Основной математический аппарат

Функция распределения дискретной случайной величины.
3.4. Преобразование Лапласа.
3.5. Решение диф. уравнений

теоретической физики английскому физику П. Дираку, одному из основателей квантовой

левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска,

δ – функция могут быть непрерывными и разрывными.
Импульс в электротехнике

еще функцией Хевисайда:




Ee график 1

кроме x=0. В этой точке предел отношения приращения функции и

Функция единичного скачка

Функция единичного скачка
x

A (x = 0, y =

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А :

Если положить а = 1, 2, …, ∞, то кусочно-линейная функция на графике стремится к функции Хевисайда.

2, … получается последовательность производных, совпадающих с прямоугольными функциями, при

X(ω) принимает три значения x1 = 0, x2 = 1,

величины X(ω) по определению равна FX(x) = P{X(ω) ≤ x},

не существует, то есть случайная величина X(ω) не имеет функции

Функция распределения дискретной с.в.

функцию распределения FX(x) с использованием функции единичного скачка
График функции

Функция распределения дискретной с.в.

1(x) . В точках разрыва функция распределения FX(x) увеличивается на

Функция распределения дискретной с.в.

в следующем виде


производная функции FX(x) :
pX(x) = F′X(x) = 1/2

Функция распределения дискретной с.в.

Такая функция pX(x) удовлетворяет всем свойствам функции плотности. Ее график приблизительно такой:

2

уравнений. Оно преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое, которое обычно решается

уравнения F(s)
Решение диф
уравнение f(t)
L-1{F(s)} = f(t)
Прямое
Обратное

t ≥ 0, называется интегральное преобразование:



(для вычисления интеграла обычно требуется

(Хевисайда)



Решение.


При Re s > 0 этот несобственный интеграл сходится

Re (a-s) < 0 интеграл сходится.

с параметром a>0.






Если Re s > 0, то интеграл сходится

и cos ωt с параметром ω≠0. Интегрирование по частям дает

Подставляем в первую формулу второе выражение и решая полученное уравнение, получаем :

= t, f(t) = t2.

a·L(f(t)) + b·L(g(t)).
2. Свойство сдвига: если Re (s-a) >

Для некоторого вещественного α>0, то

Лапласа
Значение нижней подстановки равно 0, так как

дельта-функции δ(t - a), (а>0). Эта функция является производной от

диф уравнению RC-цепи.
x(t) = С*R * y′(t) + y(t)
Применим преобразование

дифференциального уравнения (но это Лаплас–образ решения!).
Преобразование Лапласа дифференциального уравнения

Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

ω2y(t) = r(t)
Дважды применяя свойство преобразования производной,
получаем
s2 Y(s)

Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

Тогда

























Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

преобразованием Лапласа

пределами интегрирования от 0 до +∞. Будем предполагать, что функция

Re s = c, c = const
имеет график






























0
с
Re s
Im s
Интегрирование

и комплексная функция f(z), z=x+iy имеет производные всех порядков по

0

x

y

L

f(z) имеет эти производные во всех точках внутри контура, кроме

0

x

y

L

z

,

0

x

y

L

z0

комплексной функции































Заменяем переменную s на α и интегрируем:

the Cauchy Principal Value Theorem:
If F(s) is analytic then
Example 1

1) вычислять интеграл на прямой комплексной плоскости;
2) вычислять интеграл

рациональной, если
где N(s) и D(s) – многочлены от переменной s.

полюса : -4, -3; нуль : -2

полюс : -1/2; нуль : 3

Требуется вычислить интеграл





























0
с
Re s
Im s

F(s) разлагается в сумму простых дробей,
коэффициенты (в нашем случае

2) Для вычисления преобразования применяем таблицу преобразования Лапласа и свойство линейности. Тогда Лаплас- прообраз функции F(s):

преобразование от произведения функций равно свертке их прообразов :
L-1(F(s) G(s))

Получена формула импульсного метода!

последовательностей (дискретных значений сигнала). Для обработки непрерывных функций существует мощный

При этом необходимо заметить, что это функция комплексного переменного. Она