Задачи с экономическим содержанием Задача 17 (профильный уровень)

уровень)

и услуг, минимизацией расходов или максимизацией прибыли и т. п.,

можно отнести к задачам с экономическим содержанием:

Логинова Нина Васильевна

• задачи на чтение и анализ данных, представленных в виде графиков, диаграмм и таблиц,
• простейшие текстовые арифметические задачи на товарно-денежные отношения (в основном на оплату товаров и услуг),
• арифметические текстовые задачи на проценты,
• задачи о кредитовании и банковских процентах,
• задачи оптимизации производства товаров или услуг (минимизации расходов или максимизации прибыли).

целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается

на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн.руб. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад будет меньше 25 млн.руб.

Логинова Нина Васильевна

Пусть S млн. руб. сумма вклада, на 4 года, увелич-ся на 10%

(1,1S) ∙1,1=1,1² S

1,1S

(1,1² S+3) ∙ 1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3) ∙1,1= S + 6,3∙ 1,1

Задачи на вклады

Нина Васильевна
S + 6,93

25

(1,1S)1,1=1,1² S

1,1S

(1,1² S+3) 1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3)1,1 = S + 6,93

S < (25 - 6,93):1,4641

S < 18,07:1,4641

S < 180700:14641

S < 12

Ответ: 12 млн.руб.

целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается

на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн.руб. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за 4 года начислит на вклад больше 5 млн.руб.

Логинова Нина Васильевна

Пусть S млн. руб. сумма вклада, на 4 года

(1,1S)1,1=1,1² S

1,1S

(1,1² S+3)1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3) ∙1,1= S + 6,3∙ 1,1

млн.руб..
Логинова Нина Васильевна
S + 6,93

– S – 6 > 5

(1,1S)1,1=1,1²S

1,1S

(1,1² S+3) 1,1=1,1³ S+3,3

1,4641S – S > 5 - 0,93

0,4641S > 4,07

S > 4,07:0,4641

S > 8

Ответ: 9 млн.руб.

(1,1³ S+3,3+3)1,1 = S + 6,93

месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r—целое число;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Логинова Нина Васильевна

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. руб.

1 млн. руб. – сумма кредита, под r % в месяц, на 6 месяцев

Задачи на кредиты

месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r—целое число;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. руб.

Логинова Нина Васильевна

1 млн руб. – сумма кредита, под r% в месяц, на 6 месяцев

(1+0,01r) 1млн

0,4+0,01r

(1+0,01r) 0,6

0,2+0,006r

(1+0,01r) 0,4

0,1+0,004r

(1+0,01r) 0,3

0,1+0,003r

(1+0,01r) 0,2

0,1+0,002r

(1+0,01r) 0,1

(1+0,01r) 0,1

выплат будет меньше 1,2 млн. руб.



=1+0,026r
(1+0,01r) 1млн
0,4+0,01r
(1+0,01r) 0,6
0,2+0,006r
(1+0,01r) 0,4
0,1+0,004r
(1+0,01r)

0,3

0,1+0,003r

(1+0,01r) 0,2

0,1+0,002r

(1+0,01r) 0,1

(1+0,01r) 0,1

1+ 0,026r < 1,2

r < 0,2:0,026

r < 7

Ответ: r = 7

на три года в размере S млн руб., где S—целое

число. Условия его возврата таковы:
• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Логинова Нина Васильевна

S – сумма кредита, под 25% в год, на 3 года

Найдите наименьшее S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. руб.

1,25S

0,55S

0,7S 1,25 = 0,875S

0,475S

0,4S 1,25 = 0,5S

0,5S

руб., поэтому достаточно рассмотреть меньшую, т.е. 2 год.
1,25S
0,55S
0,7S 1,25 =

0,875S

0,475S

0,4S 1,25 = 0,5S

0,5S

0,475S > 5

S > 10

S > 5:0,475

Ответ: 11 млн.руб.

на 5 лет в размере S тыс. руб.

Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле 2020, 2021 и 2022 годов долг остаётся равным S тыс. руб.;
выплаты в 2023 и 2024 годах равны по 360 тыс.руб.;
к июлю 2024 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за 5лет..

Логинова Нина Васильевна

S тыс.руб. – сумма кредита, под 20% в год, на 5 лет.

1,2S

S

0,2S

1,2S

S

0,2S

1,2S

0,2S

S

1,2S

360

1,2S-360

(1,2S-360) 1,2

360

0

1,2 - 360 = 0
1,2² S = 1,2 ∙ 360

+ 360

S = 792 : 1,44

S = 550

Общая сумма выплат: при S=550 будет равна 0,6S+720=
= 330 + 720 = 1050(тыс.руб.)

