УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Что существует более выдающегося в теоретической физике,

первые шесть работ по волновой механике?» — говорил впоследствии Макс Борн.

Уравнение Шредингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики (КМ). Оно не может быть выведено из других соотношений. Это уравнение является принципом, постулатом. Его следует рассматривать как исходное основное положение, справедливость которого доказывается тем, что его следствия самым точным образом согласуются с экспериментальными фактами.
Шредингер установил свое уравнение из оптико-механической аналогии, заключающейся в сходстве уравнений описывающих распространение световых лучей с уравнениями, определяющими траектории частиц в аналитической механике.
В оптике Принцип Ферма: «Свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время».
В механике Принцип наименьшего действия (ПНД): Если в моменты времени t1 и t2 система занимала положение, характеризуемое набором координат q(1) и q(2) , то между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл

( Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger; 1887-1961) — австрийский физик-теоретик; Нобелевская премия по физике 1933 г. (совместно с П. Дираком) «За открытие новых продуктивных форм атомной теории».

имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа системы, а записанный интеграл – действием. ПНД в механике был получен как результат обобщения экспериментальных фактов и ранее установленных законов. Для этого надо было найти формулу для действия, для функции Лагранжа. Далее уравнения движения находятся вариацией действия. Аналогично можно сделать и в КМ.

движущуюся частицу с энергией Е и импульсом р. Согласно идее

де Бройля ей можно сопоставить плоскую волну

Уравнение Шредингера для свободной частицы.
Имеет своим решением волну де Бройля

ПОЛАГАЕМ, что в случае силовых полей, когда найденные выражения для энергии и

квадрата импульса также будут справедливы, тогда, подставляя их в получим

c потенциальной энергией  U (r,t)  :
Полученное уравнение моно рассматривать

как операторное соотношение. Каждый входящий в него член имеет физический смысл и математическую природу:

U – функция,

Действие указанных операторов на решение уравнения таково, что оно эквивалентно умножению этого решения на соответствующую физическую величину:

По этой причине они называются, соответственно операторами полной энергии, кинетической энергии, импульса.

численные значения величин, удовлетворяющие уравнениям, называются собственными значениями операторов.
гамильтониан, -

оператор полной энергии.

Вообще, в КМ каждой динамической переменной q сопоставляется уравнение аналогичное записанным ранее уравнениям, в общем случае имеющее вид

Решая последнее уравнение, находят его собственные функции

Согласно одному из постулатов КМ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ q, ПРЕДСТАВЛЯЕМОЙ ОПЕРАТОРОМ Q, МОГУТ ПОЛУЧАТЬСЯ РЕЗУЛЬТАТЫ ТОЛЬКО СОВПАДАЮЩИЕ С СОБСТВЕННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ЭТОГО ОПЕРАТОРА.

частица не зависит от времени, то функция U имеет смысл

потенциальной энергии. Покажем, что в этом случае

Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Подставим * в уравнение Шредингера

*

Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Заряд, выходящий в единицу времени из объема V, охваченного поверхностью

S вычисляется через интеграл

По теореме Гаусса-Остроградского

Уравнение непрерывности.

*

Уравнение непрерывности как и * выражает закон сохранения заряда, только в дифференциальной форме. Так как физ. смысл дивергенции вектора – плотность источников векторного поля, то мы приходим к выводу, что

плотность источников тока равна скорости убывания плотности заряда в каждой точке пространства.

нормировки.
Если в некотором достаточно большом объеме вероятность оказывается сохраняющейся величиной,

то изменение ее в одной части объема непременно должно сказаться на вероятности обнаружения частицы в других частях объема. Перераспределение вероятности, как и других сохраняющихся величин, должно обеспечиваться потоком этой величины, то есть мы приходим к необходимости ввести такое понятие как ток вероятности.
Покажем, что если ψ – решение уравнения Шредингера для данной задачи, то имеет место уравнение для плотности тока вероятности, аналогичное полученному для плотности тока электрического заряда.

Комплексно сопряженное уравнение:

_

импульса означает, что волновая функция вида (1) описывает свободное движение

частицы в направлении импульса, а функция вида (2) – в противоположном направлении.

(1)

(2)

(электроны, протоны, нейтроны, фотоны и другие простые частицы), а также

сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа простых частиц.

Микрообъект представляет собой образование особого рода – он не способен непосредственно воздействовать на наши органы чувств – ни видеть, ни осязать его нельзя. Ничего подобного микрообъектам в воспринимаемом нами мире не существует.

