1 Помехоустойчивое кодирование (ЕСС) Блочные коды

кода n, его основание m, мощность кода N, вес кодовой

комбинации, кодовое расстояние
Основание кода m: код может быть двоичным, тогда m = 2, и недвоичным, в этом случае m = 2n, n – целое
Вес кодовой комбинации (Hamming weight) w(U) – это число единиц в кодовом слове для блоковых кодов
Мощность кода N — число разрешенных кодовых комбинаций
Для оценки отличия одной двоичной кодовой комбинации от другой используется расстояние Хэмминга d(v1, v2), определяемое как число разрядов, в которых одна кодовая комбинация v1 = (v10, v11, v12, v13, v14, … v1n) отличается от другой v2 = ( v20, v21, v22, v23, v24, … v2n).
Для характеристики обнаруживающей и исправляющей способности кода используют кодовое расстояние − это наименьшее расстояние Хэмминга для данного кода; обозначение dмин или dH(v1, v2)
Отношение R = k/n называют (относительной) скоростью кода

векторов (двоичное векторное пространство U2={0,1}k)

n двоичных символов – 2n

наборов векторов (двоичное векторное пространство U2={0,1}n)

из 2n наборов из U2={0,1}n выбираются 2k наборов векторов длиной n → векторное подпространство
Код – подпространство двоичного векторного пространства U2={0,1}n такое, что векторы (слова) этого подпространства максимально удалены одно от другого

слово 0 кодируется 000
информационное слово 1 кодируется 111
Поскольку кодовые слова

отличаются в 3-х позициях, то расстояние Хемминга dH = 3

Для расчета dмин необходимо вычислить все 2k(2k – 1) расстояний между различными парами кодовых слов
Даже для сравнительно коротких кодов с k > 50 это практически невозможно
Важно: для линейных блоковых кодов при расчете dмин необходимо рассчитать веса Хемминга только для (2k – 1) ненулевых кодовых слов

код, в котором вектор, не принадлежащий подпространству, нельзя получить путем

сложения любых кодовых слов, принадлежащих этому подпространству

Пусть Ui и Uj — два кодовых слова (или кодовых вектора) в двоичном блоковом коде (n, k).

найдите вес каждого кодового слова

называется базисом подпространства (V1, V2,..., Vk ), а число векторов

в этом базисном множестве является размерностью подпространства

U = m1 V1 + m2 V2 + … + mkV k

∙G
m = (m1, m2, …, mk ) U = (u1,

u2, …, un )

слова U1 и U2 для информационных слов m1 и m2

методом умножения U=m·G
а) m1 = (101)
б) m2 = (010)

символы которого определяются из уравнений:

р1 = m1 + m2 +

m4
р2 = m1 + m3 + m4
р3 = m1 + m2 + m3
р4 = m2 + m3 + m4

Постройте порождающую и проверочную матрицы кода

которого определяются из уравнений:
р1 = m1 + m2 + m4
р2

= m1 + m3 + m4
р3 = m1 + m2 + m3
р4 = m2 + m3 + m4

Для этого кода построили порождающую и проверочную матрицы
Решите задачу:

Являются ли векторы [10101010] и [01011100] кодовыми словами?

Определите число исправимых ошибок при декодировании кода.

..., rп — принятый вектор U = и1, и2, ...,

иn — переданный вектор
r = U + е
е = е1, е2, ...,еn — вектор ошибки или ошибочная комбинация, внесенная каналом.
Всего в пространстве из 2n n-кортежей существует 2 n –1 возможных ненулевых ошибочных комбинаций.
Синдром сигнала r S = r Hт

Синдром — это результат проверки четности, выполняемой над сигналом r для определения его принадлежности заданному набору кодовых слов.

Если е = 0 синдром S = 0.
Верно ли: Если S = 0 ошибка е = 0 ???

Если r содержит ошибки, которые можно исправить, то синдром имеет определенное ненулевое значение, что позволяет отметить конкретную ошибочную комбинацию.
Декодер
ИЛИ производит прямое исправление ошибок  локализует и исправляет ошибки (прямое исправление ошибок)
ИЛИ использует запрос ARQ  посылает запрос на повторную передачу

над искаженным вектором кода или над ошибочной комбинацией, вызвавшей его

появление, даст один и тот же синдром.

Особенностью линейных блочных кодов, важной при декодировании, является
взаимно однозначное соответствие
между синдромом и
исправимой ошибочной комбинацией

передано кодовое слово U = 1 0 1 1 1

0.
Принят вектор = 001110, (крайний левый бит принят с ошибкой).

Нужно найти вектор синдрома S = r Hт и показать, что он равен е Hт

= [1 0 0]
(синдром искаженного вектора кода)
Проверим, что синдром искаженного

вектора кода равен синдрому ошибочной комбинации, которая вызвала эту ошибку
S = еНт = [1 0 0 0 0 0] Нт = [1 0 0]
(синдром ошибочной комбинации)

+ r4 + r6
s2 = r2 + r4 +

r5
s3 = r3 + r5 + r6

(6, 3)

(6, 3)