ВВЕДЕНИЕ В ГЕОФИЗИКУ МЕСТОРОЖДЕНИЙ УГЛЕВОДОРОДОВ

сейсмических наблюдений. Представление сейсмического режима в фазовом пространстве. Фазовая точка

и фазовая траектория.
Динамические системы и их устойчивость. Аттракторы, их типы и физический смысл. Фрактальная размерность аттракторов. Бифуркации. Инерциальные многообразия. Параметры порядка.

Прокачи оценки размерности аттракторов.
Прогнозные возможности методов нелинейной динамики при

анализе временных рядов и пространственно распределенных событий.
Практическое применение методов обработки данных пассивного сейсмического мониторинга для поиска и оптимизации разработки месторождений углеводородов. Выявление активных тектонических разломов. Взаимосвязь между сейсмической активностью и параметрами эксплуатации месторождения нефти. Опыт анализа микросейсмов при поиске месторождений газа.

задач.

Задачи измерения некоторых характеристик динамических систем, инвариантных относительно замены

переменных. К ним относятся размерности аттрактора, ляпуновские показатели, энтропии. Может быть поставлена задача аппроксимации уравнений движения по экспериментальным данным, выбор модели для наилучшего описания данных.
Задачи динамического прогноза временных рядов. В этом случае, тоже приходится решать задачу восстановления динамической системы по временному ряду, но собственно уравнения движения интереса не предоставляют, к ним относятся как к черному ящику – важно, чтобы по входному сигналу правильно вырабатывался выходной.
Задачи идентификации, когда нужно каким-либо образом классифицировать исследуемые системы для диагностических целей. При этом абсолютно несущественно, измеряются ли инвариантные характеристики динамической системы или что-нибудь другое, пригодное только для узкого круга задач.

ряд
Задача прогноза дальнейшего поведения

некоторой механической системы

преобразований

ее поведение в последующие моменты времени.
Пример нединамической системы – бросание

монеты орел-решка. Каждое следующее испытание не зависит от предыдущего.
В большинстве случаев динамическая система задается системой дифференциальных уравнений.

каждый данный момент времени полностью определяется заданием n чисел yi.

Введем n-мерное пространство, по осям координат которого будем откладывать значения yi и производные. Тогда состояние изучаемой системы в каждый данный момент времени представляется некоторой точкой в этом пространстве. Введенное таким образом пространство называется фазовым.
С течением времени состояние системы меняется. Соответственно этому меняется и положение изображающей точки в фазовом пространстве, т.е. эта точкам описывает некоторую кривую, называемую фазовой траекторией.
Совокупность фазовых траекторий, отвечающих различным начальным условиям, образует фазовый портрет системы.

и/или поведение под действием возмущений.
Устойчивость по Ляпунову – изначально близкие

изображающие точки, принадлежащие разным фазовым траекториям, оказываются близкими и в последующие моменты времени.
Асимптотическая устойчивость. Этот случай характерен для диссипативных систем. Диссипативная система – система с диссипацией. Под диссипацией понимается обмен системы со своим окружением энергией и/или веществом. Система называется асимптотически устойчивой, если две фазовые точки, принадлежащие двум различным фазовым траекториям и достаточно близкие друг к другу в начальный момент времени, неограниченно сближаются по мере движения.
Орбитальная устойчивость (устойчивость по Пуанкаре). Пусть L – некоторая траектория системы, максимально продленная в обе стороны времени. Если изображающая точка системы в некоторым момент времени оказывается достаточно близкой к траектории L, то и при дальнейшем движении эта точка не отойдет далеко от рассматриваемой траектории.
Структурная устойчивость – при различных видах малых воздействий фазовый портрет остается качественно неизменным.

фазовом пространстве рассматриваемой динамической системы. (Множество М в метрическом пространстве

Х называется компактом в Х, если из любой последовательности точек xn ∈ М можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству М.)
Аттрактор – это такое множество, к которому из некоторой его окрестности притягиваются все фазовые траектории.

