За пределами множества действительных чисел

ПИМиФ,
группы ВМ-Инф-3-1
Каширин А., Кожухова Е.,
Мартынова Н., Михоленко Ю.

действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений

понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда  a = c и b = d.
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число  a + c + i(b + d).
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число  ac – bd + i(ad + bc).

( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы

и ординаты.
Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.
Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.
Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.
Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bi  и  c+ di называется комплексное число:
( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:
  1)  числа  a+ bi  и  c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,
  2)  число i  обладает основным свойством:  i 2 = –1.
Деление. Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число  e+ f i  (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi.
Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

 

z1+z2=z2+z1
Ассоциативность сложения:
(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3)
3. Для любых комплексных чисел  z1 и

z2 существует комплексное число z : z1+z= z2.  
Это число  z = z1 - z2 называется разностью чисел z1 и z2
4. Для любого комплексного числа z:
z · 1 = z.
5. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством 
z + 0 = z



 

z1 (z2z3)
8. Дистрибутивность:
z1+ (z2 z3)= z1 z2+ z1

z3
Числа,  отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными комплексными числами и обозначаются 
Вывод: Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются тем же законам, что и сложение, и умножение действительных чисел. И вообще, множество действительных чисел – это частный случай комплексных чисел 

при мнимых единицах выбираются из алгебр, являющихся полями. В нашем

случае компонентами кватерниона будем считать действительные числа. Общеупотребительной формой записи кватерниона является:


Здесь  qn- компоненты кватерниона, i, j, k - мнимые единицы кватерниона.
Компонента q0 называется действительной частью, а тройка компонент (q1 , q2, q3) - мнимой. Часто в силу свойств мнимых единиц кватерниона действительную часть называют скалярной, а мнимую - векторной.

именно он дал компонентам кватерниона их вторые названия в виде

“скалярной” и “векторной” части.
В отличие от комплексных чисел, которые являются подмножеством кватернионов, мнимые единицы кватернионов не коммутативны по умножению. Закон умножения мнимых единиц задан таблицей:

сложению
q+p=p+q
2) кватернионы ассоциативны по сложению
a+(b+c)=(a+b)+c
3) кватернионы дистрибутивны
a

(b+c)=a b+a c
4) кватернионы не коммутативны по умножению
qp ≠ pq
Это равенство выполняется только в частных случаях.
5) кватернионы ассоциативны по умножению
a(bc)=(ab)c

где   — вектор

трёхмерного пространства, а  a — скаляр, то есть вещественное число.
Операции сложения определены следующим образом:


Произведение определяется следующим образом:



где    обозначает скалярное произведение, а ×  — векторное произведение

чисел в виде
q= (a+bi)+( c+di)j или эквивалентно
q=z1+z2j, z1=a+bi, z2=c+di
где z1, z2 —

комплексные числа, поскольку i2= -1 выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а k=ij

числа вида а + bе, где а и b -

действительные числа, и для двойных чисел е2 = 1, а для дуальных чисел e2 = 0.
Сложение двойных и дуальных чисел определяется формулой

(a1 + b1e) + (a2 + b2e)= (а1 + а2) + (b1 + b2)e

формуле



(a1 + b1e)(a2 + b2e)= (a1a2 + b1b2) + (a1b2 + a2b1)e
(a1 + b1e)(a2 + b2e)

= a1a2 + (a1b2 + a2b1)e.

числами гиперболического, эллиптического и параболического типов соответственно. Иногда при помощи

этих чисел изображают движения трехмерных пространств Лобачевского, Римана и Евклида

чисел обозначается символом . Дуальное число может быть записано покомпонентно следующим

образом:
z=a+b
Таблица умножения дуальных чисел имеет вид:

алгебраическим и скалярным сопряжением.
Дуальное число z2, сопряженное заданному дуальному числу

z1, выражается покомпонентно как:
если  z=a+b, то z2=a-b
Операция сопряжения обозначается как:



 

Операция сопряжения

умножению:
z1+z2=z2+z1
z1 z2=z2 z1
2) дуальные числа ассоциативны по сложению и по

умножению:
(z1+z2 )+z3=z2+(z1 +z3)
(z1 z2 ) z3=z2 (z1 z3) 
3) дуальные числа дистрибутивны.
z1 (z2+z3)= z1 z2+z1 z3

пару вещественных чисел (x, y) Сложение и умножение определяются по правилам:



1. Сложение:

числа, 9, 10, 11 класс, Глазков Ю.А., Варшавский И.К., Гаиашвили

М.Я., 2010г.
Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.
http://www.dsplib.ru/content/complex/complex.html
http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section4/paragraph1/theory.html
http://habrahabr.ru/post/183908/
http://edu.alnam.ru/book_math_al_3.php?id=103