Разделы презентаций


7. РЕШЕНИЕ ОДУ

Содержание

Мы здесь будем рассматривать: уравнения 1-го порядка уравнения 2-го порядка систему уравнений вида:

Слайды и текст этой презентации

Слайд 17. РЕШЕНИЕ ОДУ
7.1 Основные понятия
Дифференциальное и интегральное
исчисление

. . . . .

. Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
MC: Demo
Интегрирование
Определения
ОДУ
В общем случае ОДУ можно записать в

виде уравнения:

Оно связывает независимую переменную x, неизвестную функцию y(x) и ее производные.

Историческая справка

7. РЕШЕНИЕ ОДУ7.1 Основные понятияДифференциальное и интегральноеисчисление. . .	. . . 	Обыкновенные 		дифференциальные	уравненияMC: DemoИнтегрированиеОпределенияОДУВ общем случае ОДУ

Слайд 2Мы здесь будем рассматривать:

уравнения 1-го порядка


уравнения 2-го порядка


систему уравнений

вида:

Мы здесь будем рассматривать:	уравнения 1-го порядка 	уравнения 2-го порядка	систему уравнений вида:

Слайд 3Систему ОДУ удобно представить в векторной форме:
векторная форма системы ОДУ

Систему ОДУ удобно представить в векторной форме:векторная форма системы ОДУ

Слайд 4Геометрический смысл ОДУ
Рассмотрим уравнение

Предположим, что функция f (x, y)

определена и непрерывна в некоторой области D .
MC: Demo
Поле направлений
касательная
Поле
направлений

Геометрический смысл ОДУРассмотрим уравнение Предположим, что функция f (x, y) определена и непрерывна в некоторой области D

Слайд 6Пример. Уравнение
Аналитического решения нет.

Вопросы:
Сколько инт. кривых можно построить?
Как выбрать

конкретную инт. кривую?

Пример. Уравнение Аналитического решения нет.Вопросы:Сколько инт. кривых можно построить?Как выбрать конкретную инт. кривую?

Слайд 7Задача Коши
Уравнение


имеет бесчисленное множество решений.

Чтобы выбрать из этого множества какое-либо

одно (частное) решение можно задать некоторую точку (x0, y0) и

выбрать интегральную кривую, проходящую через эту точку,
т.е. надо задать дополнительное условие
y(x0) = y0 .

Это условие называется начальным условием.


Задача интегрирования уравнения
с заданными начальными условиями
называется начальной задачей или задачей Коши.
Задача КошиУравнение		имеет бесчисленное множество решений.Чтобы выбрать из этого множества какое-либо одно (частное) решение можно задать некоторую точку

Слайд 8Согласно общей теории ОДУ,
количество дополнительных условий, определяющих некоторое частное

решение, д.б. равно порядку уравнения или системы уравнений.
Поэтому для уравнения

2-го порядка задача Коши будет:

2 условия

Для системы n- го порядка:

где

n условий

Согласно общей теории ОДУ, количество дополнительных условий, определяющих некоторое частное решение, д.б. равно порядку уравнения или системы

Слайд 9Краевая задача
В задаче Коши дополнительные условия задаются в одной точке

при x = x0.

Однако, во многих случаях дополнительные условия могут

задаваться в разных точках по x. Такие условия называются ГРАНИЧНЫМИ, а сами задачи – КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ.

Очевидно, что краевые задачи возможны для ОДУ или системы ОДУ, начиная со второго порядка.

Пример. Уравнение 2-го порядка

геометрический
смысл

Краевая задачаВ задаче Коши дополнительные условия задаются в одной точке при x = x0.Однако, во многих случаях

Слайд 107.2 Решение ОДУ в системе MathCAD
Есть несколько стандартных методов. Мы

рассмотрим только стандартную функцию Odesolve
функция Odesolve
Предназначена для решения начальных и

краевых задач.

