5.Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ].Х")
Слайд 20Способы задания случайной величины
Функция распределения и ее свойства.
Определение.
Функция
, равная вероятности того, что
случайная величина примет значение меньше х, называется функцией распределения:Свойства.
1. Область определения F(x): х є (-∞, ∞).
2. Область значений : 0 ≤ F(x) ≤ 1.
3. Функция F(x) – неубывающая:
4.
5. Вероятность попадания в интервал (а,в):
Слайд 21Закон распределения дискретной случайной величины
Определение.
Закон распределения дискретной случайной величины –
это соответствие между возможными значениями и вероятностями, с которыми эти
значения принимает случайная величина.Способы задания:
Таблично Графически
Аналитически
Слайд 22Закон распределения дискретной случайной величины
Примеры.
1. Биномиальный закон ( в схеме
Бернулли):
2. Равномерное распределение ( в классической схеме):
3. Распределение Пуассона:
Слайд 23Дискретная случайная величина
Основное свойство
закона распределения:
Функция распределения –
кусочно-
непрерывная функция.
График функции
распределения –ступенчатая фигура.
Слайд 24Непрерывная случайная величина
Определение.
Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция
распределения F(x)- непрерывная при всех х и имеет почти всюду
производную F'(x)=f(x).В этом случае функция f(x) называется плотностью распределения вероятности.
Замечания. В некоторых учебниках такие случайные величины называют абсолютно непрерывными.
Если F(x)- непрерывная и не дифференцируемая функция, то в этом случае случайную величину называют сингулярной.
Слайд 26
Непрерывная случайная величина
Пример.
Случайным образом бросают точку на отрезок [
0,1 ].
ξ– координата точки попадания.
Найти функцию распределения F(x) и плотность
f(x).Решение.
Из определения:
Обзор
![Непрерывная случайная величинаПример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ].ξ– координата точки попадания.Найти функцию распределения](/img/thumbs/640957dbbae86d27a04415b6418101e4-800x.jpg "Теория вероятностей. Случайные величины Непрерывная случайная величинаПример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1")
Слайд 28Числовые характеристики
случайных величин
Математическое ожидание.
Определение.
Математическим ожиданием
дискретной случайной величины ξ
называется
число, равное
Слайд 29Числовые характеристики
случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется
число, равное
Слайд 31
Числовые характеристики
случайных величин
Пример 1.
Случайным образом бросают точку на
отрезок [ 0,1 ].
ξ– координата точки попадания.
Найти математическое ожидание
Решение.
Из определения:
![Числовые характеристики случайных величинПример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ].ξ– координата точки](/img/thumbs/8e909f6de78fa37e1032bc0f9161f151-800x.jpg "Теория вероятностей. Случайные величины Числовые характеристики случайных величинПример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок")
Слайд 32Числовые характеристики
случайных величин
Дисперсия случайной величины.
Определение.
Дисперсией случайной величины ξ называется
математическое
ожидание квадрата отклонения
случайной величины от ее
математического ожидания:
Слайд 35Числовые характеристики
случайных величин
Среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Определение.
Среднеквадратическим отклонением
случайной величины
ξ называется число
Свойства.
1.
2.
Слайд 36
Числовые характеристики
случайных величин
Пример 2.
Случайным образом бросают точку на
отрезок [ 0,1 ].
ξ– координата точки попадания.
Найти дисперсию и
среднеквадратическое
отклонение.Решение.
Из формулы:
![Числовые характеристики случайных величинПример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ].ξ– координата точки](/img/thumbs/9c3b7ade71563cd013e86a376b75434d-800x.jpg "Теория вероятностей. Случайные величины Числовые характеристики случайных величинПример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок")
Слайд 39
Биномиальное распределение
ξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли).
Закон распределения:
Пример
Слайд 44Нормальное распределение
Определение.
Непрерывная случайная величина ξ
имеет нормальное распределение
с параметрами a и
σ,
если плотность распределения
Вероятностный смысл параметров:
Слайд 45Нормальное распределение
График плотности распределения.
Нормированное распределение.
Кривая Гаусса
х
Слайд 47Нормальное распределение
Вероятность попадания в интервал.
Следствие:
(вероятность отклонения ξ от а
не более чем на ε)
Слайд 49Нормальное распределение
Пример.
Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта
- случайная величина, распределенная
по нормальному закону.
Если стандартная длина – 40 см, а среднеквадратическое
отклонение – 0,4 см, то какое отклонение длины изделия от стандарта можно ожидать с вероятностью 0,8 ?Решение.
Слайд 50Функции случайного аргумента
Определение.
Если любому значению случайной величины Х
соответствует одно возможное
значение
случайной величины Y, то говорят что
Y – функция
случайного аргумента Х: Пример.
Х – случайная величина.
