Вероятность. Правила сложения и умножения вероятностей

направления
г.Атырау
Класс: 10g.
Учитель математики
Адилгалиева Жанлыш Салыковна

умножения вероятностей.
* P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
*

Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них

Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них

1

Решение. Перенумеруем все шары. Всего шаров 11. Исходом считаем выбор 5 любых шаров.

11

Количество всех исходов  равно С115 = 11!/(5!6!) = 11*10*9*8*7/(2*3*4*5) = 462.  

Благоприятный исход - выбор 3 белых шаров и двух черных.

3 шара из 5 можно выбрать С53 способами.
 А выбрать 2 черных шара из 6 можно С62 способами.

Количество благоприятных исходов равно произведению
С53 * С62 = 5!/(3!*2!) * 6!/(2!*4!) = 5*4*3*2/(3*2*2) * 6*5*4*3*2/(2*4*3*2) = 10 * 15 = 150
Р = 150 / 462 ≈ 0,325

3 красных, достают наугад 4 шара. Найти вероятность, что среди

3 красных, достают наугад 4 шара. Найти вероятность, что среди

Решение. Задачу можно переформулировать так: найти вероятность того, что  вынуты три шара разного цвета (четвертый может быть любым).

Всего шаров 6+5+3=14.  Исход - выбор трех шаров из 14.

Всего исходов: С143= 14!/(3!*11!) = 14*13*12/(2*3) = 364

Благоприятный исход - выбраны 3 разных по цвету шара, а четвертый шар - любого цвета из оставшихся 11 шаров. 
Количество благоприятных исходов равно С61*С51*С31 =6*5*3=90
Р=90/364 = 0,247

урны наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это

урны наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это

Решение.
a) Вероятность, что первый шар белый Р=5/9

Осталось 4 белых, всего 8 шаров, вероятность вытащить второй белый = 4/8=1/2
Р=5/9*1/2 = 5/18 =0,28

б) Р=4/9 * 3/8 = 1/6

в) Вероятность, что первый черный, а второй белый Р=4/9 * 5/8 = 5/18

Вероятность, что первый белый, а второй черный Р=5/9 * 4/8 = 5/18

Окончательно, вероятность, что 1 белый и один черный Р=5/18 + 5/18 = 10/18 = 5/9

шара. Какова вероятность того, а)что эти шары черного цвета? б)одинаковые? в)

шара. Какова вероятность того, 1)что эти шары черного цвета? 2)одинаковые? 3)

Решение. Всего шаров в первой урне 10. 

1) Вероятность извлечь первым черный шар из первой урны равна 8/10, останется 9 шаров, из них 7 черных. Вероятность извлечь черны шар равна 7/9.
Вероятность того, что первый черный и второй черный Р1=8/10*7/9= 28/45 = 0,6222..≈ 0,62 

2) Аналогично находим, что оба шара белые.
Р2 = 2/10 * 1/9 = 1/45 ≈ 0,02
Вероятность, что оба шара одного цвета (или оба черные или оба белые) равна
Р = Р1+Р2 = 28/45+1/45 = 29/45 = 0,64

3) Вероятность, что первый белый, а второй черный Р3= 2/10 * 8/9 = 8/45
Вероятность, что первый черный, а второй белый  Р4 = 8/10 * 2/9 = 8/45 
Р = Р3+Р4 = 16/45 = 0,35

белых, 4 черных и 4 красных шара, во второй –

1 урна

2 урна

3 урна

белых, 4 черных и 4 красных шара, во второй –

1 урна

2 урна

3 урна

Гипотезы Н1, Н2, Н3 - шар вынут, соответственно, из 1-й, 2-й,  третьей урны.  Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3

P(A|H1) = 4/12 = 1/3

P(A|H2) = 8/18=4/9

P(A|H3) = 0/12 = 0

P(A) = 1/3*(1/3+4/9+0) = 1/3* 7/9 = 7/27

P(H2|A) = P(H2)*P(A|H2)/P(A) = (1/3 * 4/9) / (7/27) = 4/7

шаров, а во второй - 5 белых и 4 черных.

1 урна

2 урна

Решение.
Н1 - выбран белый шар из 1-й корзины; Н2 - выбран черный шар из 1-й корзины
А - выбран белый шар из 2-й корзины

Р(Н1) = 6/10 = 0,6

Р(Н2)= 4/10 = 0,4

Р(А/Н1) =6/10 = 0,6  {вероятность события А при условии, что произошло событие Н1}

Р(А/Н2) = 5/10 = 0,5 {вероятность события А при условии, что произошло событие Н2}

Р(А) = Р(Н1)*Р(А/Н1) + Р(Н2)*Р(А/Н2) = 0,6*0,6 + 0,4*0,5 = 0,56
Р(Н1/А) = [ Р(А/Н1) * Р(А) ] / Р(Н1) = (0,6*0,56)/0,6 = 0,56
Ответ: 0,56

до 5, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается,

Решение.
Событие А: извлекли первый шар с номером 1
(вероятность равна 1/5), то его не вернут,
и вероятность вынуть затем шар №2 равна 1/4.

Р(А) =1/5*1/4=1/20.

Событие В: извлекли шар №"2 с вероятность 1/5, осталось 4 шара, вероятность вторым вынуть шар №2 равна 0.

Р(В)=1/5*0=0

Событие С: первым извлекли шар №3 или №4 или №5. Вероятность равна 3/5, вероятность вынуть вторым шар №2 равна 1/5 (так первый шар вернули).