Автор: учитель математики высшей категории Молодых Елена Николаевна МКОУ

район
Алтайский край

МАТЕМАТИКА
2017
ЗАДАНИЕ №19

5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число.

Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа.

РЕШЕНИЕ

кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите

какое-нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ

большее 500, которое при делении на 4, на 5 и

на 6 дает в остатке 2, и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число

РЕШЕНИЕ

числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В

ответе укажите ровно одно такое число.

РЕШЕНИЕ

в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось

на 18. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

РЕШЕНИЕ

числа, большего 500, которое при делении на 8 и на

5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

РЕШЕНИЕ

цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится

на 16.

РЕШЕНИЕ

кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе

укажите ровно одно такое число.

РЕШЕНИЕ

которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на

45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Укажите наибольшее такое число.  

РЕШЕНИЕ

сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится

на 3, но не делится на 9.

РЕШЕНИЕ

большее 600, которое при делении на 4, на 5 и

на 6 дает в остатке 3, и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

РЕШЕНИЕ

три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27.

В ответе укажите получившееся число. 

РЕШЕНИЕ

его последняя цифра или 0, или 5. Но так как

при записи в обратном порядке цифры также образуют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число не может начинаться с 0. Пусть число имеет вид  . Тогда условие можно записать так:
1000a + 100b + 10c + 5 – (5000 + 100c + 10b + a) = 1458
999(a – 5) + 90(b – c) = 1458 
Второе слагаемое в левой части делится на 10. Значит, за разряд единиц в сумме отвечает только первое слагаемое. То есть 9(a-5)mod10 = 8. Откуда a = 7 . 
Подставив полученное значение в уравнение, получим, что 90(b – c) = -540, b – c = -6. Перебрав все пары b и с, которые являются решением этого равенства, выпишем все числа, являющиеся ответом: 7065, 7175, 7285, 7395

кратно 18, оно кратно 2, 9, 3,

6: то есть оно должно быть четным и сумма его цифр должна быть кратна 9. Таким образом d - четное, a + b + c + d делится на 9, a·b·c·d = 24. Произведения цифр могут быть представлены в виде 4·6, 8·3. Числа, удовлетворяющие данным условиям: 3222, 2322, 2232

4 число даёт в остатке 2, следовательно, оно чётное. Поскольку

число при делении на 5 даёт в остатке 2, то оно может оканчиваться на 2 или на 7. Таким образом, число обязательно должно заканчиваться цифрой 2.
Подбором находим, что условию задачи удовлетворяют числа 662 и 722.

вид  . Тогда условие записывается так: 

Можно заметить, что если  , то равенство никогда не выполняется. Когда есть хотя бы две единицы, оно так же не выполняется. Значит, среди данных чисел может быть лишь одна единица. Тогда другие две цифры — 2 и 3. Из этого набора можно составить только два числа, которые делятся на 4: 132 и 312.

на 18, то оно также делится на 9 и на

2. Число должно быть чётным, для этого вычеркнем цифру 7, получим 8541762. Посчитаем сумму цифр — 33. Для того, чтобы число делилось на девять необходимо, чтобы сумма цифр была кратна девяти. Можно вычеркнуть цифры 5 и 1, получив число 84762, либо вычеркнуть цифры 4 и 2 и получить число 85176. Также возможно вычеркнуть цифры 7 и 8 и получить число 54162.
Ответ: 84762, 85176 или 54162.

8 число имеет одинаковые остатки. Оно будет иметь тот же

остаток и при делении на 40. Этот остаток больше нуля и меньше пяти. Пусть наше число имеет вид  , тогда имеем:


Заметим, также, что искомое число должно быть чётным.
Переберём все варианты: 564, 684.

25 на слагаемые:

25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.
Квадрат числа делится на 16, значит, само число делится на 4. Это значит, что оно как минимум заканчивается на чётную цифру. То есть первый набор отпадает, так как в нём таковых нет. Из второго мы можем составить числа 988 и 898. Первое число удовлетворяет условиям задачи.

заметить, что если среди цифр есть хотя бы две единицы,

то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения. То же самое, если единиц нет вообще. В этом случае произведение будет слишком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно одна единица. Число делится на 4, значит, последняя цифра чётная, а это значит, что произведение тоже чётное. А значит, и сумма. И так как последняя цифра чётная, то оставшиеся две цифры должны быть одной чётности. А так как мы выяснили, что среди цифр есть ровно одна единица, то эти числа нечётные. Под эти ограничения подходят числа: 132, 136, 152, 156, 172, 176, 192, 196, 312, 316, 512, 516, 712, 716, 912, 916, из которых удовлетворяют всем условиям только
числа 132 и 312.

на 5 и на 9, то это число делится и

на 45.Вспомним признаки делимости на 5 — число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5). Вспомним признак делимости на 9 — число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Отсюда следует, что последняя цифра числа — 5, а сумма цифр должна быть: 9, 18, 27... Сумма цифр в нашем числе не может быть равна 9, но может быть равна 18. Поэтому условию удовлетворяют все числа, записываемые тремя единицами и тремя пятёрками, на последнем месте в записи которых стоит пять: 111555, 151515, ... Наибольшим из них является число 551115.

20 на слагаемые различными способами:
20 = 9 +

9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 =
8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.
При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число,
записанное цифрами 5, 7 и 8,
например, число 578.

число даёт в остатке 3, следовательно, оно нечётное. Поскольку число

при делении на 5 даёт в остатке 2, то оно может оканчиваться на 2 или на 8. Таким образом, число обязательно должно заканчиваться цифрой 3.
Подбором находим, что условию задачи удовлетворяют числа 963 и 843.

27, тогда оно делится на 3 и на 9. Число

делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. Заметим, что, если число делится на 9,то оно делится и на 3. Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вычеркнув числа 2, 4 и 6 получим, число, сумма цифр которого равна девяти. Девять делится на девять.
  Ответ: 135.

по ВР

школа – лицей №4 г.Рудный
http://pedsovet.su/load/412-1-0-45829
2. Задания: http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege
3. Рисунки: ЕГЭ http://teplystan.mos.ru/upload/medialibrary/c52/egeh.png
Сова http://sch-53.ru/files/teacher_24/sova.png