Комплексные числа

а и b – действительные числа, а i – некоторый

символ такой, что



Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z)

Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b)
Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

если а = с и b = d.

Комплексное число a-bi

называется комплексно сопряженным с числом a+bi и обозначается через
= a-bi

Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.

b) и
w = (c; d) называется комплексное число
(a+c;

b+d).
Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое число и, которое в сумме с числом w даёт число z
z = w + и.

– c; b – d).
Произведением комплексных чисел z = (a;

b) и
w = (c; d) называют комплексное число
(ac – bd; ad + bc)

Частным от деления z на w называют число u, равное:

и

соответствует один и только один вектор
с началом в точке z

= 0 и концом в точке z=a+bi

y

x

M(a;b)

0

b

a

плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b)

от начала координат


Если на плоскости ввести полярные координаты (r,φ), где φ аргумент числа z (φ=argz) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS φ, b = r SIN φ
В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ),
где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox

в виде:
z = r(cosφ + isinφ), где

- модуль, а
φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:

Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.

Сначала находим модуль числа:

Далее, согласно формулам (*),

имеем:

Учитывая, что угол

Итак,

чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а

аргументы складываются (вычитаются).

(1)

(2)

Используя формулу (1), находим:

в натуральную степень n
модуль данного числа возводится в эту степень,
а

аргумент умножается на показатель степени:



формула Муавра

Корнями данного уравнения являются все значения

Для числа - 4 имеем r = 4,
Согласно формуле(3),
находим:

Если к = 0, то

Если к = 1, то

из комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) имеет

n различных значений, которые находятся по формуле :

Здесь к = 0, 1, 2, … n-1