Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла

пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из

H

x

Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно

Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.

где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].

Sсеч.

большим числом (n→), то:

где H – высота тела, а Sсеч.

Sсеч.

сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до

x

сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до

x

основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от

x

S.

Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка

x

H

x[0;H]

0

x

сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади

0

сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади

x

x[0;H]

0

сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до

сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади

0

интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где:





R
x
Значит, объем всего

x

0

r

и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним

r

R

h

x

Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!