чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,
называются ее элементами. Через aij обозначается элемент, находящийся в i-й строке и j-м столбце.В кратком виде такую матрицу записывают A = (aij).
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Алгебра Кабанов Александр Николаевич к.ф.-м.н., доцент кафедры кибернетики
Содержание
- 1. Алгебра Кабанов Александр Николаевич к.ф.-м.н., доцент кафедры кибернетики
- 2. 1. Матрицы
- 3. Понятие матрицыЧисловой матрицей размера m x n
- 4. Виды матрицМатрица, все элементы которой равны 0,
- 5. Диагональ матрицыЭлементы квадратной матрицы вида aii называются
- 6. Треугольные и симметричные матрицыКвадратная матрица, все элементы
- 7. Умножение числа на матрицуНад матрицами можно проводить
- 8. Сложение и вычитание матрицМатрицы одинакового размера можно
- 9. Умножение матрицМатрицы можно умножать, если количество столбцов
- 10. Умножение матрицЗамечание 1: Если матрица A имеет
- 11. Умножение матрицЗамечание 3: Умножение квадратной матрицы на
- 12. Возведение матрицы в степеньВозведение матрицы A в
- 13. ТранспонированиеОперация транспонирования матрицы является переходом к матрице,
- 14. Свойства транспонирования(AT)T = A(k·A)T = k·AT(A + B)T = AT + BT(A·B)T = BT·AT
- 15. Свойства сложения и умноженияA + B =
- 16. ОпределительС каждой квадратной матрицей можно связать некоторое
- 17. Определитель матрицы порядка 2Для определителя матрицы второго
- 18. МинорыДля введения формулы определителя матрицы произвольного порядка
- 19. Определитель произвольного порядкаОпределителем квадратной матрицы A порядка
- 20. Определитель произвольного порядкаТеорема (разложение определителя по строке/столбцу):
- 21. Свойства определителейОпределитель с нулевой строкой или нулевым
- 22. Свойства определителейОпределитель с двумя одинаковыми строками или
- 23. Свойства определителейПредставим матрицу A как набор строк:Представим
- 24. Свойства определителейОпределитель не изменится, если к элементам
- 25. Обратная матрицаМатрица, определитель которой равен 0, называется
- 26. Свойства обратных матриц(A–1)–1 = A.(A–1)T = (AT)–1.(A–1)k = (Ak)–1.|A–1| =1/|A|.(AB)–1 = B–1A–1.
- 27. Обратная матрицаТранспонированная матрица, построенная из алгебраических дополнений
- 28. Элементарные преобразованияНазовем элементарными преобразованиями матрицы A следующие
- 29. Построение обратнойЗамечание: Ни одно из элементарных преобразований
- 30. Алгоритм построения обратнойСоставим из матрицы A новую
- 31. Ранг матрицыРангом матрицы называется наивысший порядок отличных
- 32. Свойства рангаРанг нулевой матрицы равен нулю.Ранг матрицы
- 33. Ступенчатая матрицаГлавным элементом строки матрицы называется ее
- 34. Вычисление рангаТеорема (о ранге матрицы): Элементарные преобразования
- 35. Линейная зависимостьПусть e1 = (a11 a12 …
- 36. Линейная зависимостьТеорема (о линейной комбинации строк матрицы):
- 37. Базисный минорМинор матрицы называется базисным, если он
- 38. Метод окаймляющих миноровПусть минор k-го порядка не
- 39. Скачать презентанцию
1. Матрицы
Слайды и текст этой презентации
Слайд 3Понятие матрицы
Числовой матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица
В кратком виде такую матрицу записывают A = (aij).
Слайд 4Виды матриц
Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой матрицей.
Матрица,
состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой.
Матрица, состоящая
только из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.Матрица называется квадратной n-го порядка, если число строк и число столбцов равны n.
Слайд 5Диагональ матрицы
Элементы квадратной матрицы вида aii называются диагональными. Совокупность всех
диагональных элементов называется главной диагональю матрицы.
Совокупность элементов квадратной матрицы порядка
n вида ai n+1-i называется побочной диагональю.Если все недиагональные элементы матрицы равны 0, то матрица называется диагональной.
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны 1, называется единичной и обозначается E.
Слайд 6Треугольные и симметричные матрицы
Квадратная матрица, все элементы которой ниже (или
выше) диагонали равны 0, называется треугольной.
При этом матрица с нулями
ниже диагонали называется верхней треугольной, а с нулями выше диагонали называется нижней треугольной.Квадратная матрица называется симметричной, если для всех ее элементов верно свойство: aij = aji.
Слайд 7Умножение числа на матрицу
Над матрицами можно проводить некоторые арифметические операции.
Умножение
числа на матрицу. Произведением числа k на матрицу A называется
матрица, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы A на число k. Другими словами, k·A = (k·aij).Можно провести и обратную операцию, вынеся общий множитель всех элементов за матрицу.
Слайд 8Сложение и вычитание матриц
Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать.
Сложение
матриц. Суммой матриц A и B называется матрица, элементы которой
являются суммой соответствующих элементов этих матриц. Другими словами, A + B = (aij + bij).Вычитание матриц. Разностью матриц A и B называется матрица, элементы которой являются разностью соответствующих элементов этих матриц. Другими словами, A – B = (aij – bij) = A + (–1)·B.
Слайд 9Умножение матриц
Матрицы можно умножать, если количество столбцов первой матрицы совпадает
с количеством строк второй матрицы.
Умножение матриц. Произведением матриц A и
B называется матрица, в которой элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.Другими словами, если A·B = C, то
Слайд 10Умножение матриц
Замечание 1: Если матрица A имеет размер m x
n, а матрица B имеет размер n x k, то
матрица A·B имеет размер m x k.Замечание 2: Произведение матриц не является коммутативной операцией.
Т.е. если произведение A·B существует, то произведение B·A может не существовать.
Если произведения A·B и B·A существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
Если матрицы A и B квадратные, то произведения A·B и B·A существуют и имеют одинаковый размер, но в общем случае A·B ≠ B·A.
Слайд 11Умножение матриц
Замечание 3: Умножение квадратной матрицы на единичную не меняет
первой, т.е. A·E = E·A = A.
Замечание 4: Произведение двух
ненулевых матриц может дать нулевую матрицу.
Слайд 12Возведение матрицы в степень
Возведение матрицы A в целую положительную степень
k сводится к произведению k одинаковых матриц A.
Дополнительно полагаем A0
= E, A1 = A.Замечание 1: Возведение в степень ненулевой матрицы может дать нулевую матрицу.
Замечание 2: Возведение в степень определено только для квадратных матриц.
Слайд 13Транспонирование
Операция транспонирования матрицы является переходом к матрице, у которой строки
и столбцы меняются местами.
Транспонированная матрица A обозначается AT.
Замечание: Если матрица
A имеет размер m x n, то матрица AT имеет размер n x m.
Слайд 15Свойства сложения и умножения
A + B = B + A
(A
+ B) + C = A + (B + C)
k·(A
+ B) = k·A + k·BA·(B + C) = A·B + B·C
(A + B)·C = A·C + B·C
(A·B)·C = A·(B·C)
k·(A·B) = (k·A)·B = A·(k·B)
Слайд 16Определитель
С каждой квадратной матрицей можно связать некоторое число, вводимое по
определенному правилу, которое отражает некоторые свойства матрицы и называется определителем.
Определитель
матрицы A обозначается |A|.Квадратная матрица первого порядка состоит из одного единственного числа. Определителем квадратной матрицы порядка 1 назовем это самое число.
Т.о. |a11| = a11.
Слайд 17Определитель матрицы порядка 2
Для определителя матрицы второго порядка примем следующую
формулу:
Для определителя матрицы третьего порядка примем следующую формулу:
Слайд 18Миноры
Для введения формулы определителя матрицы произвольного порядка сначала введем понятие
минора.
Минором элемента aij квадратной матрицы A называется определитель матрицы, полученной
вычеркиванием из матрицы A i-й строки и j-го столбца. Такой минор обозначается Mij.Алгебраическим дополнением элемента aij квадратной матрицы A называется минор Mij, взятый со знаком (–1)i+j. Такое алгебраическое дополнение обозначается Аij.
Слайд 19Определитель произвольного порядка
Определителем квадратной матрицы A порядка n называется сумма
произведений элементов первой строки матрицы A на их алгебраические дополнения.
Слайд 20Определитель произвольного порядка
Теорема (разложение определителя по строке/столбцу): Определитель квадратной матрицы
A порядка n равен сумме произведений элементов любой строки или
любого столбца матрицы A на их алгебраические дополнения.
Слайд 21Свойства определителей
Определитель с нулевой строкой или нулевым столбцом равен 0.
Умножение
определителя на число равносильно умножению какой-либо одной строки или какого-либо
одного столбца матрицы на это число.При транспонировании матрицы величина определителя не меняется.
При перестановке двух любых строк или двух любых столбцов местами определитель меняет знак.
Слайд 22Свойства определителей
Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.
Определитель,
содержащий две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца, равен 0.
Определитель
можно разложить на сумму определителей.
Слайд 23Свойства определителей
Представим матрицу A как набор строк:
Представим i-ю строку матрицы
как сумму двух строк Ai1 + Ai2.
Тогда
Слайд 24Свойства определителей
Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить
элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Определитель
произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.