В доквантовой физике «понять» означало составить себе наглядный образ процесса или объекта. Квантовую физику нельзя понять в таком смысле слова. Всякая наглядная модель неизбежно будет действовать по классическим законам и поэтому непригодна для представления квантовых процессов. Поэтому, самое правильное, что можно сделать – это отказаться от попыток строить наглядные модели поведения квантовых объектов.

Микрообъекты обладают и корпускулярными и волновыми свойствами, подразумевая под этим свойства макротел (или просто тел) и макроволн. Отличие от макроволн очевидно. Волну мы всегда можем разделить на части, микрообъекты же всегда обнаруживают себя как неделимое целое.

Отличие от макротел заключается в том, что, например, у микрочастицы не могут быть одновременно определены координата и импульс. Вследствие чего понятие траектории применительно к микрочастице утрачивает смысл.

прекрасно оправдывает при больших интенсивностях – наблюдается характерная квазипериодическая структура

при прохождении излучения через щель, или через две щели. Однако, что произойдет при уменьшении интенсивности? Результат, относящийся как к дифракции света на круглом отверстии, так и к дифракции электронов на поликристаллическом образце, представлен на рисунке.

Характерная «волновая» картина получается только при больших экспозициях. С уменьшением количества прошедших мишень частиц (при уменьшении экспозиции фотопластинки световым излучением) картина все более приближается к результатам, получаемым посредственным стрелком. Таким образом, кольца складываются из отдельных точек, каждая из которых – результат попадания единственной частицы. Теоретически, на основании решения волнового уравнения Шредингера можно описать только случай больших экспозиций – по самому определению вероятности волновая функция дает результат только в предельном случае большого числа испытаний. Результат же каждого отдельного взаимодействия она не предсказывает – мы не знаем, в каком месте появится следующая точка.

с двумя щелями. За преградой поставим фотопластинку. Картина «в» не

эквивалентна наложению двух кривых – 1 и 2 с картины «б». Она оказывается аналогичной картине при интерференции двух когерентных световых волн.
Характер картины свидетельствует о том, что на движение каждого электрона оказывают влияние оба отверстия.
Так как прохождение электрона сразу через оба отверстия является несомненным бредом, мы попадаем в тупик.
Выход из него состоит в том, что вовсе не наблюдается интерференция каких-либо волн, связанных с движущимся электроном. На самом деле интерферируют электронные состояния, представляемые ψ – функциями. И о распределении почернений на фотопластинке можно было сказать еще до опыта. Интерференция произошла тогда, когда сформировали эти щели. При облучении щелей электронным пучком, мы только заполняем образовавшиеся состояниями в соответствии с плотностью вероятности . Каждый электрон проходит через одну щель, засвечивает одно зерно фотопластинки и обнаруживает себя как целое – как частица. При малых экспозициях картина напоминает мишень при обстреле посредственным стрелком (см. предыдущий кадр).

накладываются ограничения на ту информацию, которую мы получаем при решении

уравнения Шредингера:
1. Мы не можем сказать через какую щель прошел электрон, так как для формирования картины необходимы оба отверстия.
2. Мы не можем сказать, куда попадет следующий электрон, а можем говорить только о вероятности его попадания.

КМ отказывается от полной детерминированности в микромире и отказывается от понятия траектории (так как мы не можем сказать, через какое отверстие прошел электрон).
Однако, любой из вас может провести описанные эксперименты с помощью песчинок, дробинок и т.п. предметов и на эксперименте доказать, что все описанное выше является полной чепухой.
Ответ состоит в том, что описанные выше опыты относятся к микрорасстояниям, когда расстояния между щелями порядка атомных размеров, и ничего подобного в макроопытах мы наблюдать не будем.

Гейзенберг вспоминал: "И когда я после таких обсуждений предпринимал прогулку в соседний парк, передо мной снова и снова возникал вопрос, действительно ли природа может быть такой абсурдной, какой она предстает перед нами в этих атомных экспериментах".

Вернер Карл Гейзенберг (Werner Karl Heisenberg 1901-1976),  лауреат Нобелевской премии по физике (1932) «За создание квантовой механики…»

1927 г.

Вернера Гейзенберга. Мы учились в одно время, были почти ровесниками

и работали над одной и той же проблемой. Гейзенберг преуспел там, где у меня были неудачи. К тому времени накопилось огромное количество спектроскопического материала, и Гейзенберг нашёл правильный путь в его лабиринте. Сделав это, он дал начало золотому веку теоретической физики, и вскоре выполнять первоклассные работы имел возможность даже второразрядный студент.
— П. А. М. Дирак

