Слайд 1АЛГЕБРА
(3-й семестр)
2010-11 учебный год
Доцент Мартынова Т.А.
Слайд 2МНОГОЧЛЕНЫ НАД ЧИСЛОВЫМИ ПОЛЯМИ
ЛЕКЦИЯ 12
Доцент Мартынова Т.А.
Слайд 3§ 3. Многочлены над полем рациональных чисел
Основными задачами этого параграфа
являются рассмотрение вопросов:
Целые и рациональные корни многочленов из Q[x].
Примитивные многочлены
и связь между приводимостью многочленов над полем Q и над кольцом Z.
Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x] (критерий Эйзенштейна и метод Кронекера).
Слайд 41. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Пусть
- некоторый многочлен из Q[x].
Умножив его на общий знаменатель q
всех его коэффициентов, мы получим новый многочлен с целыми коэффициентами, который имеет те же корни, что и f(x).
Поэтому в дальнейшем считаем что многочлен f(x) имеет целые коэффициенты.
Слайд 5Теорема 1. Если несократимая дробь l/m (m>0) является корнем многочлена
f(x) с целыми коэффициентами, то a0 l и anm.
Следствие 1.
Целый корень многочлена f(x) с целыми коэффициентами является делителем свободного члена. ◙
Следствие 2. Если старший коэффициент an многочлена f(x) с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого многочлена целые. ◙
1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Слайд 6Количество дробей l/m для многочлена f(x) может оказаться большим и
задача нахождения среди них корней громоздкой.
Чтобы уменьшить число испытаний и
отсеять лишних кандидатов, мы указали еще одно необходимое (но недостаточное) условие того, что несократимая дробь l/m является корнем многочлена (1).
Теорема 2. Если несократимая дробь l/m (m>0) является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то для любого целого числа k, такого, что l-km0, f(k) делится на l–km.
1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Слайд 7Замечание. Обычно теорему 2 используют при k=±1. При этом дроби
и
называют контрольными.
Согласно теореме 2, в случае когда несократимая дробь l/m (m>0) является корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами и l ± m 0, обе контрольные дроби обязаны быть целыми числами.
Это позволяет отсеивать значительное число кандидатов в корни, которые определяются на основании теоремы 1.
1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Слайд 81. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Пример 2.
Найти рациональные корни многочлена f(x)=2x4-x3+3x2-x-12.
◘ Имеем:
Слайд 91. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Составим таблицу:
Слайд 101. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Составим таблицу:
Слайд 111. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Составим таблицу:
Слайд 121. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Составим таблицу:
Слайд 131. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]
Данные таблицы
показывают, что рациональные корни многочлена f(x) находятся среди чисел –2,
–1/2 и 3/2.
С помощью схемы Горнера вычисляем значения
f(–2), f(–1/2) и f(3/2)
и убеждаемся что число 3/2 является единственным рациональным корнем данного многочлена. ◙
Слайд 142. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
Определение 1. Содержанием многочлена f(x)Z[x]
называется НОД его коэффициентов. Если коэффициенты многочлена f(x) взаимно простые, то он называется примитивным многочленом.
Пример 3.
Содержанием многочлена f(x)=3x3-18x+6 является число 3. Многочлен g(x)=x3-6x+2 является примитивным.
Слайд 152. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
Теорема 3. Если f(x)Z[x], то
он единственным образом представим в виде:
где d – содержание f(x), а f1(x) – примитивный.
◘ Вынеся НОД коэффициентов многочлена f(x) за скобки, мы и получим разложение (4). Единственность вытекает из единственности НОД целых чисел. ◙
(4)
Слайд 162. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
Теорема 4 (лемма Гаусса). Произведение
примитивных многочленов – тоже примитивный многочлен.
◘ Пусть
– примитивные многочлены из кольца Z[x] и
Если h(x) не является примитивным, то его содержание d имеет в своем разложении по крайней мере один простой делитель pZ.
Слайд 172. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
Так как f и g
примитивны, не все их коэффициенты делятся на p.
Пусть ai и bj – первые коэффициенты в f и g, которые не делятся на p. Поскольку
где ak= 0 при k >n и bk= 0 при k >m.
Учитывая, что и все слагаемые как слева так и справа от aibj тоже делятся на p, мы приходим к выводу, что aibj p .Но это невозможно, так как ai и bj не делятся на p, а p – простое число.
