Методы одномерной оптимизации

x, надо определить такое значение x*, при котором функция f(x)

принимает экстремальное значение. Под ним обычно понимают минимальное или максимальное значения. В общем случае функция может иметь одну или несколько экстремальных точек. Нахождение этих точек с заданной точностью можно разбить на два этапа. Сначала экстремальные точки отделяют, т.е. определяются отрезки, которые содержат по одной экстремальной точке, а затем уточняют до требуемой точности ε. Отделение можно осуществить, как графически, так и табулированием. Все методы уточнения точек экстремумов будем рассматривать относительно уточнения минимума на заданном отрезке.

пример: f(x) = 3*sin(2*x)-1.5*x-1=0

определена функция f(x) и точность ε. Надо уточнить точку минимума

с заданной точностью. Введём новое обозначение точек x1=a и x4=b. Вычислим Z=1/3.
Делим отрезок на три равные части и определяем точку x2=x1+Z(x4-x1) и точку x3=x4-Z(x4-x1). Вычисляем значения функции в этих точках F2=f(x2) F3=f(x3).
Определяем новый отрезок, содержащий точку экстремума, сравнив значения функций F2 и F3. Если F2 < F3, то границы нового отрезка определим как x1=x1, а x4=x3, иначе x1=x2, а x4=x4.
Проверяем условие окончания итерационного процесса | x4-x1 | ≤ 2ε. Если оно выполняется, то определим решение, как x=(x4+x1)/2 и значение функции в этой точке f(x). Иначе перейдем на пункт 2.

Введем понятие эффективности, как отношение доли сокращения отрезка к количеству вычисления функции на одной итерации тогда Q=0,33/2≈0,17

функция f(x) и точность ε. Надо уточнить точку минимума с

заданной точностью. Введём новое обозначение точек x1=a и x4=b.
Делим отрезок пополам и определяем точку середины x2=(x4+x1)/2 и точку x3, отстоящую на незначительное расстояние от середины x3=x2+(x4-x1)/100. Вычисляем значения функции в этих точках F2=f(x2) F3=f(x3).
Определяем новый отрезок, содержащий точку экстремума, сравнив значения функций F2 и F3. Если F2 < F3, то границы нового отрезка определим как x1=x1, а x4=x3, иначе x1=x2, а x4=x4.
Проверяем условие окончания итерационного процесса | x4-x1 | ≤ 2ε. Если оно выполняется, то определим решение, как x=(x4+x1)/2 и значение функции в этой точке f(x). Иначе перейдем на пункт 2.

Метод деления отрезка пополам.

Эффективность метода Q≈0,5/2=0,25

точек и соответствующее значение функции мы могли использовать на следующей

итерации.

делим на

Заменяем

Решая получим

и точность ε. Надо уточнить точку минимума с заданной точностью.

Введём новое обозначение точек x1=a и x4=b и вычислим Z=(3-√5)/2.
Делим отрезок на три части и определяем точку x2=x1+Z(x4-x1) и точку x3=x4-Z(x4-x1). Вычисляем значения функции в этих точках F2=f(x2) F3=f(x3).
Определяем новый отрезок, содержащий точку экстремума, сравнив значения функций F2 и F3. Если F2 < F3, то границы нового отрезка определим как x1=x1, x4=x3 , x3=x2, F3=F2 x2=x1+z(x4-x1) F2=f(x2) иначе x1=x2, x4=x4, x2=x3 F2=F3 x3=x4-z(x4-x1) F3= f(x3).
Проверяем условие окончания итерационного процесса | x4-x1 | ≤ 2ε. Если оно выполняется, то определим решение, как x=(x4+x1)/2 и значение функции в этой точке f(x). Иначе перейдем на пункт 3.

Введем понятие эффективности, как отношение доли сокращения отрезка к количеству вычисления функции на одной итерации тогда Q=0,3819/1≈0,3819

Z=(3-√5)/2
x2:=x1+Z(x4-x1); x3:=x4-Z(x4-x1)
F2:=f(x2); F3:=f(x3)
|x4-x1|≤2ε
конец
x:=(x1+x4)/2
нет
да
x1=x2: x2=x3: F2=F3
x3:=x4-Z(x4-x1): F3:=f(x3)
x4=x3: x3=x2: F3=F2
x2:=x1+Z(x4-x1):F2:=f(x2)