2. ОСНОВЫ РАСЧЕТА И БЕЗОПАСНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ, МОДЕЛИРУЕМЫХ В ФОРМЕ

ТОНКОСТЕННОЙ ОБОЛОЧКИ
Вопросы, изложенные в лекции:
2.5 Цилиндрические и конические обечайки и

замкнутые сферические оболочки
2.6 Выпуклые крышки и днища. Самстоятельно. Ист.1 с.28-31.
2.7 Плоские крышки и днища
2.8 Устойчивость оболочек при воздействии сжимающих нагрузок
2.9 Гладкие конические обечайки и выпуклые днища Самостоятельно . Ист. 1, с. 49-52.
2.10 Узлы сопряжения оболочек. Самостоятельно . Ист. 2, с. 52-61.
Учебная литература:
Мильченко А.И. Особенности расчета типовых элементов химического оборудования. Корпуса аппаратов. Текст лекций, ЛТИ. – Ленинград, 1987, - 64с.
Мильченко А.И. Прикладная механика. Часть 2. Учебное пособие. – М: Изд. Центр Академия, 2013 – 256 с.

цилиндрические или конические барабаны из листового материала, открытые с торцов

и применяемые в качестве заготовок для сосудов, аппаратов и трубопроводов.
Для гладкой цилиндрической обечайки, нагруженной внутрен-ним избыточным давлением рр, составляющие внешней нагрузки по нормали и касательной к меридиану будут соответственно
рп = рр, pt = 0, а главные радиусы кривизны
rт =∞; rt = Dcp/2=const.
Это дает при подстановке в уравнение Лапласа (2.4)
(2.7)


а при подстановке в уравнение (2.5):


Из этих выражений следует, что тангенциальные напряжения, дейст-вующие в осевых сечениях цилиндра, в два раза больше меридио-нальных напряжений, действующих в поперечных сечениях. Поэтому продольные сварные швы цилиндрических обечаек более нагружены.

и расчетная схема цилиндрической обечайки кожуха (б): 1 — распределительная камера;

2 — кожух; 3 — опора; 4 — U-образные трубки.

(двухосном) напряженном состоянии под действием нормальных напряжений σt, σm (третье

нормальное напряжение — радиальное σр ≈ 0, о чем уже упоминалось выше) и расчет толщины ее стенки должен выполняться по одной из теорий прочности в зависимости от свойств применяемого материала.
При изготовлении обечаек из хрупких материалов (стекло, фарфор, керамика, чугун и т. д.) или из пластичных материалов, но с хрупким покрытием их расчет выполняется по первой теории прочности, построенной на предположении, что опасное состояние наступает в момент, когда наибольшее нормальное напряжение достигает опасного значения.

случая условие (2.8) запишем в виде


откуда


Так как Dcр = D

+ , то последняя формула примет вид



а с учетом наличия прибавки С окончательно получим следующую рабочую формулу:
S1≥SR1+C=. (2.9)

металлы, некоторые полимеры) выполняется по третьей гипотезе прочности — гипотезе

максимальных касательных напряжений
Опасное состояние наступает в момент, когда касательное напряжение, равное полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений, достигает опасного значения. Условие прочности по третьей теории имеет вид
(2.10)

Так как [τ]≈[σ]/2, a σmin=σр≈0, то условие (2.10) для
цилиндрической обечайки можно переписать с учетом коэффициента прочности сварных швов в виде
σmax≤ φ[σ], (2.11)
что почти совпадает с условием (2.8). Поэтому расчетная формула для определения толщины стенки цилиндрической обечайки по третьей теории прочности аналогична формуле (2.9):

S3≥SR3+C=

выпуск новой продукции с иными параметрами технологического процесса, часто возникает

необходимость проведения их проверочных расчетов согласно очевидному неравенству
рр ≤ [р], (2.13)
где [р] — допускаемое внутреннее избыточное давление в аппарате, величину которого легко получить из формулы (2.12):

Четвертая теория прочности нашла применение при расчетах на прочность трубопроводов химических установок, элементов паровых котлов, атомных реакторов и другого энергетического оборудования. Теория построена на предположении, что момент наступления опасного состояния зависит от величины потенциальной энергии, накапливающейся при деформации в единице объема материала.

постепенного изменения скорости движущейся в аппарате или трубопроводе среды.
Для

такой обечайки, нагруженной внутренним избыточным давлением (рис. 2.7),
составляющие внешней
нагрузки рп = рр, рt = 0
и главные радиусы
кривизны (см. рис. 1.3,б)
rт= ∞; rt = rср/cos а.

из уравнения Лапласа (2.4)
формулу для тангенциальных напряжений конической обечайки:
(2.18)
 
 Таким

образом, для конических обечаек, как и для цилиндрических, σt = 2σm, т. к. цилиндр является частным случаем конуса при а = 0.
Так как радиус параллельного круга конической обечайки изменяется в пределах rcp = D0/2…Dcp/2, то и напряжения σt, σm также изменяются вдоль оси и будут максимальными у большего основания конуса:
(2.19,20)

аналогии с формулой (2.11) получим

отсюда
 
Так как Dcp=D + Sk cosɑ, то с учетом С получим следующую формулу для расчета толщины стенки конической обечайки:

≥ +C=
(2.21)
Решая (2.21) относительно рр, получим для эксплуатационных условий следующую формулу проверочного расчета согласно неравенству (2.13):

(2.22)

Формулы (2.21) и (2.22) применимы лишь при а≤60°, т.к. обечай-ки с углом а>60° по своим свойствам больше соответствуют плоским элементам, и для их расчета нужны другие зависимости.

(рис. 2.8). Для такой оболочки, нагруженной внутренним избыточным давлением, составляющие

внешней нагрузки pn=pp; pt = 0, главные радиусы кривизны rm=rt = rср. Тогда формула (2.5) в применении к отсеченной коническим сечением нижней части сферической оболочки поймет вид
(2.23)
Уравнение Лапласа (2.4) для сферической оболочки

и с учетом (2.23)
 
 
отсюда (2.24)
 
Таким образом, для замкнутой сферической оболочки имеем
(2.25)
 

SC) и c учетом С формула для расчета толщины стенки

сварной сферической оболочки примет вид
≥ +C= (2.27)
 
а формула для проверочного расчета согласно неравенству (2.13) по аналогии с (2.14) будет
(2.28)


Таким образом, толщина сферической оболочки вдвое меньше цилиндрической (см. формулу (2.12)), что обеспечило широкое применение сферических сосудов, несмотря на сложность их изготовления.

получили эллиптические, полусферические и отбортованные сферические или торосферические днища, расчетные

схемы которых показаны на рис. 2.9. Все эти днища имеют кроме основного высотного габарита Н еще и высоту h1 так называемой цилиндрической отбортовки.










Рис. 2.9 - Выпуклые днища: а — эллиптическое; б — полусферическое;
в — торосферическое

применяются в конструкциях машин и аппаратов, благодаря простоте и дешевизне

их изготовления.








Рис. 2.8. Горизонтальный духходовой кожухотрубный теплообменник жесткой конструкции с распределительной камерой, имеющей плоскую приварную крышку (а);

и жесткозащемленной плоской крышки камеры (в); плоская крышка с балкой-полоской

единичной ширины (г)

На рис. 2.8 б, в приведены две наиболее широко применяемые расчетные схемы круглых пластин реальных аппаратов: с шарнирным закреплением по контуру (кругу); с жестким защемлением контура.

и меняет свою кривизну одновременно в двух плоскостях, в результате

чего образуется некоторая слабо изогнутая поверхность двоякой кривизны (оболочка). При расчете пластин принимается, что прогиб пластины существенно меньше ее толщины. Это допущение позволяет считать основными напряжения от изгиба и не учитывать напряжения растяжения срединной поверхности. Остальные допущения, положенные в основу теории изгиба пластин, аналогичны допущениям, отмеченным выше при расчете оболочек.

напряжения в шарнирно закрепленной балке — полоске единичной ширины b,

выделенной из пластинки 1 двумя сечениями, близкими к диаметральным (рис. 2.8,г). Такая балка-полоска испытывает посредине максимальные изгибные напряжения
(см. формулу Навье)
(2.33)
от максимального изгибающего момента
(2.34)





Сопоставление формулы (2.34) со строго полученной эпюрой на рис. 2.8,6 свидетельствует о совпадении максимальных моментов с точностью до постоянного коэффициента. Величина этого коэффициента не принципиальна, т. к. в конечном счете вытекает из моментной теории оболочек и экспериментов.

Mt, (рис. 2.8, б), b=1:





Поскольку для шарнирно закрепленной по контуру

пластинки Mxmax=Mtmax = (ppD2/64) (З + μ), то
σr mах= σt max≈0,31pp (D/S1)2. (2.35)
Точно так же можно получить для жесткозащемленной пластинки
σt max≈0,19pp (D/S1).2 (2.36)
Обозначая в формулах (2.35), (2.36) для общности через а численные коэффициенты, величина которых зависит от условий закрепления пластинки по контуру, и применяя третью теорию прочности по аналогии с (2.10) и (2.11),

и учитывая С, получим для проектного расчета
 
(2.37)
 
а для

проверочного расчета в условиях эксплуатации аппарата
(2.38)

ослаблена одним отверстием диаметром d, то
(2.39)

а если она ослаблена несколькими

отверстиями с диаметрами d1, то коэффициент ослабления
 
(2.40)
 
где согласно ГОСТ [1]
 

здесь b1 и b2 — хорды отверстий [10].

под действием внешних нагрузок, вызывающих сжатие стенок, могут потерять устойчивость

первоначальной геометрической формы, т. е. искривиться, образовать складки или сплющиться.
Такое нарушение работоспособности оболочек происходит при достижении сжимающими нагрузками их некоторого критического значения и аналогично по физической сущности потере устойчивости прямолинейных стержней при воздействии осевых сжимающих сил (см. вывод формулы Эйлера для критической силы FKР).
К числу типовых элементов, устойчивость формы которых определяет работоспособность тонко-стенных корпусов аппаратов, прежде всего отно-сятся: цилиндрические и конические обечайки, вы-пуклые днища, а также кольца жесткости, применя-емые для повышения несущей способности обечаек.

обечайки (б); сжимаемый цилиндр с шарнирными опорами и сплошным поперечным

сечением в момент потери общей устойчивости (в); то же с кольцевым сечением в момент потери местной устойчивости (г).

такими внешними нагрузками, как наружное давление рн, осевая сжимающая сила

F и изгибающий момент М. Перечисленные нагрузки могут действовать и по отдельности и совместно.
Тогда в общем виде условие прочности можно записать







Рис. 2.16 - Схема высокого вертикального
аппарата с возможностью образования
вакуума после гидроиспытаний

Цилиндрические обечайки, работающие под наружным давлением, принято делить на длинные и короткие.

волн смятия, аналогично ранее рассмотренным кольцам жесткости.
Короткие цилиндрические обечайки, шарнирнозакрепленные

по торцам, теряют устойчивость с образованием трех, четырех и более волн смятия zB (рис. ό./,α). длина l0,
разделяющая обечайки на длинные
и короткие, определяется по: (2.56)
Если расчетная длина гладкой (неподкрепленной кольцами) обечайки lр>l0, то оболочка является длинной, а при lр≤l0 —короткой.
Для сосудов и аппаратов с выпуклыми днищами (см. рис. 2.17,6)
lp = l + h0 + H/3 (2.57)
где l — длина обечайки, находящейся под действием наружного давления; h0 — высота цилиндрической части (отбортовки) днища; Н — внутренняя высота выпуклой части днища.
Для аппаратов с коническими днищами (см. рис. 2.17, в)
lp = l + h0 + h1, (2.58)
, , где r0 — внутренний радиус отбортовки; ɑ — половина угла при вершине конуса.

в расчетах на устойчивость:
а — образо-вание волн смятия: б —

обе-чаек с плоскими днищами; в. г — цилиндрических обечаек соответ-ственно с оболоч-ковыми днищами и рубашкой

(см. кривую 1 для расчета стержней на продольный изгиб).







Между

этими двумя предельными случаями лежит переходная область, в которой когда потеря устойчивости начинается с упругопластической деформации (кривая 3 на рис. 2.12, построенная с учетом запаса прочности п и запаса устойчивости пу и лежащая ниже обеих предельных кривых 1 и 2). Эта кривая 3 описывается простым уравнением 1/[F]2=1/[F]p2+1/[F]E2, которое в соответствии с ГОСТ можно переписать в уже упомянутой в уравнении (2.49) форме. где допускаемое осевое
сжимающее усилие [F] вычисляется по формуле
(2.49)

Для коротких же и очень жестких стерж-ней при действии больших сжимающих наг-рузок характерны пластические деформа-ции или хрупкое разрушение, не сопровож-даемое явлениями потери устойчивости (см. кривую 2— здесь разрушающая сила не зависит от гибкости λ).

из двух допускаемых усилий [F]E и [F]P, что и обеспечивает

высокую надежность аппаратов, спроектированных в соответствии с условием (2.49).
В случае эксплуатации аппарата и необходимости проверки его на устойчивость условие (2.49) можно переписать в виде
(2.51)

где коэффициенты снижения основного допускаемого напряжения φ1 и φ2 определяются по графику рис. 2.13 (первый характеризует местную устойчивость цилиндрической оболочки, второй — общую устойчивость стержня по Эйлеру).

на цилиндрическую обечайку (см, рис. 2.11,б), ГОСТ рекомендует другое уравнение

для расчета [М], которое по структуре аналогично (2.49):

(2.52)
где
(2.53)
[М]р — допускаемый изгибающий момент из условий прочности оболочки при коэффициенте φ= 1;
(2.54)
[М]Е — допускаемый изгибающий момент из условий устойчивости в пределах упругости.
При эксплуатации аппарата в рабочих условиях допускаемый момент с учетом условий (2.53) и (2.50) записывается· в виде [ 1]
(2.55)
где φ3—коэффициент снижения допускаемых напряжений при расчете на устойчивость из условия местной устойчивости при изгибе (рис. 2.14).

находятся под «рубашкой» (рис. 2.15, а) или работают под вакуумом

(см. рис. 2.15,6).








Критическая нагрузка для сжимаемых колец (колец жесткости)
Криволинейные стержни в виде замкнутых колец часто используются в качестве колец жесткости.

равномерно распределенной наружной нагрузки q.
Пусть весьма податливая цилиндрическая оболочка

нагруженная давлением рн, подкреплена жесткими кольцами с прямоугольным поперечным сечением, приваренными к оболочке на расстоянии l друг от друга. Тогда рабочую сжимающую нагрузку можно рассчитать:


Пока средняя линия кольца имеет
форму окружности, сжимяющая
нагрузка q вызывает только осе-
вые сжимающие усилия N0 и
соответствующие им усилия
сжатия

силы на направление нормали к середине
дуги ds:
Что при малых

углах определяет
Или
Если q увеличиться до qкр, то кольцо аварийно искривиться получив элептическую форму – потеряет устойчивость.
В каждом сечении кольца теперь действуют не только нормальные силы N0+N, но и изгибающие моменты М и поперечные силы Q. Круглое сечение деформируется в почти элептическое:

А полное значение критической
сжимающей силы
Следовательно Qкр для кольца совпадает с формулой Эйлера для Fкр сжимаемого стержня. При достижении q значения qкр кривизна χ= получит два полных периода изменения, то-есть кольцо потеряет устойчивость с образованием двух волн смятия.

образованием двух волн смятия. Поэтому естественно применить к определению критического

наружного давления рн.кр такой обечайки полученную ранее формулу для критической нагрузки кольца
(2.59)

Для этого длинную обечайку толщиною S представим состоящей как бы из множества колец единичной ширины b=1 (см. рис. 2.18), которые испытывают упругую деформацию сжатия от нагрузки:
qкр=pн. кр·1 (2.60)

множества взаимосвязанных между собою колец

(в литературе этот комплекс называется

цилиндрической жесткостью обечайки и обозначается символом Д; v — коэффициент Пуассона) и подставляя (2.59) в (2.60), получим

Или
(2.61)
Расчетное наружное давление рн.р должно быть меньше рн.кр:
(2.62)
где пу — запас устойчивости.

обечайки

определения исполнительной толщины стенки длинного цилиндра, нагруженного наружным давлением:
(2.63)

Для

оболочек, изготовленных из пластичных материалов (пу = 2,4; v=0,3) с целью удобства выполнения численных расчетов ГОСТ, рекомендуется записывать формулу (2.63) в виде
 
(2.64)


Формула (2.64) применима только для приближенных расчетов, т. к. при ее выводе деформации сжатия предполагались упругими.

и в упругопластической области, то найденную по формуле (2.64) толщину

обечайки следует окончательно
проверить по формуле , (2.65)
которая по структуре и физической сущности совпадает с формулами (2.49) и (2.52). При этом допускаемое давление [Рн]р из условия прочности при φ= 1 определяется из уравнения Лапласа:
(2.66)
а допускаемое давление [рн]Е из условия устойчивости в пределах упругости легко получить из формулы (2.64), если ее записать относительно искомого давления:
. (2.67)


упрощается и принимает вид рн/[рн] ≤ 1, или, что более привычно, рн≤[рн] (2.70)

с образованием трех и более волн смятия. Такими короткими обычно

бывают те участки цилиндрической обечайки, которые или находятся между соседними кольцами жесткости (см. рис. 2.15), или заключены между фланцем корпуса и эллиптическим (коническим) достаточно жестким днищем аппарата. Подобные участки обечайки обычно считают шарнирно закрепленными по торцам, где находятся соответствующие пояса жесткости (рис). Даже из физических соображений понятно, что при наличии таких кольцевых идеально круглых шарнирных опор сплющить подкрепленную ими круглую тонкостенную обечайку с образованием 2-3 волн смятия будет тем труднее, чем меньше l — расстояние между опорами.

Именно этот вывод и вытекает из формулы ГОСТ [1] для допускаемого давления [pH]E из условия устойчивости в пределах упругости:





(2.71)

ГОСТ [1] большей из следующих двух значений
(2.72)
 
(2.73)
Очевидно, что формула (2.72)

практически совпадает с формулой, полученной из уравнения Лапласа (2.44) и третьей теории прочности при φ=1, а равенство (2.73) вытекает из уравнения (2.71), если его решить относительно искомой толщины s.
Окончательное же значение толщины стенки короткой обечайки, как и ранее, должно удовлетворять условию
рн≤[рн] (2.70)
[рн] определяется по формуле(2.65), [рн]р — по формуле (3.66), и [рн]Е — по формуле (3.71).
 

она рассчитывается на устойчивость в соответствии с неравенством (2.69), для

которого используются те допускаемые значения нагрузок, которые определяются по формулам (2.49), (2.52) и (2.65).

2.9 Гладкие конические обечайки и выпуклые днища Самостоятельно . Ист. 1, с. 49-52.

2.10 Узлы сопряжения оболочек. Самостоятельно . Ист. 2, с. 52-61.