Слайд 1Алгебра
Кабанов Александр Николаевич
к.ф.-м.н., доцент кафедры кибернетики
Слайд 3Понятие матрицы
Числовой матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица
чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,
называются ее элементами. Через aij обозначается элемент, находящийся в i-й строке и j-м столбце.
В кратком виде такую матрицу записывают A = (aij).
Слайд 4Виды матриц
Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой матрицей.
Матрица,
состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой.
Матрица, состоящая
только из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.
Матрица называется квадратной n-го порядка, если число строк и число столбцов равны n.
Слайд 5Диагональ матрицы
Элементы квадратной матрицы вида aii называются диагональными. Совокупность всех
диагональных элементов называется главной диагональю матрицы.
Совокупность элементов квадратной матрицы порядка
n вида ai n+1-i называется побочной диагональю.
Если все недиагональные элементы матрицы равны 0, то матрица называется диагональной.
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной и обозначается E.
Слайд 6Треугольные и симметричные матрицы
Квадратная матрица, все элементы которой ниже (или
выше) диагонали равны 0, называется треугольной.
При этом матрица с нулями
ниже диагонали называется верхней треугольной, а с нулями выше диагонали называется нижней треугольной.
Квадратная матрица называется симметричной, если для всех ее элементов верно свойство: aij = aji.
Слайд 7Умножение числа на матрицу
Над матрицами можно проводить некоторые арифметические операции.
Умножение
числа на матрицу. Произведением числа k на матрицу A называется
матрица, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы A на число k. Другими словами, k·A = (k·aij).
Можно провести и обратную операцию, вынеся общий множитель всех элементов за матрицу.
Слайд 8Сложение и вычитание матриц
Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать.
Сложение
матриц. Суммой матриц A и B называется матрица, элементы которой
являются суммой соответствующих элементов этих матриц. Другими словами, A + B = (aij + bij).
Вычитание матриц. Разностью матриц A и B называется матрица, элементы которой являются разностью соответствующих элементов этих матриц. Другими словами, A – B = (aij – bij) = A + (–1)·B.
Слайд 9Умножение матриц
Матрицы можно умножать, если количество столбцов первой матрицы совпадает
с количеством строк второй матрицы.
Умножение матриц. Произведением матриц A и
B называется матрица, в которой элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.
Другими словами, если A·B = C, то
Слайд 10Умножение матриц
Замечание 1: Если матрица A имеет размер m x
n, а матрица B имеет размер n x k, то
матрица A·B имеет размер m x k.
Замечание 2: Произведение матриц не является коммутативной операцией.
Т.е. если произведение A·B существует, то произведение B·A может не существовать.
Если произведения A·B и B·A существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
Если матрицы A и B квадратные, то произведения A·B и B·A существуют и имеют одинаковый размер, но в общем случае A·B ≠ B·A.
Слайд 11Умножение матриц
Замечание 3: Умножение квадратной матрицы на единичную не меняет
первой, т.е. A·E = E·A = A.
Замечание 4: Произведение двух
ненулевых матриц может дать нулевую матрицу.
Слайд 12Возведение матрицы в степень
Возведение матрицы A в целую положительную степень
k сводится к произведению k одинаковых матриц A.
Дополнительно полагаем A0
= E, A1 = A.
Замечание 1: Возведение в степень ненулевой матрицы может дать нулевую матрицу.
Замечание 2: Возведение в степень определено только для квадратных матриц.
Слайд 13Транспонирование
Операция транспонирования матрицы является переходом к матрице, у которой строки
и столбцы меняются местами.
Транспонированная матрица A обозначается AT.
Замечание: Если матрица
A имеет размер m x n, то матрица AT имеет размер n x m.
Слайд 14Свойства транспонирования
(AT)T = A
(k·A)T = k·AT
(A + B)T = AT
+ BT
(A·B)T = BT·AT
Слайд 15Свойства сложения и умножения
A + B = B + A
(A
+ B) + C = A + (B + C)
k·(A
+ B) = k·A + k·B
A·(B + C) = A·B + B·C
(A + B)·C = A·C + B·C
(A·B)·C = A·(B·C)
k·(A·B) = (k·A)·B = A·(k·B)
Слайд 16Определитель
С каждой квадратной матрицей можно связать некоторое число, вводимое по
определенному правилу, которое отражает некоторые свойства матрицы и называется определителем.
Определитель
матрицы A обозначается |A|.
Квадратная матрица первого порядка состоит из одного единственного числа. Определителем квадратной матрицы порядка 1 назовем это самое число.
Т.о. |a11| = a11.
Слайд 17Определитель матрицы порядка 2
Для определителя матрицы второго порядка примем следующую
формулу:
Для определителя матрицы третьего порядка примем следующую формулу:
Слайд 18Миноры
Для введения формулы определителя матрицы произвольного порядка сначала введем понятие
минора.
Минором элемента aij квадратной матрицы A называется определитель матрицы, полученной
вычеркиванием из матрицы A i-й строки и j-го столбца. Такой минор обозначается Mij.
Алгебраическим дополнением элемента aij квадратной матрицы A называется минор Mij, взятый со знаком (–1)i+j. Такое алгебраическое дополнение обозначается Аij.
Слайд 19Определитель произвольного порядка
Определителем квадратной матрицы A порядка n называется сумма
произведений элементов первой строки матрицы A на их алгебраические дополнения.
