Разделы презентаций


Вневписанная окружность

СодержаниеВведение.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Доклад на тему: «Вневписанная окружность»
Номинация: математика
Выполнили:
Коляда Валентина
Афонина Екатерина
ученицы 9м класса
гимназии №

22
научный руководитель
учитель высшей категории
Плеснявых Елена Аслановна

Доклад на тему: «Вневписанная окружность»Номинация: математикаВыполнили:Коляда ВалентинаАфонина Екатеринаученицы 9м классагимназии № 22научный руководительучитель высшей категорииПлеснявых Елена Аслановна

Слайд 2Содержание
Введение.


Основная часть
Глава 1. Определение вневписанной окружности.
Центр вневписанной окружности.
Касательная к вневписанной окружности.
Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных
окружностей.
§ 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и
периметром треугольника
§ 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и
периметром треугольника
Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных
окружностей.
§ 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через
радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности
§ 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных
окружностей, через величину обратную радиусу вписанных
окружностей.
§ 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов
вневписанных окружностей через квадрат полупериметра
треугольника.
§ 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей
через произведение радиуса вписанной окружности и
квадрат полупериметра треугольника.
§ 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных
окружностей.
Заключение.
Библиография.

СодержаниеВведение.

Слайд 3 Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается

одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон
М
N
H

Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений

Слайд 4 Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего

угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и

биссектрис двух внешних углов треугольника (1)

Дано:
АВС
Окр. (О; r)
М, N, К – точки касания
Доказать (1)

Решение:
Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.


Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника,

Слайд 5Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности

со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника

АВ1 = АС1 = p

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа; ra )

Доказать, что
АВ1 = АС1 = p

Доказательство:
Т.к. Оа - центр вневписанной
окружности. Касательные, прове -
денные к окружности из
одной точки, равны между собой,
поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.
Значит,
2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1
т.е. АВ1 = АС1 = p.





Оа

В1

ra

ra

ra

А

В

С

С1

А1



α/2

α/2

Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного

Слайд 6Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного

внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины

этого угла, т. е. ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg (2)

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)

Доказать (2)



Решение:
В прямоугольном треугольнике А Оа С1
ra и p – длины катетов, угол Оа А С1
равен , поэтому ra = ptg .










А

В

С

Оа

p

p


В1

С1

b

c

ra

ra

ra







Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника

Слайд 7§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен

отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е.

ra = , rb = , rc = (3)

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)

Доказать (3)





Решение:
Имеем
S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е.

ra =







А

В

С

Оа

p

p


В1

С1

b

c

ra

ra

ra








§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и

Слайд 8Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме

радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е.

ra + rb + rc = r + 4R


Доказательство:
Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:
r = , R = , ra = , rb = , rc =

Значит,
ra + rb + rc – r = + + - =

= =

= = = 4R













Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной

Слайд 9§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине,

обратной радиусу вписанной окружности, т. е.

Доказательство:
Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника:

r = , R = , ra = , rb = , rc =

Значит,









§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е.

Слайд 10§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна

квадрату полупериметра треугольника, т. е.

rarb + rbrc + rcra = p2

Доказательство:
Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника:

r = , ra = , rb = , rc =

Подставим





Из формулы Герона следует

(p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому











§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е.

Слайд 11§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению

радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е.

rarbrc = rp2

Доказательство:
Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона

ra = , rb = , rc = ,


Тогда






§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника,

Слайд 12Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов

вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е.




Доказательство:

Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp.

Следовательно



Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е.

Слайд 13Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех

трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е.

Доказательство:

Из следствия 1, что и равенства S = pr,

получаем, перемножая их почленно,

. Значит





Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной

Слайд 14§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную

сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух

других сторон треугольника, т.е. , ,

Доказательство:
Воспользуемся формулами
,
Значит,





,








§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных

Слайд 15Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной

окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами

вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся увлеченным математикой.

3. Заключение.

Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика