Алгоритмы генерирования перестановок. Алгоритмы генерирования множества всех

множеств, разбиение множества

(действительно, на первое место можем поставить любое из k чисел,

на второе - любое из оставшихся k-1 и т.д.).
Идея алгоритма:
Рекурсия. На j-м шаге в строку, содержащую j-1 символ вставляем символ, равный j. Причем ставим его на все места от 1 до j-го. Останавливаемся, когда в строке станет k элементов.

натуральных чисел. К вводит пользователь.

строку. На данный момент, в строке n-1 символ}
var i:integer;

st1,st:stroka;
begin
if n=k+1 then {В строке n символов, она сформирована, выводим на экран}
begin
writeln(s); exit;
end

to n do {Вставляем символ n в строку на

i-е место (от 1 до n)}
begin
st:=s; {Копируем строку s во вспомогательную переменную st}
str(n,st1); {Переводим цифру n в строку st1}
insert(st1,st,i); {Вставляем строку st1 в строку st}
perest(n+1,st); {Вызываем процедуру perest для следующей цифры n+1}
end;
end;
Begin {Начало основной программы}
writeln(‘Введите k‘); readln(k);
perest(1,''); {Изначально вызываем процедуру для элемента 1, вставляем его в пустую строку}
readln;
end.

S, состоящее из элементов a1, a2, ..., aN, т.е. S

= {a1, a2, ..., aN} Для простоты можно считать, что a1, .. aN - это различные целые числа от 1 до N. Подмножеством данного множества S называется множество S', которое содержит некоторые элементы из S (не обязательно все). У множества из N элементов будет ровно 2N различных подмножеств.

0 до 2N - 1 = 7 в двоичной системе

счисления:
0 – 000
1 – 001
2 – 010
3 – 011
4 – 100
5 – 101
6 – 110
7 – 111
Если на i-той позиции в двоичной записи стоит 1, то i-тый элемент входит в подмножество, иначе — не входит. Поэтому данный алгоритм можно реализовать так:

множества (тип может быть любым)}
procedure Generate(x:longint; p:integer); {В процедуре генерируется

одно подмножество исходного множества, для этого число x переводится в двоичную систему счисления и на экран выводятся только те элементы множества (массива a), на месте которых в двоичной записи числа x стоит 1}
begin
write('{'); {Открываем скобку означающую начало подмножества}
while x<>0 do {Пока число не равно 0}
begin

'); {Находим значение цифры в двоичной записи числа путем нахождения

остатка от деления числа на 2. Если полученная цифра равна 1, то выводим элемент массива a стоящий на соответствующем месте, начиная от последнего}
Dec(p); {Уменьшаем на 1 номер текущего элемента массива}
x:=x div 2;
end; {Конец цикла пока число x не равно 0}
Writeln('}'); {Подмножество сгенерировано, закрываем скобку}
end; {Конец процедуры Generate}
Begin {Начало основной программы}
writeln(‘Vvedite kol. el. v mnoj’);
Readln(n);

read(a[i]);
kol:=1 shl n; {Операция shl (побитовый сдвиг влево)

умножает число, стоящее слева на 2 в степени числа стоящего справа. Т.е. переменной kol присваивается значение 2 в степени n (число различных подмножеств множества из n элементов) }
for i:= 0 to kol-1 do {Все числа от 0 до 2n - 1}
Generate(i,p); {Переводим в двоичную систему счисления и выводим в качестве очередного подмножества все элементы исходного множества, на позициях которых в двоичной записи числа стоят 1}
Readln;
end.

(m), причем порядок не важен.
Из курса комбинаторики известно, что

число сочетаний из n по m равно n!/(m! * (n - m)!).
Будем выводить все сочетания в лексикографическом порядке.
В данном примере исходное множество состоит из первых n натуральных чисел. Если рассматривать их как индексы массива, то можно обобщить этот алгоритм на любое множество.

элемента, увеличиваем его на 1 и выводим измененный массив, продолжаем

действовать таким образом до тех пор, пока данный элемент не примет свое максимальное значение (для последнего элемента n, для предпоследнего n-1, …, для первого n-m+1). Затем переходим к предыдущему элементу и увеличиваем его на 1, а все элементы, расположенные после него, становятся на единицу больше своих предшественников (располагаются по порядку). Например, для n=5, m=3:
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345

текущего сочетания}
n,m,i,j: integer;
begin
writeln(‘Vvedite n,m’);
readln(n, m);

for i:=1 to m do s[i]:=i; { Заполняем сочетание числами от 1 до m }
while true do {Бесконечный цикл}
begin
for i:=1 to m do write(s[i],' '); {Выводим текущее сочетание}
writeln;
i := m; {Начинаем с последнего элемента сочетания}

не исчерпаны все элементы сочетания и i-й элемент принимает свое

максимально возможное значение, то переходим к предыдущему элементу}
if i=0 then break; {Если все элементы сочетания принимают свои максимально возможные значения, то все сочетания сгенерированы. Выходим из бесконечного цикла}
inc(s[i]); {Увеличиваем на 1 найденный элемент, который еще не достиг своего максимального значения}
for j:=i+1 to m do s[j]:=s[j-1]+1; {Все элементы, расположенные после него, становятся на единицу больше своих предшественников}
end; {Конец бесконечного цикла}
readln;
end.

объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.
Так как в каждом

из разбиений участвуют все элементы исходного множества, будем в массиве индексов p записывать в какой блок попадает каждый из элементов в текущем разбиении.

var p:mas);
var i,j,imax:integer;
begin
imax:=1; {Определяем количество блоков в разбиении}
for

i:=1 to n do
if p[i]>imax then imax:=p[i];
for i:=1 to imax do {Проходим по всем блокам данного разбиения}
begin

to n do {Просматриваем все элементы}
if

p[j]=i then write(a[j],' '); {Если элемент принадлежит i-му блоку то выводим его на экран}
write('} ') {Блок напечатан}
end;
writeln; {Разбиение напечатано}
end;
procedure razb(i, j: integer); {i- рассматриваемый элемент}
var l: integer; {j- количество блоков в разбиении}
Begin {р - массив пометок, принадлежности к блоку разбиения}
if i>n then vivod(n, p) {Если рассматриваемый элемент больше, чем общее число элементов в множестве, то разбиение сформировано, выводим его}
else

блоки}
begin
p[i] := l; {Ставим i-й

элемент в l-й блок, l=1,..,j}
if l=j then razb(i+1, j+1) {Если i-й элемент вставили в последний блок, то переходим к следующему элементу i+1 и добавляем новый блок j+1}
else razb(i+1, j) {в противном случае переходим к следующему элементу i+1 не добавляя новый блок}
end;
end;
 begin
writeln(‘Vvedite kol. el. v mnoj’);
readln(n);

read(a[i]);
razb(1,1);
readln;
end.

перестановок. Алгоритмы генерирования множества всех подмножеств, к-элементных множеств, разбиение множества»

на основе презентации.
2. Комбинаторика для программистов. Липский В. М.: «Мир», 1988, стр. 10-54.