В общем случае имеет следующую структуру:

Odesolve ( [ V ], x, b, [ npoints] )

[ V ] – (необязательный параметр, используется только при решении систем ОДУ) – вектор-функция с именами интегрируемых функций в системе уравнений;
x – имя переменной интегрирования;
b – конечная точка интегрирования;
[ npoints] - целое число узлов, используемых при сплайн - интерполяции полученного решения. Необязательный параметр. По умолчанию - 1000.
7.2 Решение ОДУ в системе MathCADЕсть несколько стандартных методов. Мы рассмотрим только стандартную функцию Odesolveфункция OdesolveПредназначена для

Слайд 11Функция Odesolve используется в составе вычислительного блока Given

Given





с помощью функции Odesolve>

служебное
слово
начальные или
граничные
условия
Примечания:
уравнения должны быть линейны относительно

старшей производной;
количество дополнительных условий должно совпадать с порядком уравнения;
при записи уравнений и дополнительных условий используются булевы операторы;
функция Odesolve возвращает решение в виде функции, полученной сплайн-интерполяцией численных результатов.
Функция Odesolve используется в составе вычислительного блока Given		Given						служебноесловоначальные илиграничные условияПримечания:	уравнения должны быть линейны относительно  старшей производной;	количество

Слайд 12Можно использовать две формы записи производных:


с помощью операторов

с помощью

кавычек
(набираются Ctrl + F7 )
MC: Demo
Задача1

Можно использовать две формы записи производных:	с помощью операторов 	с помощью кавычек  		(набираются Ctrl + F7 )MC:

Слайд 13Задача 2. Решить краевую задачу
Здесь a и b –

заданные параметры. Уравнение описывает тот же процесс.
MC: Demo
Задача2

Задача 2. Решить краевую задачу Здесь a и b – заданные параметры. Уравнение описывает тот же процесс.MC:

Слайд 14Задача 3. Решить задачу Коши для системы уравнений
MC: Demo
Задача3

Задача 3. Решить задачу Коши для системы уравнений MC: DemoЗадача3

Слайд 15Задание №1 по ОДУ
Решить задачи 1 – 3, рассмотренные выше.

Провести их параметрическое исследование;

Построить поле направлений для уравнения

Решить задачу Коши для этого уравнения при следующих начальных данных:

Решить задачу Коши



Здесь - малый параметр. Получить решения при и . Объяснить влияние на решение.
Задание №1 по ОДУРешить задачи 1 – 3, рассмотренные выше. Провести их параметрическое исследование;Построить поле направлений для

Слайд 167.3 Корректность задачи Коши
Пример н.корр.задачи: "Пойди туда - не зная

куда, найди то – не зная что! "
Корректность задачи Коши

для уравнения

Условие существования решения
Если точка (x0,y0) принадлежит некоторой области D на плоскости x,y и в этой области правая часть уравнения f(x,y) определена и непрерывна, то в данной области з.Коши имеет решение.

Условие устойчивости по начальным данным
Если в области D функция f(x,y) удовлетворяет условиям существования и единственности решения, то решение з. Коши непрерывно зависит от правой части уравнения f(x,y) и от точки (x0,y0) .

7.3 Корректность задачи КошиПример н.корр.задачи:

Слайд 17геометрическа интерпретация
условий существования, единственности и устойчивости
решение существует решение единственно решение устойчиво
интегральные кривые

проходят через каждую точку области D.
D
D
D
интегральные кривые не пересекаются.
малые изменения

начальных данных приводят к малым изменениям решения.
геометрическа интерпретацияусловий существования, единственности и устойчивостирешение существует	решение единственно	решение устойчивоинтегральные кривые проходят через каждую точку области D.DDDинтегральные кривые

Слайд 18Пример.
задача Коши
Аналитическое решение:

решения нет
x
y
неединственность
решения

Пример.задача КошиАналитическое решение:решения нетxyнеединственность решения

Слайд 197.4 Построение разностных схем
Рассмотрим задачу Коши:
Решение будем искать на интервале:
(1)
Задачу

(1) можно представить в интегральной форме:
(2)
эквивалентные
формы
разностная сетка
Разобьем отрезок [x0, xk]

на n малых интервалов – получим последовательность или СЕТКУ значений xi:

узлы сетки

Шаг сетки: hi = xi+1 – xi
- в общем случае м.б. переменной, но обязательно конечной величиной.

7.4 Построение разностных схемРассмотрим задачу Коши:Решение будем искать на интервале:(1)Задачу (1) можно представить в интегральной форме:(2)эквивалентныеформыразностная сеткаРазобьем

Слайд 20Будем искать решение задачи (2) в узлах сетки: yi =

y(xi), причем в узле x0 решение y0 известно.

Рассмотрим (2):

Для одного

интервала сетки [xi, xi+1] оно примет вид:

(2)

(2)

неизвестно

Мы будем использовать однопараметрическую аппроксимацию подынтегральной функции f(x,y) на интервале [xi, xi+1] :

(4)

Здесь - известный параметр.