Таким образом, h(x) – примитивный многочлен, что и требовалось доказать. ◙
Слайд 182. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
Теорема 5. Многочлен f(x)Z[x] приводим
в Z[x] тогда и только тогда, когда он приводим в кольце Q[x].
◘ Если f(x) приводим в Z[x], то он приводим и в Q[x], так как Z[x] Q[x].
Обратно, пусть f(x)Z[x] Q[x] приводим в Q[x], т.е. f(x) = g(x)h(x), где g(x), h(x) Q[x] и degg(x)=k>0, degh(x)=m>0.
Вынесем общий знаменатель коэффициентов g(x) и h(x) за скобки. Тогда:
Слайд 192. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
Далее, в g1(x) и h1(x)
вынося за скобки НОД их коэффициентов, получим
где g2(x) и h2(x) уже примитивны в Z[x]. Таким образом,
Покажем теперь, что .
Для этого достаточно показать, что если q/r - несократимая дробь, т.е. НОД(q,r)=1, то r =1.
Слайд 202. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
Согласно лемме Гаусса, многочлен
примитивен, а многочлен f(x) имеет по условию целые коэффициенты.
Тогда все коэффициенты многочлена
также целые числа, т.е. при любом i=0,1,2,…,k+m имеем: , поэтому .
Но поскольку НОД(q,r)=1, все , а в силу примитивности многочлена g2h2, это возможно лишь, когда r =1.
Значит, f(x)=qg2(x)h2(x), где qZ; g2(x),h2(x)Z[x], т.е., многочлен f(x) приводим в кольце Z[x]. ◙
Теорема 4 (лемма Гаусса). Произведение примитивных многочленов - тоже примитивный многочлен.
Слайд 212. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
Доказанная теорема имеет важное значение
в математике, поскольку она позволяет свести вопрос о приводимости многочлена из кольца Q[x] к приводимости над кольцом Z некоторого многочлена с целыми коэффициентами.
Действительно, если умножить многочлен f(x)Q[x] на общий знаменатель k всех его коэффициентов, то получим новый многочлен
с целыми коэффициентами.
(5)
Слайд 222. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем
Q и над кольцом Z.
В силу равенства (5) многочлен
f(x) приводим над полем Q тогда и только тогда, когда приводим над полем Q многочлен h(x).
Но согласно теореме 5, h(x) приводим над полем Q тогда и только тогда, когда он приводим над кольцом Z.
(5)
Теорема 5. Многочлен f(x)Z[x] приводим в Z[x] тогда и только тогда, когда он приводим в кольце Q[x].
Слайд 233. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Прежде всего
ясно, что многочлен f(x)Q[x], где deg f(x)>1, который имеет по
крайней мере один рациональный корень, обязательно приводим в Q[x].
Но, разумеется, приводимыми могут быть и многочлены, не имеющие рациональных корней. Например, f(x)=(x2+1)(x2-2).
Таким образом, наличие рационального корня – это лишь достаточный признак приводимости многочленов степени > 1 над полем Q.
Слайд 243. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Для многочленов
2 и 3 степени этот признак приводимости также является необходимым.
В
самом деле, если многочлен f(x)Q[x] 2-й или 3-й степени приводим, то в его разложении f(x)=(ax+b)q(x) один из множителей имеет первую степень и, следовательно, рациональное число (–b/a) является рациональным корнем многочлена f(x).
Слайд 253. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Итак, выше
нами обоснована следующая теорема:
Теорема 6. Многочлен f(x) 2-й или
3-й степени с рациональными коэффициентами приводим над полем Q тогда и только тогда он имеет по крайней мере один рациональный корень. ◙
Пример 4. Приводим ли над полем Q многочлен f(x)=x3-17x+1?
◘ Поскольку f(-1)0, f(1)0, то f(x) не имеет рациональных корней. Значит он неприводим над Q. ◙
Докажем еще один достаточны признак непроводимости.
Слайд 263. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Теорема 7
(критерий Эйзенштейна).
Многочлен f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn с целыми коэффициентами неприводим над полем Q
(кольцом Z), если существует такое простое число p, что выполняются условия:
1. коэффициенты a0,a1,…,an-1 делятся на p;
2. свободный член a0 не делится на p2;
3. старший коэффициент an не делится на p.
Слайд 273. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Предположим противное:
все условия теоремы 7 выполняются, но f(x) – приводим над
полем Q, a следовательно, по теореме 5 и над кольцом Z.
Пусть
где
Тогда
Коэффициент a0=b0c0 делится на p, значит b0 или c0 делится на p. Пусть b0 делится на p. Тогда c0 не делится на p, так как a0 не делится на p2.
