Числовые неравенства

стороны от знака неравенства находятся числа или числовые выражения.
Решить неравенство - значит

указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.

aa>b
a≤b
a≥b

вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам

это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел:
Определение.
число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.
Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:
Определение.
число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.
Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств.

Свойства числовых неравенств

неравенства aa  неверные.
Действительно, известно, что для любого числа a выполняется равенство a−a=0, откуда в

силу разностного определения равных чисел следует равенство a=a. Следовательно, aa – неверные неравенства.
Например, 3<3- неверное неравенство.

Основные свойства

Свойство антирефлексивности

его, обратившись к данному выше определению отношений «больше» и «меньше».

Начнем с первой части. Так как aa. Аналогично доказывается и вторая часть рассматриваемого свойства.
Приведем пример: из неравенства 5<11 вытекает, что 11>5, а числовое неравенство −0,27>−1,3 можно переписать как −1,3<−0,27.

его первое утверждение. Условия a

а это есть отрицательное число как сумма двух отрицательных чисел a−b и b−c, что следует из правила сложения отрицательных чисел. Таким образом, a−c – отрицательное число, откуда следует, что aПокажем примеры применения разобранного свойства неравенств. Например, из неравенств −1<5 и 5<8 можно заключить, что −1<8