Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Элементы математической статистики
Содержание
- 1. Элементы математической статистики
- 2. Финансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииЛекция 6: Элементы математической статистики
- 3. Математическая статистика Предметом математической статистики является
- 4. Математическая статистика Наблюдения могут заключаться либо
- 5. Математическая статистика К числу наиболее часто
- 6. Математическая статистика 4. Проверка статистических гипотез о
- 7. Математическая статистика В практике статистических наблюдений
- 8. Генеральной совокупностью называют множество всех
- 9. Число объектов в совокупности называется
- 10. Математическая статистика Чтобы по выборке можно
- 11. Математическая статистика При этом возможны два
- 12. Математическая статистика Накопленные в процессе исследования
- 13. Различные возможные значения случайной величины,
- 14. Математическая статистика Частоты и доли вариантов
- 15. Ранжированный в порядке возрастания (или
- 16. Математическая статистика
- 17. Математическая статистика Если изучаемая случайная величина
- 18. Математическая статистика Для наглядности интервальный вариационный
- 19. Математическая статистика Полигоном частот или относительных частот называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами
- 20. Математическая статистика Основными числовыми характеристиками вариационных
- 21. Математическая статистика По определению вести расчёты
- 22. Математическая статистика
- 23. Математическая статистика Известно, что для описания
- 24. Выборочная числовая характеристика t, используемая
- 25. Математическая статистика Средние арифметические, дисперсии, а
- 26. Математическая статистика Выборочная средняя и выборочная
- 27. Интервальной оценкой параметра t называется
- 28. Доверительной вероятностью (надёжностью)
- 29. Наибольшее отклонение выборочной
- 30. Математическая статистика - Функция
- 31. Среднее квадратическое отклонение оценки х
- 32. Математическая статистика Формулы для средних квадратических ошибок имеют вид:
- 33. Математическая статистика При интервальном оценивании решаются
- 34. Математическая статистикаФормулы расчёта объёма выборки имеют вид:
- 35. Математическая статистика При оценке генеральной доли
- 36. Математическая статистика В науке и на
- 37. Математическая статистика Т.е. выдвигается статистическая гипотеза
- 38. Математическая статистика Если на основании теоретических
- 39. Математическая статистика Затем вычисляют теоретические частоты,
- 40. Математическая статистика После этого выясняется степень
- 41. Математическая статистика Полученное значение
- 42. Задача Пример 1. Для исследования количества
- 43. Задача Найти доверительную вероятность того, что
- 44. Задача Рассмотреть повторную и бесповторную выборки.
- 45. Задача
- 46. Задача
- 47. Задача
- 48. Задача Найдём средние квадратические ошибки:
- 49. Задача Подставим их в формулу доверительной вероятности:
- 50. Задача Для нахождения доверительного интервала нужно
- 51. Задача Найдём минимальный объём выборки.
- 52. Задача Для нахождения теоретических частот составим вспомогательную таблицу
- 53. Задача
- 54. Задача
- 55. Задача Рассчитаем значение критерия Пирсона:
- 56. Задача Найдём по таблице критическое значение
- 57. Задача Пример 2. Проверяется партия из
- 58. Задача Каким должен быть минимальный объём
- 59. Задача Решение:Дано:
- 60. Задача Для нахождения доверительного интервала найдём предельные ошибки выборки, используя найденные значения средних квадратических ошибок.
- 61. Задача Найдём минимальный объём выборки:
- 62. Статистическое распределение выборки
- 63. Распределение относительных частот
- 64. Расчет основных характеристик выборки
- 65. Полигон абсолютных частотПолигон абсолютных частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки
- 66. Полигон относительных частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки Полигон относительных частот
- 67. Интервальный характер статистического распределенияГистограмма частот – ступенчатая
- 68. Интервальный характер статистического распределения
- 69. ЗадачаВ результате испытаний случайная величина X приняла
- 70. ЗадачаВ результате испытаний случайная величина X приняла
- 71. Точечные оценки параметров генеральной совокупности для дискретного распределенияТочечной называют оценку, которая определяется одним числом.
- 72. ЗадачаНайти основные характеристики представленной выборкиРешение:
- 73. Точечные оценки параметров генеральной совокупности для интервального
- 74. Интервальные оценки параметров генеральной совокупностиИнтервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.