Далее, не могут все коэффициенты многочлена g(x) делится на p, ибо тогда и все коэффициенты многочлена f(x) делились бы на p, а это противоречие условию 30.
Слайд 283. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Пусть bk
– первый коэффициент в g(x), который не делится на p.
Ясно что k≤rЛевая часть равенства
а также все слагаемые правой части начиная со второго, делятся на p.
Значит и , где c0 не делится на p. Следовательно, bk делиться на p, что противоречит предположению.
Значит f(x) неприводим над кольцом Z, а, значит и над полем Q. ◙
Слайд 293. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Пример 5.
Многочлен
неприводим над полем Q, так как
удовлетворяет условиям теоремы 5 при p=2. ◙
Следствие 1. Над полем Q существуют неприводимые многочлены любой натуральной степени.
◘ В самом деле, многочлен
при любом натуральном n и любом простом p в силу признака Эйзенштейна неприводим над Q. ◙
Слайд 303. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Напомним, что
в C[x] неприводимы только многочлены первой степени, а в R[x]
– только многочлены первой степени и некоторые многочлены второй степени.
Пример многочленов, неприводимых в Q[x]:
Слайд 313. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Замечание 2.
Результаты, полученные в этой главе, часто позволяют по самому виду
многочленов получить о нем некоторую информацию.
Пример 5. Многочлен
приводим в C[x], имеет 7 комплексных корней;
приводим в R[x], имеет по крайней мере один действительный корень, все действительные корни положительны;
неприводим над полем Q и, следовательно, рациональных корней не имеет.
Таким образом, все действительные корни положительны и иррациональны. ◙
Слайд 323. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Если многочлен
f(x)Q[x] имеет степень n>3, не имеет рациональных корней, не удовлетворяет
условиям Эйзенштейна, то результаты этого параграфа не позволяют решить вопрос о его приводимости.
Имеется много других достаточных признаков неприводимости, страдающих тем же недостатком, что и метод Эйзенштейна. Важно указать необходимый и достаточный признак, позволяющий для любого многочлена решить – приводим он или неприводим. Немецкий математик Леопольд Кронекер (1823 – 1891) разработал алгоритм, решающий эту задачу.
Слайд 334. Метод Кронекера.
Прежде всего вспомним (теорема 3), что достаточно
решить вопрос о приводимости над кольцом Z любого многочлена с
целыми коэффициентами.
Пусть f(x) - некоторый многочлен степени n>1 из кольца Z[x].
Если среди многочленов степени
из кольца Z[x] нет делителей многочлена f(x), то он неприводим над кольцом Z, в противном случае – приводим.
Идея метода Кронекера заключается в указании конечного множества многочленов степени s, среди которых находятся все делители многочлена f(x).
Слайд 344. Метод Кронекера.
Выберем произвольно целые, различные между собой числа
.
Тогда, если , то
для .
Таким образом, условия
необходимы для того чтобы многочлен g(x) степени s был делителем многочлена f(x).
Обозначим через di некоторые делители чисел f(αi) и построим многочлен , для которого
(**)
(*)
Слайд 353. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Для этого
достаточно решить относительно
cистему:
Можно доказать, что определитель этой системы
отличен от нуля. Значит система имеет единственное решение.
Т.к. каждое из чисел имеет конечное число делителей, то можно построить только конечное число систем вида (***) и, следовательно, существует только конечное множество многочленов g(x) степени s, для которых выполняются условия (*).
(***)
Слайд 363. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
В этом
множестве и находятся все возможные делители степени s для многочлена
f(x). Непосредственной проверкой убеждаются, имеются ли среди них делители f(x).
Проделав эту работу для всех
мы либо убедимся, что f(x) делителей не имеет, т.е. f(x) неприводим, либо находят делитель многочлена f(x) после чего та же работа проводится для делителя и частного.
В конечном счете f(x) в случае приводимости разлагается на неприводимые множители.
Слайд 373. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Хотя идея
метода Кронекера и проста, практически он в силу своей громоздкости
неприменим.
Пример. Установить методом Кронекера неприводимость многочлена
(неприводимость f вытекает из критерия Эйзенштейна).
Прежде всего надо показать, что f не имеет делителей первой степени.
Это достигается сравнительно легко: достаточно показать, что f не имеет рациональных корней.
Затем надо показать, что f не имеет квадратных делителей.
Слайд 383. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x].
