1. Зависимость средних вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода от объема выборки и

от объема выборки и функция затрат
Выборочный контроль, по сравнению со

100% - м контролем, дает выигрыш во времени и в непосредственных затратах на контроль, но несет в себе риски, связанные с ошибками 1-го и 2-го рода. Для принятого нами плана контроля - число дефектных изделий d в выборке n должно быть равно 0, закон распределения доли дефектных изделий q - равномерный с параметрами
q ср = (q в + q н)/2 , (6.1)
f(q) = A = 1/( q в - q н ), (6.2)
а формула функции затрат
Sз = С α *N* α‾ + Cβ * N * β‾ + C1k *n, (6.3)
где С α – потери, отнесенные к одному изделию, связанные с ошибкой 1-го рода;
Cβ - потери, отнесенные к одному изделию, связанные с ошибкой 2-го рода;
C1k - затраты на контроль одного изделия;
α‾ - среднее значение вероятности ошибки 1-го рода;
β‾ - среднее значение вероятности ошибки 2-го рода;
N – объем партии изделий.

Задание № 3 Тема: Выборочный контроль партии изделий (товара)

[2], можно записать

q кр
α‾ = ∫ [1-(1-q)n] f(q) dq (6.4)
q н
- средняя вероятность ошибки 1-го рода;
q в
β‾ = ∫ (1-q)n f(q) dq (6.5)
q кр
- средняя вероятность ошибки 2-го рода.
Полагая q н =0 и интегрируя (6.4) и (6.5), получим
α‾ = (1/q в)* {q кр – [1-(1- q кр ) n+1 ] /(n+1) } (6.6)
и
β‾ = (1/q в)*[(1- q кр ) n+1 - (1- q в ) n+1 ]/(n+1). (6.7)
При подстановке (6.6) и (6.7) в (6.3) получим
Sз = Сα*N*(1/q в)*{q кр–[1-(1-q кр)n+1]/(n+1)} +
+Cβ*N*(1/qв)*[(1- q в)n+1 - (1-qв)n+1 ]/(n+1) + C1k *n. (6.8)

на переменную n найти такое n=n*, при котором функция затрат

Sз имеет минимум.

3. Решение примера
Дано: на контроль прибыла партия товара в 50-ти контейнерах. Отклонение веса каждого контейнера (в сторону завышения), по сравнению с заявленным в декларации, подчиняется равномерному распределению с параметрами q н =0, q в =0,1. По условиям контроля q кр =0,08. Затраты на контроль одного изделия C1k=1ед. Потери, отнесенные к одному контейнеру, вследствие ошибки 1-го рода, Сα =1ед. Потери, отнесенные к одному контейнеру, вследствие ошибки 2-го рода, Cβ =5ед.
Найти: 1) оптимальный план контроля т.е. оптимальный объем выборки n = n*, при котором Sз имеет минимум; 2) риски, связанные с ошибками 1-го и 2-го рода.

Решение: эту задачу будем решать методом перебора, подставляя в формулу (6.8) различные значения n =1, 2, …, N. Для этого удобно воспользоваться средствами Excel.

А1-А6 – имена исходных данных: qкр , qв ,

Сα , Сβ, C1к, N, а в ячейки В1 – В6 соответствующие им числовые значения: 0,08; 0,10; 1; 5; 1; 50.
2. В ячейках С1 – J1 организовать «шапку» таблицы с именами столбцов: n, α‾, β‾ , Сα , Сβ, S з .
3. В ячейку С2 занести значение n = 1 (т. е. 1), а ячейку С3 n=2 (т.е.2). Далее, выделяя ячейки С2 и С3, «протяжкой» до ячейки С51 занести остальные возможные значения n = 3, 4, …, 50;
4. Используя исходные данные и возможности модификации адресов, в ячейки D2 – J2 занести формулы для вычислений α‾, β‾ , Сα , Сβ, S з.
5. «Протяжкой» заполнить все остальные ячейки таблицы искомыми значениями α‾, β‾ , Сα , Сβ, S з .
6. В столбце S з выбрать минимальное значение. Этому значению будет соответствовать оптимальное n = n* = 9.

потерь функции затрат
При 100 % контроле затраты Sз =С1k *N

=1*50 = 50 ед. Считая временные затраты на контроль пропорциональными объему выборки, получим сокращение времени контроля в 50/9 ≈ 5,5 раза.
Замечание*: полученные решения сильно зависят от соотношений величин Сα, Сβ и С1k. и основная трудность при постановке задачи заключается в их определении.

Оптимальным решением является n = n* = 9, при котором Sз =42,147 ед.

Риски:
R α = α‾*Sα = 2,747 ед.
R β = β‾*Sβ = 1,836 ед.

способами определения объема выборки. Так, при Сβ / Сα =

8 -15 можно пользоваться формулой


Если q имеет вета-распределение с параметрами a и b, то поиск оптимального плана заключался в определении критического числа k дефектных изделий при некотором фиксированном значении n по соотношению [ 5 ]:



где С1 - затраты на контроль одного изделия; С2 - сумма, уплачиваемая поставщиком за каждое обнаруженное дефектное изделие после приемки.

Эта формула называется формулой определения приемочного числа при одноступенчатом статистическом плане контроля партии изделий.
если в выборке n число d ≤ k ( где d – число дефектных изделий в выборке), то партия принимается.

n= n* = N 0,5

(С1/С2)*(a+b+n) –a -1 ≤ k ≤ (С1/С2)*(a+b+n) –a,

(6.9)

(6.10)