- 75. Конец лекции
- 76. Скачать презентанцию
Финансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииЛекция 6: Элементы математической статистики
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Московский Университет имени С. Ю. Витте (МИЭМП)
Теория вероятностей и
математическая статистика
Слайд 2Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Лекция 6:
Элементы математической статистики
Слайд 3Математическая статистика
Предметом математической статистики является изучение совокупности однородных
объектов относительно некоторого количественного или качественного признака, характеризующего эти объекты
по результатам наблюдений.
Слайд 4Математическая статистика
Наблюдения могут заключаться либо в измерении какого-нибудь
параметра исследуемого объекта, либо в регистрации у него того или
иного признака. В общем случае измеряемых параметров или регистрируемых признаков может быть несколько. При этом наблюдения могут производиться как над самими объектами, так и над их моделями.
Слайд 5Математическая статистика
К числу наиболее часто встречающихся задач математической
статистики относятся:
1. Определение по результатам независимых наблюдений частоты наступления
случайного события и оценка на этой основе его вероятности;2. Оценка законов распределения случайных величин по результатам наблюдений;
3. Определение неизвестных значений числовых характеристик случайных величин, оценка их точности и надёжности;
Слайд 6Математическая статистика
4. Проверка статистических гипотез о виде закона распределения
или его числовых характеристиках;
5. Оценка степени взаимосвязи между несколькими
характеристиками исследуемых объектов (корреляция).
Слайд 7Математическая статистика
В практике статистических наблюдений различают два вида:
сплошное, когда изучаются все объекты и выборочное, когда изучается часть
объектов (выборочный метод).
Слайд 8 Генеральной совокупностью называют множество всех объектов над которыми
необходимо произвести наблюдение.
Выборочной совокупностью (выборкой) называется та часть
генеральной совокупности, которая отобрана для непосредственного изучения.
Слайд 9 Число объектов в совокупности называется её объёмом. N
– объём генеральной совокупности, n – объём выборки.
Суть
выборочного метода в том, чтобы по выборке можно было бы делать выводы о тех же свойствах генеральной совокупности.
Слайд 10Математическая статистика
Чтобы по выборке можно было уверенно судить
об изучаемой случайной величине выборка должна быть собственно-случайной: любой объект
генеральной совокупности может быть с одинаковой вероятностью отобран в выборку.
Слайд 11Математическая статистика
При этом возможны два способа образования выборки:
повторная и бесповторная.
Повторной называют выборку, при которой случайно
отобранный и обследованный объект возвращается в генеральную совокупность и после этого снова может быть отобран в выборку.Бесповторной называют выборку, при которой случайно отобранный и обследованный объект не возвращается в генеральную совокупность.
Слайд 12Математическая статистика
Накопленные в процессе исследования или эксперимента данные
сначала подвергают сортировке: ранжируют (упорядочение в порядке возрастания или убывания),
затем группируют (в каждой группе возможные значения случайной величины одинаковы).
Слайд 13 Различные возможные значения случайной величины, соответствующие отдельной группе
сгруппированного ряда наблюдаемых данных называются вариантами.
Численность отдельной группы
сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой варианта.Отношение частоты данного варианта к объёму совокупности называется долей (относительной частотой) варианта.
Слайд 14Математическая статистика
Частоты и доли вариантов обобщённо называются весами.
Сумма частот равна объёму совокупности, а сумма долей равна
единице.
Слайд 15 Ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариантов
с соответствующими им весами называется дискретным вариационным рядом.
Обычно
представляется в виде таблицы.
Слайд 17Математическая статистика
Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то
строится интервальный вариационный ряд.
Длины интервалов называются интервальными
разностями. В нашем случае для удобства расчётов будем брать ряды с одинаковыми интервальными разностями и затем заменять интервальный ряд дискретным, в котором в качестве варианта принимается середина интервала.
Слайд 18Математическая статистика
Для наглядности интервальный вариационный ряд можно изобразить
в прямоугольной системе координат в виде гистограммы, которая представляет собой
ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых на оси абсцисс являются интервалы значений признака, а высоты равны соответствующим им частотам или долям (на оси ординат).
Слайд 19Математическая статистика
Полигоном частот или относительных частот называется ломаная
линия, соединяющая точки с координатами
Слайд 20Математическая статистика
Основными числовыми характеристиками вариационных рядов являются средняя
арифметическая и дисперсия вариационного ряда.
Средней арифметической вариационного ряда
называется сумма произведений всех вариантов ряда на соответствующие им частоты, делённая на объём.Дисперсией вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической.