Слайд 25Обратная матрица
Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной.
Квадратная матрица A–1
называется обратной к квадратной матрице A, если A·A–1 = A–1·A
= E.Теорема (о существовании обратной матрицы): Обратная матрица существует и единственная тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденна.
Слайд 26Свойства обратных матриц
(A–1)–1 = A.
(A–1)T = (AT)–1.
(A–1)k = (Ak)–1.
|A–1| =1/|A|.
(AB)–1
= B–1A–1.
Слайд 27Обратная матрица
Транспонированная матрица, построенная из алгебраических дополнений элементов матрицы A,
называется присоединенной матрицей AP.
Теорема (о построении обратной матрицы): Обратная матрица
A-1 равна присоединенной AP, умноженной на число, обратное к определителю |A|.
Слайд 28Элементарные преобразования
Назовем элементарными преобразованиями матрицы A следующие преобразования:
Перестановка местами двух
строк (столбцов).
Умножение строки (столбца) на число.
Прибавление к одной строке (столбцу)
другой строки (столбца), предварительно умноженной на число.Отбрасывание нулевой строки или столбца.
Транспонирование.
Слайд 29Построение обратной
Замечание: Ни одно из элементарных преобразований не может превратить
невырожденную матрицу в вырожденную.
Теорема: Любая невырожденная матрица путем элементарных преобразований
может быть сведена к единичной.Идея данного способа построения обратной матрицы состоит в следующем: если какие-то элементарные преобразования превращают матрицу A в единичную, то те же самые преобразования превратят единичную матрицу в обратную A-1.
Слайд 30Алгоритм построения обратной
Составим из матрицы A новую расширенную матрицу, дописав
справа единичную: (A|E).
Применим к полученной расширенной матрице элементарные преобразования, превращающие
матрицу A в единичную.В результате мы получим расширенную матрицу (E|A-1).
Замечания: Применяя элементарные преобразования строк к расширенной матрице (A|B), мы можем получить матрицу (E|A-1B).
Слайд 31Ранг матрицы
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров
этой матрицы.
Ранг матрицы A обозначается r(A) или rang(A).
Понятие ранга существует
для матриц любого размера (не обязательно квадратных).
Слайд 32Свойства ранга
Ранг нулевой матрицы равен нулю.
Ранг матрицы A размера m
x n не превосходит m и n. Другими словами: r(A)
≤ min(m,n).Ранг квадратной матрицы n-го порядка равен n тогда и только тогда, когда эта матрица невырождена. Другими словами: r(A) = n |A| ≠ 0.
Слайд 33Ступенчатая матрица
Главным элементом строки матрицы называется ее первый ненулевой элемент.
Матрица
называется ступенчатой, если главный элемент каждой строки этой матрицы расположен
правее, чем главные элементы предыдущих строк.Утверждение: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Слайд 34Вычисление ранга
Теорема (о ранге матрицы): Элементарные преобразования не изменяют ранг
матрицы.
Таким образом, для вычисления ранга матрицы, ее можно привести к
ступенчатому виду. Число оставшихся ненулевыми строк и будет рангом.
Слайд 35Линейная зависимость
Пусть e1 = (a11 a12 … a1n), …, em
= (am1 am2 … amn) – матрицы-строки.
Строка e = λ1e1
+ … + λmem, где коэффициенты λ1, ..., λm – произвольные действительные числа, называется линейной комбинацией строк e1, ..., em.Линейная комбинация, в которой все коэффициенты одновременно равны нулю, называется тривиальной.
Строки называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю.
Слайд 36Линейная зависимость
Теорема (о линейной комбинации строк матрицы): Строки матрицы линейно
зависимы тогда и только тогда, когда одна из них является
линейной комбинацией других.Теорема (связь ранга с линейной независимостью): Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк (столбцов).
Теорема (о представлении строк в виде линейной комбинации): Каждая строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации линейно независимых строк матрицы.
Замечание: Все вышесказанное верно и для столбцов.
Слайд 37Базисный минор
Минор матрицы называется базисным, если он отличен от нуля,
а все миноры большего порядка равны нулю или не существуют.
Теорема
(связь ранга с базисным минором): Ранг матрицы равен порядку ее базисного минора.Теорема (о базисном миноре): Строки (столбцы) матрицы, входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любая строка (столбец) матрицы линейно выражается через строки (столбцы) из базисного минора.
Слайд 38Метод окаймляющих миноров
Пусть минор k-го порядка не равен нулю. Составляем
окаймляющие его миноры порядка k+1.
Если все полученные миноры равны нулю,
то ранг матрицы равен k.Если найден хотя бы один минор, не равный нулю, то повторяем для него 1-й шаг.
