Задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности С5. Подготовка к ЕГЭ

Татьяна Павловна, учитель математики
ГБОУ СОШ №618 г. Москвы

уравнение

имеет ровно 8 решений.

Решение.
1. Преобразуем уравнение



2. Если , то уравнение имеет два корня, отличающихся знаком.
Если ,то имеется ровно один корень .
Если , то корней нет. Поэтому для выполнения условия задачи, необходимо и достаточно, чтобы было
положительно при n=0,1,2,3 и отрицательно при n=4,5,k
3. Получаем систему неравенств:
Ответ: .

задачи к системе неравенств, в которых неизвестное выражается через параметр,

или, наоборот, параметр выражается через неизвестное.
2. Вводим систему координат (а;х), если мы неизвестное выражали через параметр, или (х;а) , если, наоборот, параметр выражали через неизвестное.
3. Изображаем в выбранной координатной плоскости фигуру, которая задается множеством решений системы неравенств.
4. «Сканируем» эту фигуру, двигаясь вдоль оси параметра и определяем, при каких значениях параметра выполняются заданные в задаче условия.
5. Записываем ответ.

функция

имеет более двух точек экстремума.

Решение.
1. Функция f имеет вид:

а) при

, поэтому ее график есть часть параболы

б) при

, поэтому ее график есть часть параболы с

Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках:

с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=5;

ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=3.

функция





2) График обеих квадратичных функций проходят

через точку (a2;f(a2)) .
3) Функция y=f(x)имеет более двух точек экстремума, а именно – три, в единственном случае (рис. 1):

Ответ:

имеет более двух точек экстремума.

которых система
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем исходную систему

.

Уравнение (y-4)(x+y-5)=0 задает пару пересекающихся прямых y=4 и y=5-x.

Система

задает части этих прямых, расположенные правее прямой x=2,т.е. лучи BD и СЕ (без точек B и С), см. рис.

через точку A(0;1). Следует найти все значения a, при каждом

из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и CE.
Прямая AB задается уравнением y=1,5x+1. Поэтому при
прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч CE.

б) Прямая AC задается уравнением y=x+1 Поэтому при
прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч CE.

в) При 0г) При

прямая m пересечет только луч CE, а при она не

пересечет ни луч BD, и ни луч CE.

Ответ.

- 1=|2x - a| имеет единственное решение.
Решение.

Решим с помощью графиков.

Для выполнения условия задачи вершина графика правой части уравнения должна находиться в точке
х = -2 или х = -4.

Т.е.

Ответ: - 8 и – 4.

функция f(x)= x2 + 4x + |x2 – 1,5x –

1| принимает только неотрицательные значения.

Решение. x2 – 1,5x – 1 =0 , x = 2; - 0,5.
1)

Т.к. ветви параболы f(x)направлены вверх, вершина у = - 5/8 для выполнения
условия задачи необходимо и достаточно, чтобы

2)

График функции f(x)– возрастающая прямая, таким образом, для выполнения
Условия задачи необходимо и достаточно, чтобы f(-0,5) 0

для любого q система

имеет решения.

Решение.
График функции, заданной первым уравнением – окружность радиуса 1 с
центром в начале координат. График функции, заданной вторым уравнением
должен пересекать эту окружность при любом q, т.е. при любом угле наклона
прямых этой ломаной.

Нетрудно видеть, что это условие для любого угла наклона выполняется при сдвиге вершины ломаной по оси у не более чем на единицу вниз или вверх .

Ответ:

имеет ровно 8 корней?
Ответ:
3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение
3x + |2x + |a-x|| = 7|x+2| имеет хотя бы один корень.
Ответ:

Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система уравнений


имеет единственное значение

4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4х - ∣3х - ∣х + а∣∣ = 9∣х - 3∣ имеет два корня.

и неравенства
Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения,

их системы
Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод
Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы

http://seklib.ru/
6. http://mathege.info/category/zadaniya-ege/c5-zadanie-ege/
7. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания.

Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Экзамен, 2011.(сборник 1)
8. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Экзамен, 2011.(сборник 2)
9. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В., М.: Экзамен, 2011.(сборник 3)
11. Математика. Диагностические работы в формате ЕГЭ., М.: МЦНМО, 2011 - 36 с.