Ответ: 1050тыс.руб.

происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней)

после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

Логинова Нина Васильевна

По условию кредит взят на минимальное количество лет. Следовательно, выплата должна быть максимальной, 24000 руб.

100000 ∙ 1,1 = 110000

24000

86000

1,1 ∙ 86000 = 94600

24000

70600

1,1 ∙ 70600 = 77660

24000

53660

1,1 ∙ 53660 = 59026

24000

35026

1,1 ∙ 35026 = 38528,6

24000

14528,6

6

1,1 ∙ 14528,6 = 15981,6

15981,6

0

Ответ: 6 лет

Задачи на подсчёт

Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20%

по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (т.е. за 4 года)?

Логинова Нина Васильевна

S = 8052000 руб. – сумма кредита, под 20% в год, на 4 года.
Х руб. – ежегодный платёж.

1,2S

1,2S - X

1,2(1,2S - X)

1,2² S - 1,2X - X

1,2(1,2² S - 1,2X - X)

1,2³ S – 1,2² X – 1,2X - X

1,2(1,2³ S – 1,2² X – 1,2X - X)

S– 1,2³ X –1,2² X–1,2X - X

Долг выплачен за 4 года.
Следовательно, S – 1,2³ X – 1,2² X – 1,2X – X = 0

S – Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1) = 0

посчитать и без формулы


Логинова Нина Васильевна

S – Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1) = 0

S = Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1)

Х = S:(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1)

Х = 2,0736∙8052000:5,368

Х = 3110400 (руб.)

Ответ: 3110400 руб.

100000 рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает

на r % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Известно, что кредит был полностью погашен за 2 года, причём в первый год было переведено 75000 руб., а во второй – 46000 руб. Найдите число r.

Логинова Нина Васильевна

100000 руб. – сумма кредита, под r % в год, на 2 года.

100000 (1 + 0,01r)

25000 + 1000 r

(25000 + 1000r)(1 + 0,01r)

По условию долг выплачен за 2 года.

(25000 + 1000r)(1 + 0,01r)

- 46000 = 0

250 r + 1000 r +10 r² – 46000 =

0

10 r² +1250 r – 21000 = 0

r² +125 r – 2100 = 0

D = 15625 +8400 = 24025 = 155²

r1 = 15

Логинова Нина Васильевна

r2 = - 140 < 0

Ответ: 15%

размере S тыс.руб. на 3 года,

где S – натуральное число. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тыс.руб.

S – сумма кредита, под 15% в год, на 3 года.

Логинова Нина Васильевна

1,15S

0,45S

1,15 ∙ 0,7S = 0,805S

0,405S

1,15 ∙ 0,4S = 0,46S

0,46S

составлять целое число тыс.руб.
Логинова Нина Васильевна
S – сумма кредита, под

15% в год, на 3 года.

1,15S

0,45S

1,15 ∙ 0,7S = 0,805S

0,405S

1,15 ∙ 0,4S = 0,46S

0,46S

По условию каждая из выплат должна составлять целое число тыс.руб.

0,45S = 45S/100 =9S/20

0,405S = 405S/1000 = 81S/200

0,46S = 46S/100 = 23S/50

HOK(20; 200; 50) = 200

S = 200 (тыс.руб.)

3,6 млн. руб. на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го

числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. а) Сколько рублей составит первый платёж? б) Сколько рублей составит последний платёж?

Логинова Нина Васильевна

S =3,6 млн. руб. – сумма кредита, под 1% в месяц, на 36 месяцев

Задачи на равномерное уменьшение долга
(аннуитетное погашение кредита)

В таких задачах выплата состоит из двух частей: проценты и обязательная ежемесячная часть.

1,01S

0,01S + S /36

1,01 ∙ 35S /36

0,01 ∙ 35S /36 + S /36

1,01 ∙ S /36

0,01 ∙ S /36 + S /36

1% в месяц, на 36 месяцев
1,01S
0,01S + S /36
1,01

∙ 35S /36

0,01 ∙ 35S /36 + S /36

1,01 ∙ S /36

0,01 ∙ S /36 + S /36

а) Первый платёж составит: 0,01S + S/36 = 0,01∙3,6+3,6 : 36 =0,136(млн.руб.)

б) Последний платёж : 0,01 ∙ S /36 + S /36 = 1,01 ∙ 3,6 : 36 = 0,101(млн.руб.)