Пусть в фазовом пространстве выделено некоторое множество L. Это множество называется аттрактором, если оно
Асимптотически устойчиво, т.е. соответствует определению орбитальной устойчивости.
Компактно, что проявляется, в частности, в том, что аттрактор находится в конечной области фазового пространства и представляет собой замкнутое множество.
Неразложимо на отдельные компоненты, т.е. является связным.
Если аттрактор представляет собой замкнутую линию в фазовом пространстве, то каждая точка такой траектории проходится бесконечное число раз (движение периодично)

система является структурно неустойчивой

ответ на вопрос, какое минимальное количество переменных должна включать соответствующая

математическая модель, или дать оценку этой величины.
Обычно на асимптотической стадии траектория притягивается к притягивающему множеству, обладающему фрактальной структурой, или фракталу. Аттракторы, имеющие фрактальную структуру, называют странными.

от масштаба карты

минимальным инерциальным многообразием.
Если система обладает минимальным инерциальным многообразием размерности dN,

то на ассимптотической стадии ее поведение описывается при помощи dN существенных переменных. Число dN называют числом параметров порядка, или числом независимых степеней свободы.

чисел, представляющих собой значения некоторой динамической переменной x(t) c постоянным

шагом Δt по времени, т.е. в моменты ti=t0+(i-1) Δt: xi=x(ti), i=1, … , N.
Можно получить удовлетворительную геометрическую картину аттрактора небольшой размерности, если вместо переменных x, входящих в уравнения динамической системы, использовать m-мерные вектора, получаемые из элементов временного ряда Zi={xi, xi+1,…,xi+m-1}

в n-мерном пространстве, которую локально в окрестности каждой точки можно

параметризовать k евклидовыми координатами без n-мерного пространства.
Когда такое многообразие реализуется в виде поверхности Sk в n-мерном пространстве, которая не пересекается сама с собой, то говорят, что оно вложено в Rn.
Вложение - дифференцируемая векторная функция F, определенная на Mk, для которого отображение Mk →Sk является взаимно однозначным и существует обратная дифференцируемая функция F-1, отображающая Sk обратно в Mk.
Sk=F(Mk) и Mk=F-1(Sk)
Выбирая разные F и n, можно получить различные представления одного и того же многообразия. Теперь пусть на многообразии определена векторная функция, нужное количество раз дифференцируемая и отображающая Mk в m-мерное евклидово пространство Rm Будет ли образ Mk являться вложением или нет?

и рассматривается одномерный временной ряд, образованный значениями некоторой «наблюдаемой» –

скалярной функции состояния динамической системы x(t):
x=h(x(ti))=h(ϕti(x0))
Пусть фазовая траектория системы находится практически на аттракторе, тогда в качестве многообразия Md рассмотрим минимальное инерциальное многообразие (МИМ).
Построим z-вектора. Пусть τ - шаг между элементами временного ряда. Тогда
xi+1= ϕτ(xi) , xi+2= ϕ2τ(xi) , …, xi+m-1= ϕ(m-1)τ(xi)

точки m-мерного евклидова пространства Rm.
Md, h и ϕt по крайней

мере дважды дифференцируемы, а для всех неподвижных точек и циклов с периодами kτ, kТеорема Такенса утверждает, что типичным свойством отображения Λ будет, то, что при m≥2d+1 оно будет давать вложение Md в Rm.

друг от друга по времени, задается корреляционным интегралом C(ε), который

можно определить как предел:



θ(x)=0 если x<0 и θ(x)=1, если x≥0
Мера - способ определения расстояния между точками множества.
Евклидова мера


Евклидова мера скорректированная на количество точек :

представленную временным рядом, оценивается по линейной части этой зависимости

рассчитывают C(ε)
Увеличивая m, получают семейство зависимостей C(ε)
Для линейных участков lgC(lgε)

определяют углы наклона, т.о. определяют D.
Строят зависимость D(m)
Определяют точку D*, m* выхода зависимости D(m) на «плато».
Варьируя τ оценивают устойчивость зависимостей D(m) при изменении τ, выбирают оптимальное значение τ
Значения D*, m* принимают в качестве оценки фрактальной размерности аттрактора и размерности вложенного пространства (количества определяющих параметров)

a
b
d
c

проницаемостью.
Выхода на плато нет.
Зависимость размерности аттрактора от размерности вложенного
пространства для

образца с низкой проницаемостью для τ=4
Выход на плато есть.

активности (справа) Ромашкинского месторождения нефти

проблемы нелинейной динамики.
Хакен Г. Синергетика.