Возьмем
Тогда:
f(0)=12
имеет делители
f(1)=16 имеет делители
f(-1)=8 имеет делители
То надо составить 12*10*8=960 систем
вида (***), решить их и убедиться, что все 960 многочленов не являются делителями f(x).
Слайд 394. Метод Кронекера.
В 1938-1940 гг. советский математик М. В.
Яковкин разработал новый метод полностью решающий вопрос о приводимости многочленов
в кольце Q[x]. Этот метод гораздо проще и эффективнее метода Кронекера.
![1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Пусть - некоторый многочлен из Q[x].Умножив его на](/img/thumbs/0bb68b68dd6ddefd4be3cec3e7622e51-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Пусть - некоторый")
![1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Пример 2. Найти рациональные корни многочлена f(x)=2x4-x3+3x2-x-12.◘ Имеем:](/img/thumbs/8fc9c860a14c59e0fd3eb7d4baf860a0-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Пример 2. Найти рациональные корни многочлена f(x)=2x4-x3+3x2-x-12.◘ Имеем:")
![1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Данные таблицы показывают, что рациональные корни многочлена f(x) находятся](/img/thumbs/8549e067c40255b92926497bb2a960b7-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Данные таблицы показывают,")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Прежде всего ясно, что многочлен f(x)Q[x], где deg f(x)>1,](/img/thumbs/ddde5f4aaecbf9a1fb1b84995e4d0052-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Прежде всего ясно,")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Для многочленов 2 и 3 степени этот признак приводимости](/img/thumbs/882e03fb1909fa4c27867b0c8ee609d0-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Для многочленов 2")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Итак, выше нами обоснована следующая теорема: Теорема 6. Многочлен](/img/thumbs/991351d3adfb44bbe9478ebd2f062cc2-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Итак, выше нами")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Теорема 7 (критерий Эйзенштейна).Многочлен f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn с целыми коэффициентами неприводим](/img/thumbs/143e2e0194fbae3613297f126fa20bc8-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Теорема 7 (критерий")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Предположим противное: все условия теоремы 7 выполняются, но f(x)](/img/thumbs/d449e9a964a0a9125e6fdd26224ddca2-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Предположим противное: все")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Пусть bk – первый коэффициент в g(x), который не](/img/thumbs/d5fdb9cfc18893d56dff20433f1e26fe-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Пусть bk –")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Пример 5. Многочлен неприводим над полем Q,](/img/thumbs/e91eb7eda71fc5dc32a9923d235f44d2-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Пример 5. Многочлен")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Напомним, что в C[x] неприводимы только многочлены первой степени,](/img/thumbs/fd9d5b3afad165e92f94a4f7ead9e114-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Напомним, что в")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Замечание 2. Результаты, полученные в этой главе, часто позволяют](/img/thumbs/dc2f80f0beb3ae934131cfb7a65fc4aa-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Замечание 2. Результаты,")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Если многочлен f(x)Q[x] имеет степень n>3, не имеет рациональных](/img/thumbs/fab7d00f3643f31c1bfd2d40ae1f1a9d-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Если многочлен f(x)Q[x]")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Для этого достаточно решить относительно cистему:Можно доказать, что](/img/thumbs/bba14933924cb4f3a47ed308c3c0f92a-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Для этого достаточно")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. В этом множестве и находятся все возможные делители степени](/img/thumbs/736113cb6e15975edda3a638c9ec1c1d-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. В этом множестве")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Хотя идея метода Кронекера и проста, практически он в](/img/thumbs/6b126eb9894a5454212ce0c67700a463-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. Хотя идея метода")
![3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. ВозьмемТогда: f(0)=12 имеет делителиf(1)=16 имеет делителиf(-1)=8 имеет делителиТо надо](/img/thumbs/e3a7e980c3f067b7d06496697113ebe0-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 3. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q[x]. ВозьмемТогда: f(0)=12 имеет")
![1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Составим таблицу:](/img/thumbs/d94a8504e574c1a5881e4ff8bad9a1a6-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Составим таблицу:")
![1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Составим таблицу:](/img/thumbs/2dd13a52caf89b8b0e6f748f2496494a-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Составим таблицу:")
![1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Составим таблицу:](/img/thumbs/506cb8c83550b150d428db628368c68b-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Составим таблицу:")
![1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Составим таблицу:](/img/thumbs/7f337f212277d35a82c6474c9d61f63a-800x.jpg "АЛГЕБРА (3-й семестр) 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q[x] Составим таблицу:")
