1 1. В.И. Гусакова, Е.В.Кривошлыкова МАТЕМАТИКА Учебно-методический комплекс по

Гусакова, В.Н. Кривошлыков, Н.С. Шепелова
МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Учебно-методическое

пособие
Ростов-на-Дону
2010

элементов a1, a2, a3…an.
Из различных

элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом.
Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

А и которые, следовательно, отличаются друг от друга только порядком

элементов называются перестановками из n элементов. Число таких перестановок обозначается символом Рn.
Tеорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно Рn = n (n − 1) (n − 2) (n − 3)…3 ∙ 2 ∙ 1 = 1 ∙ 2 ∙ 3…(n − 1) n = n!

< n) взятых из n элементов множества A , отличающихся

друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом

Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:


Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

(m < n) взятых из n элементов множества А,

отличающихся друг от друга по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний обозначается символом .


Теорема 3. Число всех сочетаний из n элементов по m определяется формулой:



Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу: .

эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних

и тех же условиях неограниченное число раз.
Результат или исход каждого испытания назовём событием.
Виды событий:
достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.
невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.
случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

результате испытания непременно должно появиться хотя бы одно из них

.
Случайные события A1,A2,…,An называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Случайные события A1,A2,…,An называются единственно возможными, если в результате испытаний происходит какое-либо одно и только одно из этих событий.
Равновозможные события - несколько событий в данном опыте, ни одно из которых не является объективно более возможным, чем другое.

и единственно возможными. Эти события называются исходами испытания или элементарными

событиями.
Совокупность всех исходов испытания называется пространством элементарных событий.

одно из двух событий А или В, то говорят, что

произошло событие А + В. Так вводится понятие суммы событий.
Если произошли оба события, и А и В, то говорят, что произошло событие АВ. Так вводится понятие произведения событий.
Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие . Так вводится понятие противоположного события.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из

них другим.
Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.
Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= m(A)/ N.

любого события заключена между нулем и единицей.

Вероятность достоверного события равна

единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.

В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)
Если

и противоположные события, то .

Теорема умножения. Если А и В независимые события, то
Р(АВ) = Р(А)Р(В).
Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)  Р(АВ) .

ли событие В или нет. В этом случае говорят, что

события А и В зависимы, и вероятность события А записывают в виде Р(А/В) (читается: вероятность события А при условии, что произошло событие В; иногда вместо Р(А/В) в литературе встречается РВ(А).
Теорема умножения принимает в рассмотренном случае вид:
Р(АВ)=Р(В)Р(А/В) .

реализации одной из гипотез Н1, Н2, ..., Нn, образующих полную

группу событий. Тогда

. (1)


Формула (1) называется формулой полной вероятности.

Какова вероятность, что событие А произошло в результате реализации гипотезы

Нk , т.е. P(Hk/A) = ? (происходит переоценка вероятностей гипотез). Ответ дает формула Байеса:

бы одного из А1, А2, ….Аn независимых в совокупности равна

разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

, где

вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов

других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.
Будем рассматривать лишь такие независимые события, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.
Пусть проводится серия n независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность интересующего нас события А равна р, 0 <р <1.
Особо отметим, что величина р не зависит от результатов предыдущих или последующих испытаний. Такой тип испытаний получил название схемы Бернулли. Примерами такой схемы являются: многократное бросание монеты, игральных костей .

произойдет ровно k раз? (Обозначается Pn(k)). Ответ на этот вопрос

дает формула Бернулли: