20 1 1 г. Дифференциальные уравнения Тема: Дифференциальные уравнения: основные

Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обыкновенным дифференциальным уравне- нием называется уравнение, связывающее независимую переменную x,

искомую функцию y = y(x) и ее производные y (x) , y (x) , … , y(n)(x) .
 в общем случае ОДУ имеет вид
F(x, y , y  , y  , y  , … , y(n)) = 0 .
Порядок старшей производной, входящей в ОДУ, называется порядком дифференциального уравнения.
ПРИМЕР. Определить порядок уравнений:

ее частные производные, называется уравнением в частных производных.
Функция y = (x) называется

решением дифференциального уравнения на интервале (a;b), если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех x из интервала (a;b).
ПРИМЕР.
1) y = cosx – решение ДУ y  + y = 0 на (–  , + ) ;
2) – решение ДУ в интервале (– 1 ; 1) .
Уравнение Φ(x,y) = 0 , задающее в неявном виде решение диф- ференциального уравнения, называется интегралом диффе- ренциального уравнения.
График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если все его решения могут

быть получены в результате конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрированием этих функций.

y  = f(x,y)
Общий вид ДУ 1-го порядка:
F(x, y, y ) = 0 , (1)
где x – независимое переменное,

y – неизвестная функция, F – заданная функция трех переменных.
Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно записать в виде y  = f(x,y) (2)
называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

f(x,y) непрерывна в некоторой области D плоскости xOy,
2)

в области D ограничена.
Тогда для любой точки M0(x0 ,y0)D существует един- ственное решение y = (x) уравнения (2), определенное в не- котором интервале (a;b) содержащем точку x0 , и удовлет- воряющее условию y0 = (x0).
Числа x0 , y0 называются начальными значениями (данными) для решения y = (x).
Условие y(x0) = y0 называется начальным условием.
Геометрически, задание начального условия означает, что на плоскости xOy задается точка (x0,y0) , через которую проходит интегральная кривая y(x).

называется задачей Коши.
Теорему 1 называют теоремой существования и единственности решения

задачи Коши для ДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной.
Решение (интеграл), в каждой точке которого выполняется условие единственности, называется частным.
Решение (интеграл) y = (x), в каждой точке которого нарушено условие единственности (т.е. через каждую точку кривой y = (x) проходит еще хотя бы одна, отличная от y = (x), интегральная кривая), называется особым.
График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения.

задачи Коши.
 Возможно, что в точке (x0,y0) условия теоремы

1 не вы- полняются, а решение y = y(x) уравнения (2), удовлет- воряющее условию y(x0) = y0, существует и единственно.
Из теоремы 1 
1) вся область D покрыта интегральными кривыми уравнения (2), которые нигде между собой не пересекаются;
2) ДУ (2) имеет множество решений. Совокупность решений зависит от произвольной постоянной.

единствен- ности решения задачи Коши называется функция
y = (x , C) ,
зависящая от x и одной

произвольной постоянной C, кото- рая удовлетворяет следующим двум условиям:
1) при любом допустимом значении постоянной С она удовлетворяет уравнению (2);
2) каково бы ни было начальное условие y(x0) = y0 (где (x0 ,y0)D), можно найти единственное значение C = C0 такое, что функция y = (x , C0)  удовлетворяет данному начальному условию.
Уравнение Φ(x , y , C) = 0 , задающее общее решение в неявном виде, называется общим интегралом уравнения.

значении постоянной C (включая C = ), является частным.
Особое решение, очевидно, не

входит в общее решение дифференциального уравнения.
Особое решение всегда «теряется» в процессе интегрирования и обладает тем свойством, что оно может быть включено в общее решение, если допустить C = C(x) .
С геометрической точки зрения особая интегральная кривая является огибающей семейства интегральных кривых.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линия ℓ называется огибающей однопара- метрического семейства кривых, если она в каждой своей точке касается одной кривой семейства, причем в различных точках она касается различных кривых.

y , имеет две фор- мы записи:
1) обычную, т.е. y  = f(x,y) ,
2) дифференциальную,

т.е.
P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 . (3)
При этом, если уравнение записано в виде (3), то обычно предполагают, что переменные x и y равноправны.
Дифференциальным уравнением с разделенными переменными называется уравнение, дифференциальная форма которого имеет вид
f(x)dx + (y)dy = 0 , (4)
где f(x) и (y) – непрерывные функции.

(y).
Тогда общий интеграл уравнения (4) имеет вид:
F(x) + Φ(y) = C ,
где C –

произвольная постоянная.
Замечание. В теории дифференциальных уравнений символом
принято обозначать ОДНУ из первообразных функции f(x) (а не все множество первообразных, как это принято в других разделах математического анализа).
Поэтому общий интеграл уравнения (4) принято записывать в виде:
где C – произвольная постоянная.

называется уравнение, дифференциальная форма которого имеет вид
f1(x)  1(y)dx + f2(x)  2(y)dy = 0 , (5)
где f1(x), f2(x), 1(y),

2(y) – непрерывные функции.
Разделим обе части уравнения на 1(y)  f2(x):
 Общий интеграл уравнения (5) имеет вид:

Поэтому чтобы получить полное решение, необхо- димо рассмотреть корни уравнений 1(y) = 0,

f2(x) = 0.
2) Обычная форма дифференциального уравнения с разделяющимися переменными имеет вид:
y  = f(x)  (y) .
Рассмотрим уравнение
y  = f(ax + by + c) , (6)
где a , b и c – некоторые числа.
Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z(x) = ax + by + c и его общий интеграл имеет вид: