Теория и методика изучения комплексных чисел в старших классах средней школы

чисел в старших классах средней школы»


Выполнила Юшина Дарья Сергеевна

Научный руководитель

Латышев Анатолий Васильевич

списка используемой литературы.
Во введении я отмечаю важность в предоставлении каждому

учащемуся возможности достижения определенных целей образования с учетом собственных интересов, способностей и склонностей. Средством реализации чего является дифференциация в обучении.
В первой главе рассматриваются психолого-педагогические аспекты учебной деятельности старших школьников и методические основы введения комплексных чисел в старших классах средней школы.
Во второй главе приводятся сведения исторического характера о развитии и построении поля комплексных чисел.
Третья глава посвящена непосредственно изложению теории комплексных чисел в старших классах средней школы.

процессуальный и содержательный. Этим диктуется необходимость рассматривать два вида дифференциации:
Уровневая

дифференциация;
Дифференциация по содержанию или профильная.

Оба вида дифференциации - уровневая и профильная - сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на различных ступенях школьного математического образования, однако в разном удельном весе.

Развитие среднего общего образования требует значительного улучшения и совершенствования преподавания всех дисциплин. Их содержание должно соответствовать современному уровню науки и техники и в значительной степени определять уровень профессиональной подготовки будущих выпускников средних общеобразовательных школ.

старшеклассников –
Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и всё более абстрактным. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира.

Учебная деятельность старшеклассников –

Углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы, также учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности.

пример дифференцированного изучения темы

"Комплексные числа".
Эта тема выбрана не случайно: без нее курс школьной математики нельзя

считать завершенным, так как в результате введения данного понятия

(мнимая единица, комплексное число) получается необходимое расширение

множества действительных чисел и поэтому знакомство с комплексными

числами должно входить в программу курса математики средних

общеобразовательных школ любого профиля, а не только школ с

углубленным изучением математики.

которых видно, что появление мнимых чисел относится к ХVI в.,

а может быть, к еще более раннему времени.
В трудах Кардано, Бомбелли, Жираро, Декарта и других математиков они стали называться «величинами», но с обязательным прибавлением эпитетов: «невозможные», «софистические», «мнимые» и т.п.
Джеронимо Кардано (1501-1576гг.) решает задачу - нарезать участок земли прямоугольной формы с площадью S=40 (кв.ед.) и периметром 2р=20 (лин.ед).
Выражения вида а+√-b появились в книге Кардано «Великое искусство, или о правилах алгебры», вышедшей в 1545г., при решении кубического уравнения х3+px=q: именно потребность решать уравнения второй и третьей степени привела к необходимости строить новую теорию -комплексных чисел.
Первые правила арифметических действий над такими числами были введены итальянским алгебраистом Бомбелли в 1572 году.

Леонардо Эйлер, приняв название мнимой единицы Р.Декарда imaginaires, вводит первую

букву этого слова i для обозначения , так что i2=-1, и вводит функцию еxi .
Позднее, в 1831г. Гаусс предложил геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая позволила дать обоснование многим понятиям теории комплексных чисел. Геометрическое истолкование комплексных чисел независимо от Гаусса и друг от друга было получено также датчанином Весселем (1797г.) и французом Арганом (1806г.)
Так, Софья Ковалевская (1850-1891) решила, используя теорию функций комплексного переменного, задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, решение которой в течение долгого времени не поддавалось усилиям многих математиков и механиков.
Н.Е. Жуковский при помощи функции , которая в настоящее время носит его имя, вывел формулу для определения подъемной силы крыла.

чудесное убежище божественного

духа, почти что сочетание бытия

с небытием»

Г. Лейбниц

по мере расширения

круга задач.

«комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения a+bi.

Равенство комплексных чисел
Два комплексных числа a+bi и c+di называются равными тогда и только тогда, когда а=с и b=d, т. е. когда равны их действительные и мнимые части.
Например, 1,5+√9i=3/2+3i, т.к. 1,5=3/2 и √9=3
Сложение и умножение комплексных чисел
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(a+bi)(с+di)=(ас-bd)+(ad+bc)i.
Комплексно сопряженные числа
Сопряженным с числом z=a+bi называется комплексное число a-bi

называется число

Вычитание комплексных чисел

Если z1=a1+b1i, z2 =a2+b2i, то разность z1-z2

имеет следующий вид:
(а1+b1i)-(а2+b2i)=(a1-а2)+(b1-b2)i.

Деление комплексных чисел

началом в точке 0 и концом в точке z. Этот

вектор будем обозначать той же буквой z, длина этого вектора равна |z|.
Число z1+z2 изображается вектором, построенным по правилу сложения
векторов z1 и z2, а вектору z1-z2 можно построить как сумму векторов z1 и -z2

Пример:
Пусть z1, z2 — разные точки комплексной
плоскости. Тогда |z-z1|=|z-z2| - уравнение
прямой, перпендикулярной отрезку,
соединяющему точки z1, z2, и проходящей
через его середину.

z≠0, представляется в виде

z=r(cosφ +i sinφ )
С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел zl и z2.

z1z2=r1r2(cos( φ1+ φ2)+i sin( φ1+ φ2)).




Вообще для любого n из N (и для всех n из Z) справедлива формула
(cosφ +i sinφ )n=cos φn +i sin φn, которую называют формулой Муавра.

Для n-й степени комплексного числа, записанного в тригонометрической форме z=r(cosφ +i sin φ), справедлива формула
zn=rn(cos φn +i sin φn ).

— заданное действительное число, z — неизвестное.
Введенное понятие корня

из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами az2+bz+c=0 по известной общей формуле.




Пример: Решить уравнение z2-16z+65=0.
По общей формуле находим




т. е. z1=8+i, z2=8-i.

из числа w (обозначается ), если

zn=w.
Все решения уравнения zn=w могут быть записаны следующим образом:



k=0, 1, 2, …, n-1.

eiφ=cosφ+isinφ
называется формулой Эйлера. Тогда любое комплексное число z≠0 можно записать в виде:
z=r(cosφ+isinφ)=reiφ
Эта форма записи комплексного числа называется показательной.