10) 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3,6 млн. руб. на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. а) Сколько рублей составит первый платёж? б) Сколько рублей составит последний платёж?

месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается

на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за 8-й месяц кредитования нужно выплатить 232 тыс.руб. а)Какую сумму(в руб.) нужно вернуть банку за весь срок кредитования? б)Какую сумму(в руб.) планируется взять в кредит?

Логинова Нина Васильевна

S руб. – сумма кредита, под 2% в месяц, на 15 месяцев

1,02S

0,02S + S /15

1,02 ∙ 14S /15

0,02 ∙ 14S /15 + S /15

1,02 ∙ 8S /15

0,02 ∙ 8S /15 + S /15

1,02 ∙ S /15

0,02 ∙ S /15 + S /15

б) По условию за 8 месяц выплачено 232 тыс.руб.

0,02 ∙ 8S /15 + S /15 = 232000

S = 3000000 (руб.)

а) Найдём общую сумму выплат:

месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается

на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за 8-й месяц кредитования нужно выплатить 232 тыс.руб. а)Какую сумму(в руб.) нужно вернуть банку за весь срок кредитования? б)Какую сумму(в руб.) планируется взять в кредит?

Логинова Нина Васильевна

1,02S

0,02S + S /15

1,02 ∙ 14S /15

0,02 ∙ 14S /15 + S /15

1,02 ∙ 8S /15

0,02 ∙ 8S /15 + S /15

1,02 ∙ S /15

0,02 ∙ S /15 + S /15

б) По условию за 8 месяц выплачено 232 тыс.руб.

0,02 ∙ 8S /15 + S /15 = 232000

S = 3000000 (руб.)

а) Найдём общую сумму выплат:

= S + (15+1)/2 ∙15 ∙ 0,02S/15 = S + 0,16S = 1,16S = 1,16 ∙3000000 = 3480000(руб.)

S+ (15+14+…+1) 0,02S/15=

месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается

на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 24% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

Логинова Нина Васильевна

S руб.– сумма кредита, под r% в месяц, на 15 месяцев

S(1+0,01r)

0,01r S + S /15

(1+0,01r) ∙ 14S/15

0,01r ∙ 14S /15 + S /15

(1 + 0,01r) ∙ S /15

0,01r ∙ S /15 + S /15

r = 3%

Общая сумма выплат:S+(15+14+…+1)0,01rS/15 =

S+ (15+1)/2 ∙15 ∙ 0,01rS/15=

= S + 0,08rS

По условию это на 24% больше суммы взятой в кредит

S + 0,08rS = 1,24S

r = 0,24S / 0,08S

Ответ: r = 3%

5млн.руб. на некоторый срок. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого

месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма выплат составит 6,05 млн.руб.?

Логинова Нина Васильевна

S = 5млн.руб.– сумма кредита, под 2% в месяц, на п месяцев.

1,02S

0,02 S + S / n

1,02 ∙ (n – 1)S/ n

0,02∙ (n – 1)S / n + S / n

1,02 ∙ S / n

0,02 ∙ S / n + S / n

n = 20(месяцев)

Сумма выплат 6,05 млн.руб., следовательно, S+(n+(n – 1)+…+1)0,02S/ n = 6,05

S+ (n+1)/2 ∙ n ∙ 0,02S/ n = 6,05

S + 0,01S(n + 1) = 6,05

5 + 0,01 ∙ 5(n + 1) = 6,05

n + 1 = 1,05 / 0,05

Ответ: n = 20(месяцев)

С.Ю. Кулабухова, ЛЕГИОН, Ростов-на-Дону
Авторские задачи
https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&ved=2ahUKEwjGhpKu1ILjAhXL-yoKHYsiDtsQjRx6BAgBEAU&url=https%3A%2F%2Fwww.pinterest.com.mx%2Fpin%2F469429961150472508%2F&psig=AOvVaw2hvc3mmEX7uwcA4Aw0XVRA&ust=1561484264001621
https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwj_xrai2ILjAhUrposKHVLMDb0QjRx6BAgBEAU&url=%2Furl%3Fsa%3Di%26source%3Dimages%26cd%3D%26ved%3D%26url%3Dhttps%253A%252F%252Fgifer.com%252Fru%252FO9A9%26psig%3DAOvVaw0OqKrfmhXx_EPY25B750CY%26ust%3D1561485319749677&psig=AOvVaw0OqKrfmhXx_EPY25B750CY&ust=1561485319749677