При интерпретации дифракционных опытов с частицами нам пришлось отказаться от классической детерминированности. В частности мы не могли сказать, через какое отверстие прошел электрон и в какую точку фотопластинки попадет следующий. Однако этой недетерминированности, безусловно, есть предел. В камере Вилсона путь, по которому движется частица обнаруживается в виде узких следов – треков, образованных капельками тумана. Движение электрона в электронно-лучевой трубке превосходно рассчитывается по классическим законам с любой практически требуемой точностью и т.д. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что ПРИ ИЗВЕСТНЫХ УСЛОВИЯХ ПОНЯТИЕ ТРАЕКТОРИИ ОКАЗЫВАЕТСЯ ПРИМЕНИМЫМ К МИКРОЧАСТИЦАМ, НО ТОЛЬКО С НЕКОТОРОЙ СТЕПЕНЬЮ ТОЧНОСТИ.
В классической механике: «Состояние системы полностью характеризуется совокупностью всех координат и импульсов». Рассмотрим, какие ограничения на точность измерений накладываются в КМ и на какие величины они накладываются.

одной стороны, локализации волны в пространстве Δx и времени Δt,

с другой – требуемыми для такой локализации интервалами волновых чисел Δk и частот Δω:

Рассмотрим волны де Бройля

Из них также можно сформировать волновой пакет, но при этом нужно будет учесть соотношения де Бройля:

*

Из этих соотношений следует, что сопряженные координаты и компоненты импульсов не могут одновременно иметь определенные значения: если Δx=0, то , в точности также и для других координатных осей - импульс не имеет определенного значения, и наоборот, если . В общем случае из ** следует, что чем точнее определено положение частицы, тем с меньшей точностью мы знаем импульс и наоборот.

**

Соотношения Гайзенберга представляют собой
ОГРАНИЧЕНИЯ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ К МИКРООБЪЕКТАМ.

Соотношения неопределенностей Гайзенберга

Например, рассмотрим установку, позволяющую прямым путем определить координаты электрона. Таким

устройством может служить щель в экране. Причем, ширину щели, не вдаваясь в технические потребности можно изменять в любых пределах. Следовательно, мы с любой наперед заданной точностью можем указать координату электрона в момент, когда он проходит через экран.
С корпускулярной точки зрения на экран по нормали падает поток электронов. До прохождения щели электрон имеет точное значение иксовой компоненты импульса – эта компонента равна нулю. Зато координата х полностью не определена. В момент прохождения щели положение меняется: вместо полной неопределенности иксовой компоненты появляется неопределенность Δх. Однако это достигается путем

частичной утери определенности иксовой компоненты импульса .

С точки зрения волновой интерпретации происходящих процессов на экране наблюдается результат дифракции волн де Бройля. Картина аналогична дифракции света. Ширина основного максимума, определяемая как угол между двумя первыми минимумами равна 2α. С корпускулярной точки зрения это означает, что в результате прохождения через щель иксовая компонента импульса электрона стала отличаться от нуля. Так как мы не можем сказать куда попадет следующий электрон, то кривая на рисунке формируется только от большого числа электронов – имеет вероятностный характер и неопределенность импульса электрона после прохождения щели составляет

Рассматривая дифракцию волн де Бройля на щели аналогично дифракции электромагнитных волн, мы должны вспомнить понятие о зонах Френеля.

вторичных источников. Френель предложил приближенный способ расчета дифракционной картины, который

получил название метода зон Френеля. Зоны Френеля вводятся следующим образом. Рассмотрим распространение световой волны из точки L в точку наблюдения P. Сферический волновой фронт, исходящий из точки L разобьем на зоны таким образом, что на каждой из них набегает разность хода λ/2.

Типичный пример зонной пластинки Френеля приведен на рисунке. Каждой зоне Френеля соответствует желтое или светлое кольцо.  Две соседние зоны Френеля действуют как источники, колеблющиеся в противофазе, т.е. вторичные волны, распространяющиеся из соседних зон в точке наблюдения будут гасить друг друга. Первый минимум дифракции будет наблюдаться, если на щели уложится две зоны Френеля:

Одновременно показано, что, хотя можно создать прибор, определяющий координату частицы с любой наперед заданной точностью, это приведет к возрастанию неопределенности в импульсе частицы.

импульса при взаимодействии частицы с экраном, станет возможным определение импульса

частицы. Если электрон при прохождении диафрагмы, приобретает некоторый импульс в направлении оси Ох, то аналогичный импульс, направленный в другую сторону, в силу замкнутости системы, должна приобретать и диафрагма

При известном импульсе диафрагмы, находится и импульс электрона. Но, вследствие того, что импульс мы можем определить только у движущейся диафрагмы, мы в этом эксперименте теряем точное значение координаты щели x.

При помощи одного СН можно получить ряд важнейших результатов. В частности, оно позволяет объяснить:
почему электрон не падает на ядро атома;
оценить размеры простейшего атома;
оценить минимальную энергию электрона в простейшем атоме.

