Задача Дидоны

г. Новотроицка.
Руководитель: Поветкина Наталия Анатольевна
учитель математики высшей категории

проблемы.
Первый способ.
Второй способ.
Третий способ.
Заключение.
Литература.

ночь сворачивается в клубочек, дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна,

наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны. Почему это происходит?
Выбранную мною тему считаю актуальной, потому что экстремальные задачи не только очень важны в математике и ее приложениях, но и красивы. Одна из таких задач – задача Дидоны, которая имеет несколько различных формулировок. Вот одна из них: среди замкнутых кривых заданной длины, найти ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади. Эта задача имеет различные решения.
Чтобы ответить на эти вопросы я стала изучать изопериметрическую задачу.
Изопериметрическая задача – одна из основных задач вариационного исчисления, заключающаяся в следующем: среди всех кривых данной длины найти ту, для которой некоторая величина, зависящая от кривой имеет максимальное или минимальное значение.
Объект исследования: изопериметрическая проблема.
Предмет исследования: приемы решений изопериметрической проблемы.
Цель исследования: выявить и обосновать математические средства для решения этой проблемы.
Задачи:
1) выявить математические средства для решения проблемы
2) решить задачи и доказать некоторые теоремы для решения проблемы

этой легенде, Дидона была дочерью царя Тира и женой жреца

Геракла Акербаса; После того как брат Дидоны Пигмалион убил ее мужа, позарившись на его богатства, Дидона была вынуждена бежать. Захватив с собой часть сокровищ мужа, она в сопровождении многочисленных спутников отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с берберийским царем Ярбом о продаже земли. По условию она могла взять столько земли, сколько можно «окружить бычьей шкурой». Сделка состоялась. Тогда Дидона разрезала эту шкуру на тонкие ремни, связав их воедино, и окружила изрядный кусок земли. На этом месте была основана цитадель Карфагена Бирсу. (По-гречески «бирсу» как раз и означает «шкура».)

Так гласит легенда.

найти кривую, охватывающую максимальную площадь.
Среди замкнутых плоских кривых, имеющих

заданную площадь, найти кривую, имеющих минимальный периметр.

из тетради проделать такое отверстие, чтобы сквозь него мог пройти

человек?

Если лист бумаги разрезать так, что при растяжении данной модели в результате можно получить окружность.

из сторон и сумма двух других, найдите треугольник с наибольшей

площадью.

наибольшую площадь имеет правильный.

что среди таких многоугольников найдется многоугольник, около которого можно описать

окружность, и именно этот многоугольник имеет наибольшую площадь среди рассматриваемых многоугольников.

и данным периметром, имеющий наибольшую площадь.

с п-1 сторонами, имеют один и тот же периметр. Какой

имеет боль­шую площадь?

Задача 6 Круг и правильный многоугольник имеют один и тот же периметр. Что имеет большую площадь?

Задача 7 Круг и произвольный многоугольник имеют один и тот же периметр. Что имеет большую площадь?

Задача 8 Круг и произвольная фигура имеют один и тот же пери­метр. Что имеет большую площадь?

ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади.

Максимальный п-угольник должен быть равноугольным.

само собой разумеющимся). Отсюда из лемм 1 и 2 следует
Теорема

1. Максимальный n-угольник является правиль­ным n-угольником.
Лемма 4. Для любой замкнутой плоской кривой длины Р*. охватывающей площадь S* и для любого ε > 0 можно найти некоторый п-угольник, периметр Р и площадь S которого удов­летворяют неравенствам
|Р-Р*|≤ε, |S-S*|≤ε

изопериметрическую теорему в пространстве: «Из всех тел равного объема наименьшую

поверхность имеет шар».
Изопериметрической теореме в пространстве мы склонны верить без математического доказательства. Сама природа расположена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны.

теореме у мыльного пузыря. Будучи сжаты окружающей средой, они стремятся

в силу сцепления образовать при неизменном объеме более толстую поверхностную пленку, или потому, что они разрешили вопрос о том, какое тело при данном объеме имеет наименьшую поверхность.
То же можно сказать про кота, который в холодную ночь сворачивается в клубочек и таким образом делает своё тело насколько возможно шарообразным. Пытаясь сохранить тепло, он уменьшает свою поверхность. Таким образом, он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью, делая себя возможно более шарообразным.

1967г.
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Физматлит, 1975г.
Радемахер

Г., Теплиц О. Числа и фигуры. – М.: Физматгиз, 1966г.
Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. Библиотечка «Квант», вып. 56. – М.: Наука, 1986 г.
Шарыгин Д. Миф о Дидоне и изопериметрическая задача. «Квант» №1, 1997г