Слайд 21Математическая статистика
По определению вести расчёты средней арифметической и
дисперсии вариационного ряда бывает сложно. Можно пользоваться следующими формулами:
Слайд 23Математическая статистика
Известно, что для описания случайной величины достаточно
знать её числовые характеристики (параметры). Например, математическое ожидание, дисперсию, с.к.о.
Поэтому встаёт задача определения этих характеристик генеральной совокупности по тем же параметрам выборки.Поскольку объём выборки мал, по сравнению с объёмом генеральной совокупности, то по выборке можно лишь оценить значения параметров генеральной совокупности.
Слайд 24 Выборочная числовая характеристика t, используемая в качестве приближённого
значения неизвестной числовой характеристики генеральной совокупности t, называется её точечной
статистической оценкой.
Слайд 25Математическая статистика
Средние арифметические, дисперсии, а также с.к.о. распределения
признака в генеральной и выборочной совокупностях называются генеральной средней, выборочной
средней, генеральной дисперсией, выборочной дисперсией, генеральным с.к.о., выборочным с.к.о.
Слайд 26Математическая статистика
Выборочная средняя и выборочная доля являются точечными
оценками генеральной средней и генеральной доли. Но точечных оценок не
достачно, следует выяснить степень рассеивания их относительно истинных параметров, т.е. дисперсию.
Слайд 27 Интервальной оценкой параметра t называется числовой интервал (a;
b), который с заданной доверительной вероятностью «накрывает»
неизвестное значение параметра t.В этом случае интервал (a; b) называется доверительным интервалом, а вероятность - доверительной вероятностью.
Слайд 28 Доверительной вероятностью (надёжностью) называется вероятность
того, что оценка x отклонится от оцениваемого параметра t по
абсолютной величине не более, чем на положительное число .
Слайд 29 Наибольшее отклонение выборочной числовой характеристики от
соответствующей ей генеральной характеристики, которое возможно с заданной доверительной вероятностью
называется предельной ошибкой выборки.
Слайд 30Математическая статистика
- Функция Лапласа, значения которой
находятся в таблице.
- выборочная средняя или
доля,- соответствующее ей с.к.о.
Слайд 31 Среднее квадратическое отклонение оценки х параметра t собственно
случайной выборки называется средней квадратической ошибкой выборки.
Из последней
формулы следует, что при заданной доверительной вероятности предельная ошибка выборки равна u-кратной величине средней квадратической ошибки, т.е. (u – аргумент функции Лапласа).
Слайд 33Математическая статистика
При интервальном оценивании решаются следующие задачи:
Определение доверительного
интервала при заданной доверительной вероятности и фиксированном объёме выборки;
Определение доверительной
вероятности при заданном доверительном интервале и фиксированном объёме выборки;Определение необходимого объёма выборки для достижения заданной точности и надёжности исследований.
Слайд 35Математическая статистика
При оценке генеральной доли в отсутствии предварительных
сведений о значениях дисперсии и доли нет, то формула для
объёма повторной выборки имеет следующий вид:
Слайд 36Математическая статистика
В науке и на практике часто ставится
задача нахождения неизвестного закона распределения признака, являющегося случайной величиной. С
этой целью производится эксперимент, в результате которого получают эмпирическое распределение случайной величины в виде вариационного ряда. Далее на основе анализа опытных данных по отношению к известным теоретическим распределениям делают предположение о том, какое распределение лучше других отражает опытное.
Слайд 37Математическая статистика
Т.е. выдвигается статистическая гипотеза (предположение о виде
или параметрах неизвестного закона распределения). Необходимо выяснить, справедлива ли она
(степень её согласованности с имеющимся эмпирическим вариационным рядом).
Слайд 38Математическая статистика
Если на основании теоретических предпосылок и анализа
опытных данных приходим к выводу, что изучаемый признак распределён по
нормальному закону, то нахождение нормального закона этого признака сводится к определению средней арифметической и дисперсии опытного распределения признака.
Слайд 39Математическая статистика
Затем вычисляют теоретические частоты, соответствующие опытным частотам
по формуле:
- интервальная разность
- функция Гаусса (значения в таблице)
Слайд 40Математическая статистика
После этого выясняется степень согласованности данных эксперимента
и статистической гипотезы. Для ответа на этот вопрос существуют критерии
согласия, одним из которых является критерий Пирсона. В нём за меру расхождения эмпирического ряда с гипотезой принимают величину , которая вычисляется по формуле:эмпирическая частота.