Y=X² или Y = (Х-а)² -функции от Х.
Слайд 54Системы случайных величин
В случае, когда результат стохастического эксперимента определяется несколькими
случайными величинами, то говорят, что имеется система случайных величин:
Примеры.
1. Заготовка имеет 3 размера – длину, ширину и высоту – случайные величины:
2. при моделировании бюджета одной семьи
затраты – случайный вектор: на питание, на одежду,
обувь, на транспорт, духовные потребности.
- (случайный вектор),
- компоненты
Слайд 56Системы случайных величин
Непрерывные - функция распределения
- вероятность попадания в бесконечный
угол
x
y
(x,y)
Свойства
1.
2.
3.
не убывает по
каждому аргументу
Слайд 57Системы случайных величин
Плотность распределения вероятностей случайного вектора.
Определение.
Плотностью распределения случайного вектора
называют
Свойства
плотности
1.
2.
3.
4.
Слайд 58Системы случайных величин
Зависимость случайных величин.
Случайный вектор
;
- плотность, - функция распределения.Определение.
Случайные величины Х и Y (компоненты случайного вектора)
называются независимыми, если
Следствия. 1.
2.
для независимых
случайных величин
Слайд 59Системы случайных величин
Ковариация. Коэффициент корреляции.
Определение 1.
Ковариацией случайных величин X
и Y называют число
Определение 2.
Коэффициентом корреляции случайных величин X
и Y называют число
Слайд 60Системы случайных величин
Свойства.
1. Если X и Y – независимые
случайные величины, то
2.
3. Если X и Y –
линейно зависимые, то есть, то
[обратное неверно]
Слайд 61Моменты случайной величины
Определение 1.
Начальным моментом случайной
величины Х порядка n
называют
математическое ожидание :
Определение
2.Центральным моментом случайной
величины Х порядка n
называют математическое ожидание :
Слайд 62Моменты случайной величины
Определение 3.
Абсолютным центральным моментом
случайной величины Х порядка
n
называют математическое ожидание
:Частные случаи:
1) М(Х)=а – начальный момент 1-го порядка ;
2) М((Х-а))=0 – центральный момент 1-го порядка;
3) М((Х-а)²)=D(X ) – центральный момент 2-го порядка.
Слайд 64Неравенство Чебышева
Пусть Х – случайная величина;
Следствие: Чем меньше дисперсия случайной
величины Х, тем меньше вероятность отклонения Х от а на
большую величину.Правило «3σ» (для любой случайной величины):
Слайд 65Закон больших чисел
Определение.
Последовательность случайных величин
сходится по вероятности
к случайной величине Х, если
Обозначение:
Слайд 66Закон больших чисел
Теорема Чебышева.
Пусть
- попарно независимые случайные величины;
Среднее арифметическое независимых случайных величин
при n – больших - неслучайная величина.
Слайд 67Закон больших чисел
Теорема Хинчина (1929 г.).
Пусть
- независимые случайные величины,
Тогда
При достаточно большом числе независимых опытов
среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.
Практический смысл: при измерении физической величины в качестве точного значения берут среднее арифметическое нескольких измерений.
Слайд 68Центральная предельная теорема
Теорема.
Пусть
- независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а и дисперсией σ² .
Пусть - нормированные случайные величины.
Тогда
то есть
Слайд 69Центральная предельная теорема
Теорема Ляпунова (1901 г.).
Пусть
- независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный центральный момент .
Пусть
Тогда , если , то
и
Слайд 70
Центральная предельная теорема
Распределение - асимптотически
нормально с параметрами
Вклад каждой отдельной случайной величины
в общую сумму
– малый.
Слайд 71Центральная предельная теорема
Следствие: нормальный закон занимает особое место в
теории ошибок измерений.
Ошибку измерения можно рассматривать как сумму большого числа
независимых слагаемых, каждое из которых дает малый вклад в общую сумму.Распределение ошибки измерений близко к нормальному закону.
Замечание (Липман).
Каждый уверен в справедливости закона ошибок:
Экспериментаторы – потому что они думают, что это математическая теорема,
Математики – потому что они думают, что это экспериментальный факт.
Слайд 72Центральная предельная теорема
Пример.
В геодезии причинами возникновения ошибок являются
влияние внешних условий
неточности
изготовления и юстировки приборов
неточности выполнения измерений наблюдателем
При измерении горизонтального
направлениямногократное преломление лучей
неравномерное освещение объекта
неустойчивость сигнала
вращение прибора вследствие нагревания солнцем («кручение»)
неустойчивость теодолита
температурные и другие изменения в приборе
ошибки юстировки
ошибки разделения горизонтального круга
личные ошибки наблюдателя
и т.д.
Опыт подтверждает - распределение ошибки измерений близко к нормальному закону.
Теги