Слайд 20Определитель произвольного порядка
Теорема (разложение определителя по строке/столбцу): Определитель квадратной матрицы
A порядка n равен сумме произведений элементов любой строки или
любого столбца матрицы A на их алгебраические дополнения.
Слайд 21Свойства определителей
Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом равен 0.
Умножение
определителя на число равносильно умножению какой-либо одной строки или какого-либо
одного столбца матрицы на это число.
При транспонировании матрицы величина определителя не меняется.
При перестановке двух любых строк или двух любых столбцов местами определитель меняет знак.
Слайд 22Свойства определителей
Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.
Определитель,
содержащий две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, равен 0.
Определитель
можно разложить на сумму определителей.
Слайд 23Свойства определителей
Представим матрицу A как набор строк:
Представим i-ю строку матрицы
как сумму двух строк Ai1 + Ai2.
Тогда
Слайд 24Свойства определителей
Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить
элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Определитель
произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.
Слайд 25Обратная матрица
Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной.
Квадратная матрица A–1
называется обратной к квадратной матрице A, если A·A–1 = A–1·A
= E.
Теорема (о существовании обратной матрицы): Обратная матрица существует и единственная тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденна.
Слайд 26Свойства обратных матриц
(A–1)–1 = A.
(A–1)T = (AT)–1.
(A–1)k = (Ak)–1.
|A–1| =1/|A|.
(AB)–1
= B–1A–1.
Слайд 27Обратная матрица
Транспонированная матрица, построенная из алгебраических дополнений элементов матрицы A,
называется присоединенной матрицей AP.
Теорема (о построении обратной матрицы): Обратная матрица
A-1 равна присоединенной AP, умноженной на число, обратное к определителю |A|.
Слайд 28Элементарные преобразования
Назовем элементарными преобразованиями матрицы A следующие преобразования:
Перестановка местами двух
строк (столбцов).
Умножение строки (столбца) на число.
Прибавление к одной строке (столбцу)
другой строки (столбца), предварительно умноженной на число.
Отбрасывание нулевой строки или столбца.
Транспонирование.
Слайд 29Построение обратной
Замечание: Ни одно из элементарных преобразований не может превратить
невырожденную матрицу в вырожденную.
Теорема: Любая невырожденная матрица путем элементарных преобразований
может быть сведена к единичной.
Идея данного способа построения обратной матрицы состоит в следующем: если какие-то элементарные преобразования превращают матрицу A в единичную, то те же самые преобразования превратят единичную матрицу в обратную A-1.
Слайд 30Алгоритм построения обратной
Составим из матрицы A новую расширенную матрицу, дописав
справа единичную: (A|E).
Применим к полученной расширенной матрице элементарные преобразования, превращающие
матрицу A в единичную.
В результате мы получим расширенную матрицу (E|A-1).
Замечания: Применяя элементарные преобразования строк к расширенной матрице (A|B), мы можем получить матрицу (E|A-1B).
Слайд 31Ранг матрицы
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров
этой матрицы.
Ранг матрицы A обозначается r(A) или rang(A).
Понятие ранга существует
для матриц любого размера (не обязательно квадратных).
Слайд 32Свойства ранга
Ранг нулевой матрицы равен нулю.
Ранг матрицы A размера m
x n не превосходит m и n. Другими словами: r(A)
≤ min(m,n).
Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен n тогда и только тогда, когда эта матрица невырождена. Другими словами: r(A) = n |A| ≠ 0.
Слайд 33Ступенчатая матрица
Главным элементом строки матрицы называется ее первый ненулевой элемент.
Матрица
называется ступенчатой, если главный элемент каждой строки этой матрицы расположен
правее, чем главные элементы предыдущих строк.
Утверждение: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Слайд 34Вычисление ранга
Теорема (о ранге матрицы): Элементарные преобразования не изменяют ранг
матрицы.
Таким образом, для вычисления ранга матрицы, ее можно привести к
ступенчатому виду. Число оставшихся ненулевыми строк и будет рангом.
Слайд 35Линейная зависимость
Пусть e1 = (a11 a12 … a1n), …, em
= (am1 am2 … amn) – матрицы-строки.
Строка e = λ1e1
+ … + λmem, где коэффициенты λ1, ..., λm – произвольные действительные числа, называется линейной комбинацией строк e1, ..., em.
Линейная комбинация, в которой все коэффициенты одновременно равны нулю, называется тривиальной.
Строки называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю.
Слайд 36Линейная зависимость
Теорема (о линейной комбинации строк матрицы): Строки матрицы линейно
зависимы тогда и только тогда, когда одна из них является
линейной комбинацией других.
Теорема (связь ранга с линейной независимостью): Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк (столбцов).
Теорема (о представлении строк в виде линейной комбинации): Каждая строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации линейно независимых строк матрицы.
Замечание: Все вышесказанное верно и для столбцов.
Слайд 37Базисный минор
Минор матрицы называется базисным, если он отличен от нуля,
а все миноры большего порядка равны нулю или не существуют.
Теорема
(связь ранга с базисным минором): Ранг матрицы равен порядку ее базисного минора.
Теорема (о базисном миноре): Строки (столбцы) матрицы, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любая строка (столбец) матрицы линейно выражается через строки (столбцы) из базисного минора.
Слайд 38Метод окаймляющих миноров
Пусть минор k-го порядка не равен нулю. Составляем
окаймляющие его миноры порядка k+1.
Если все полученные миноры равны нулю,
то ранг матрицы равен k.
Если найден хотя бы один минор, не равный нулю, то повторяем для него 1-й шаг.