Слайд 41Математическая статистика
Полученное значение сравниваем
с критическим (табличным). Для критического значения определяются число степеней свободы,
которое на 3 единицы меньше, чем число интервалов и уровень значимости, который в наших гипотезах принимается равным 0,05.Если полученное значение больше критического, то гипотеза о нормальном распределении опытных данных отвергается, а если полученное меньше критического, то не отвергается.
Слайд 42Задача
Пример 1. Для исследования количества рабочих часов, выработанных
одним работником на фирме в течение декады из тысячи сотрудников
по схеме собственно-случайной выборки отобрано 200 человек. Получены следующие данные:
Слайд 43Задача
Найти доверительную вероятность того, что среднее количество рабочих
часов всех сотрудников отклонится от выборочной средней на более, чем
на полчаса.Найти границы, в которых с вероятностью 0,9876 заключено среднее количество рабочих часов для всех сотрудников.
Определить минимальный объём выборки, по которой с вероятностью 0,9876 можно было утверждать, что среднее количество часов, полученное по выборке, отличалось от генеральной средней не более, чем на 1,725 часа.
Слайд 44Задача
Рассмотреть повторную и бесповторную выборки.
Проверить гипотезу
о том, что количество рабочих часов, выработанных рабочим в течение
декады распределено по нормальному закону.Решение: сначала вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию, для этого составим вспомогательную таблицу:
Слайд 50Задача
Для нахождения доверительного интервала нужно найти предельную ошибку
выборки. Используем найденные ранее значения средних квадратических ошибок.
Слайд 56Задача
Найдём по таблице критическое значение критерия Пирсона (число
степеней свободы k=10, уровень значимости принимается равным 0,05).
Это
позволяет утверждать, что при уровне значимости 0,05 опытные данные не противоречат гипотезе о нормальном законе распределения (или опытные данные согласуются с выдвинутой гипотезой).
Слайд 57Задача
Пример 2. Проверяется партия из 5000 консервов. Проверили
10%, среди проверенных оказалось 12% просроченных. Найти доверительную вероятность того,
что процент годных консервов во всей партии отличается от процента годных в выборке не более, чем на 3% по абсолютной величине.Найти границы в которых с вероятностью 0,95 заключён процент годных консервов во всей партии.
Слайд 58Задача
Каким должен быть минимальный объём выборки по которой
можно было бы утверждать, что отклонение доли годных консервов не
превысит 2,8% по абсолютной величине (рассмотреть повторную и бесповторную выборки).
Слайд 60Задача
Для нахождения доверительного интервала найдём предельные ошибки выборки,
используя найденные значения средних квадратических ошибок.
Слайд 65Полигон абсолютных частот
Полигон абсолютных частот – это ломаная, отрезки которой
соединяют точки
Слайд 66Полигон относительных частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки
Полигон относительных частот
Слайд 67Интервальный характер статистического распределения
Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты
равны отношению ni/h (плотность частоты)
Слайд 69Задача
В результате испытаний случайная величина X приняла следующие значения:
X1= 2
X13=7 X25=6
X2=5
X14=6X3=7 X15=8
X4=1 X16=3
X5=10 X17=8
X6=5 X18=10
X7= 9 X19=6
X8=6 X20=7
X9=8 X21=3
X10=6 X22=9
X11=2 X23=4
X12=3 X24=5
Требуется:
Составить таблицу, устанавливающую зависимость между значениями случайной величины и ее частотами.
Построить статистическое распределение.
Изобразить полигон распределения.
Слайд 70Задача
В результате испытаний случайная величина X приняла следующие значения:
X1=16
X13=20 X25=1
X2=17 X14=18
X3=9
X15=11X4=13 X16=4
X5=21 X17=6
X6=11 X18=22
X7=7 X19=21
X8=7 X20=15
X9=19 X21=15
X10=5 X22=23
X11=17 X23=19
X12=5 X24=25
Требуется:
Составить таблицу, статистического распределения, разбив промежуток (0, 25) на пять участков, имеющих одинаковые длины.
Построить гистограмму одинаковых частот.
Слайд 71Точечные оценки параметров генеральной совокупности для дискретного распределения
Точечной называют оценку,
которая определяется одним числом.
Слайд 73Точечные оценки параметров генеральной совокупности для интервального распределения
Переходим к дискретному
распределению:
Дальнейшие вычисления производим как в предыдущем примере.
Слайд 74Интервальные оценки параметров генеральной совокупности
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя
числами – концами интервала.