Если бы электрон упал на ядро, его координаты и импульс приняли бы вполне определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Найдем минимальное значение энергии электрона в атоме опираясь на СН.

Энергия электрона в атоме состоит из кинетической и потенциальной:

Формально энергия стремится к минимуму , при , однако, вследствие СН неизбежно их отклонение от определенного – нулевого значения.

радиуса в формулу для полной энергии, естественно, должна дать значение

энергии атома водорода в основном состоянии:

Соотношение неопределенностей для энергии и времени обычно интерпретируют следующим образом:
1.Если система находится в стационарном состоянии, то её энергию можно измерить с точностью не лучше чем , где Δt – время измерения.
2.Для нестационарных состояний (квантовых переходов): если под Δt понимать промежуток времени, в течение которого существенно изменяются средние значения величин в системе (например время жизни системы в возбужденном состоянии), а под ΔЕ – понимать неопределенность энергии нестационарного состояния замкнутой системы, то эта неопределенность равна . Именно из соотношения неопределенностей следует квантовое значение нижнего предела для так называемой естественной ширины спектральной линии

о волнах де Бройля, мы видим, что могут реализовываться различные

состояния свободного движения, отличающиеся как величиной, так и направлением импульсов. Каждое такое состояние может реализовываться само по себе, независимо от других состояний.
Примером более сложного случая служит опыт Дэвиссона и Джермера, в котором падающий на кристалл пучок разбивается на систему дифрагировавших пучков. После взаимодействия с кристаллом движение также происходит в вакууме, однако, представляется уже совокупностью волн де Бройля, отличающихся друг от друга направлением распространения. При этом мы не можем по своему выбору получить какую-либо одну из дифрагировавших волн, а только все вместе, к тому же находящихся в определенных фазовых соотношениях друг с другом, а поэтому способных к интерференции! Так как эти состояния неразделимы, следует признать, что они должны описываться одной волновой функцией., то есть они представляют единое волновое поле.
Однако, так как волны распространяются в вакууме, то они представляют совокупность плоских волн де Бройля, подтверждением чего являются дифракционные опыты - каждая из дифрагировавших волн ведет себя в точности так же как исходная волна.
ИТАК, результирующее состояние, возникшее в результате дифракции электронов на кристалле является СУПЕРПОЗИЦИЕЙ (наложением) состояний свободного движения, описываемых плоскими волнами де Бройля. Это частный случай общего ПС, составляющего одну из основ КМ. Формулируется он следующим образом: «Если имеется ряд возможных состояний системы, отличающихся значениями какой-либо величины (энергии, импульса, момента импульса, и т.д.) которые характеризуются волновыми функциями , то возможно и сложное состояние

где произвольные комплексные амплитуды».

суммы переходят к интегралу. ПС в КМ по своей форме

совпадает с ПС в классической физике, однако, его содержание существенно иное.
В классической физике некоторая физическая величина, получающаяся в результате суперпозиции, является комбинацией величин, вступающих в суперпозицию и отличается от них. Например, напряженность электрического поля является векторной сумме полей, вступающих в суперпозицию.
В КМ ситуация иная. Если рассматривается физическая величина, которая в состоянии имеет значение , а в состоянии - значение , выражение: «физическая величина в состоянии имеет значение , означает, что, если измерять эту величину у системы, которая описывается функцией , то в результате всегда получается .
По смыслу классического принципа суперпозиции следовало бы ожидать, что в состоянии измеряемая величина имеет некоторое значение, являющееся комбинацией . В частности в классической физике все величины комбинируются между собой по линейным законам – векторно или скалярно.
В КМ при измерении физической величины в состоянии , получается не комбинация из , а только одно из двух значений: либо , либо . Какое конкретно из этих двух значений получится в результате эксперимента может быть предсказано только вероятностно, и вероятность эта зависит от значений коэффициентов .
Второе существенное отличие состоит в следующем: если в классической физике происходит сложение двух одинаковых колебаний, то результирующее колебание отличается от любого из исходных, например, может увеличиться или уменьшиться амплитуда результирующего колебания.
В КМ сложение двух одинаковых состояний сводится к умножению волновой функции на постоянную величину. В силу вероятностной трактовки волновой функции и удовлетворения ею условия нормировки, распределение вероятности по какому-либо параметру будет совпадать с исходным для комбинирующих состояний.
В классической физике ПС – приближенный принцип, вытекающий из линейности уравнений движения. Он не универсален – в сильных гравитационных полях он не выполняется, поскольку они описываются нелинейными уравнениями Эйнштейна.
В КМ – ПС - фундаментальный принцип – один из основных постулатов.