(3)

Будем искать решение задачи (2) в узлах сетки: yi = y(xi), причем в узле x0 решение y0

Слайд 21Подставляя (4) в (3), получим однопараметрическое семейство разностных уравнений:
(5)
Здесь h

– шаг разностной сетки.
Явные и неявные разностные схемы
Схема Эйлера
При

из (5) получим схему Эйлера

(6)

Это простейшая схема явного типа
(уравнение явно относительно yi+1).

Геометрический смысл: разностное решение – ломаная линия (касательные)

Подставляя (4) в (3), получим однопараметрическое семейство разностных уравнений:(5)Здесь h – шаг разностной сетки.Явные и неявные разностные

Слайд 22Неявная схема
При из (5)

получим полностью неявную схему
(7)
искомое решение входит
в обе части уравнения
В общем

случае при получим семейство неявных разностных схем. В неявных схемах искомое значение yi+1 входит в обе части разностного уравнения. Такие схемы называются НЕЯВНЫМИ.

Их решение является более сложным, чем явных уравнений. Однако, они обладают свойством повышенной устойчивости при решении особого класса ОДУ – «жестких» дифференциальных уравнений.

Например, при получим неявную схему

(8)

Неявная схема При 	     из (5) получим полностью неявную схему(7)искомое решение входитв обе

Слайд 23Точность и порядок разностных схем
Разностные методы решения ОДУ – приближенные,

т.е. результат получается с погрешностью. Это вызвано тем, что

дифференциальные уравнения при решении заменяются их разностными аналогами. Поэтому для всех разностных схем проводится оценка их погрешности.

Без вывода

Схема Эйлера

Неявная схема


Неявная схема

error = C h

error = C h2

оценка точности
по порядку h

Здесь С – некоторая константа, зависящая от свойств функции f(x,y)

На практике обычно используют схемы 4 – 5 порядка точности, например, методы Рунге-Кутта.

Точность и порядок разностных схемРазностные методы решения ОДУ – приближенные,  т.е. результат получается с погрешностью. Это

Слайд 24Задание №2 по ОДУ
Используя метод Эйлера, написать свою функцию численного

интегрирования задачи Коши :




Провести тестирование Ваше функции на известном решении.

Решить

уравнение

на интервале
t  [0, tk] ,
где tk - заданный параметр. Предварительно построить поле направлений и провести качественный анализ решения.

Решить систему уравнений
на интервале t  [0, tk] .
Здесь a, b, l, k – параметры задачи.
Провести параметрическое исследование.
Рассмотреть решение на фазовой плоскости.

Задание №2 по ОДУИспользуя метод Эйлера, написать свою функцию численного интегрирования задачи Коши :	Провести тестирование Ваше функции

Слайд 257.5 Примеры дифференциальных моделей
Задача №1. КРИМИНАЛЬНАЯ
Постановка задачи. В некоторый момент

времени t0=0 найден еще “теплый” труп. Его температура – T0.

Через некоторое время (t=t1) его температура снизилась до T1. Температура окружающего воздуха известна - . Определить момент совершения преступления.

РЕШЕНИЕ:
Построение математической модели.











Согласно законам теплообмена тела с окружающей средой, температура тела описывается уравнением

коэффициент теплообмена

Примем допущения:
1. k = const (не зависит от температуры);
2. Температура окружающей среды не меняется, т.е. =const.

7.5 Примеры дифференциальных моделейЗадача №1. КРИМИНАЛЬНАЯПостановка задачи. В некоторый момент времени t0=0 найден еще “теплый” труп. Его

Слайд 26Тогда решение задачи можно получить из задачи Коши:
Задача содержит два

параметра:
 - температура среды (известен);
k - коэффициент теплообмена

(неизвестен).

Найдем k ,используя дополнительное условие T=T1 при t=t1. Для этого проведем серию расчетов при различных k.
Подбором найдем такое значение k, при котором интегральная кривая, выйдя из т. (t0, T0) попадет в т. (t1, T1) .
Это т.н. метод «стрельб».

Тогда решение задачи можно получить из задачи Коши:Задача содержит два параметра:	  - температура среды (известен);	 k

Слайд 273. Используя полученное k, решим задачу в прошлое

– в область t

= 30o C; t = 0;
T1 = 28o C; t = 1 (час);
 = 21o C;
3.   Используя полученное k, решим задачу в прошлое – в область t

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика