CONTROL AUTOMATICO

del Pozo L.

relativa y el criterio de Nyquist
Respuesta de frecuencia de circuito

cerrado
Estabilidad de los sistemas de control con atraso de tiempo

FIEC

de un sistema en función a su respuesta a la

frecuencia
En base de su respuesta a la frecuencia se obtendrá información sobre su estabilidad relativa del sistema y la manera de mejorarla
En 1932, Nyquist desarrolló un criterio con el que se analiza la estabilidad del sistema, tanto absoluta como relativa, a partir de su respuesta a la frecuencia

un criterio con el que se analiza la estabilidad del

sistema, tanto absoluta como relativa, a partir de su respuesta a la frecuencia
Sea F(s) la función de transferencia de un sistema




El sistema es estable o no, estabilidad absoluta, en función de la ausencia o existencia de polos ubicados en el semiplano derecho del Plano Complejo
En forma general:

“s” en el Plano s de tal forma que genere

un recorrido cerrado “Gs” que abarque todo el semiplano derecho (“Recorrido de Nyquist”) y si F(s) tiene polos y ceros ubicados en ese semiplano, la transformación conforme de F(s) generará un contorno cerrado “GF” que encerrará el origen del Plano Complejo un número equivalente a la diferencia de ceros menos polos ubicados a la derecha del Plano s
Por ejemplo:
F(s) = 1/(s+p1)(s+p2)(s+p3)
F(s) tiene 2 polos en el semiplano de la derecha: P = 2; y ningún cero: Z = 0; el sistema es inestable.
En el Plano Complejo, el ángulo total de F(s) produce 2 circulamientos en dirección CMR, N = -2. que también ponen de manifiesto que el sistema es inestable.
Para que el sistema sea estable, no debe haber polos de F(s) en el semiplano de la derecha; o dicho de otra manera, N debe ser igual a Z; en nuestro caso: P ¹ 0 y N ¹ Z; el sistema es inestable.

comprobado con esto es algo trivial, puesto que si sé

la ubicación de las raíces de la Ecuación Característica, sabré su estabilidad absoluta.




De la Ecuación Característica conozco sus polos que equivalen a los polos de lazo abierto, pero no sus ceros que corresponden a las raíces de la Ecuación Característica.



Pero si ahora en lugar de hacer el análisis de q(s), Ecuación Característica, lo hacemos a H(s)G(s) que representa la “Función de Transferencia de Lazo Abierto” de la cual si conozco tanto sus ceros como sus polos, tendré:


Este cambio implica que en lugar de tomar en cuenta los circulamientos del origen del plano complejo, ahora tomaremos en cuenta los circulamientos al punto (-1 j 0)

que todos los polos de la Función de Transferencia de

Lazo Cerrado “T(s)” deben encontrarse en el semiplano de la izquierda del plano “s”; o dicho de otra manera los ceros (sus raíces) de la Ecuación Característica “q(s)”

ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

recorrido cerrado Gs en el sentido de las manecillas del

reloj que encierre todo el semiplano de la derecha
La transformación conforme para GH(s) genera también un recorrido cerrado GGH en el plano complejo
Se establece si el recorrido GGH encierra o no el punto (-1 j0), y si lo hace, establecer el valor de N que es el número de veces del circulamiento y su dirección, positivo si es en el sentido del reloj y negativo si CMR
Puesto que conozco el número de polos P de GH(s) encerrados en Gs y el valor de N de los circulamientos del punto (-1 j0) del gráfico conforme de GH(s), puedo obtener Z que corresponderá al número de ceros (raíces) de q(s) encerrados en Gs

Para que el sistema sea estable es indispensable que: “Z = 0”, o lo que es lo mismo: “N = - P”

criterio de estabilidad de Nyquist a un sistema en que

su función de transferencia de lazo tiene tres polos, uno en el origen, otro en –1/t1 y otro en –1/t2. . Ejemplo 9.3

Selecciono un recorrido cerrado Gs en el sentido de las manecillas del reloj que encierre todo el semiplano de la derecha
Identifico los puntos: a, b, c, d, e, f, g, h
Nota: observe que el recorrido Gs no pasa por encima del polo en el origen debido a que es un punto singular de GH(s)
Genero la transformación conforme de esos puntos para GH(s), que serán puntos del recorrido cerrado GGH

criterio de estabilidad de Nyquist a un sistema en que

su función de transferencia de lazo tiene tres polos, uno en el origen, otro en –1/t1 y otro en –1/t2. Ejemplo 9.3
El recorrido GGH se formará uniendo los puntos escogidos
El segmento “h-a” se genera cuando “s” se convierte en “-jw” y el segmento “c-d” cuando “s=jw”
Se observa que tanto el segmento “c-d” como el “h-a” deben cruzar el eje real negativo

criterio de estabilidad de Nyquist a un sistema en que

su función de transferencia de lazo tiene tres polos, uno en el origen, otro en –1/t1 y otro en –1/t2. Ejemplo 9.3
Se observa que tanto el segmento “c-d” como el “h-a” ocurren cuando s = jw, eje imaginario del Plano “s”.
Para investigar la forma del segmento del circulamiento de GGH que corresponde a los segmentos “c-d” como el “h-a”, se puede usar un bosquejo del gráfico de Bode correspondiente

El cruce de GGH con el eje real negativo ocurre cuando: /GH(w)w=wcg=-180o
Dicho de otra manera, cuando: Im{GH(w)} w=wcg=0

que tanto el segmento “c-d” como el “h-a” deben cruzar

el eje real negativo
Para investigar en forma analítica este punto tenemos:







La estabididad absoluta del sistema depende del valor de la parte real de GH(w) referente a (-1 j0)

Nyquist utilizando MATLAB. Ejemplo 9.3

criterio de estabilidad de Nyquist a un sistema que posee

un cero en el semiplano de la derecha y dos polos iguales en el semiplano de la izquierda. Ejercicio 9.6

Selecciono un recorrido cerrado Gs en el sentido de las manecillas del reloj que encierre todo el semiplano de la derecha
Identifico los puntos: a, b, c, d, e, f
Genero la transformación conforme de esos puntos para GH(s), que serán puntos del recorrido cerrado GGH
El segmento “a-b” se genera cuando “s” se convierte en “+jw” y el segmento “f-a” cuando “s=-jw”

Nyquist
Aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist a un sistema

que posee un cero en el semiplano de la derecha y dos polos iguales en el semiplano de la izquierda. Ejercicio 9.6
El segmento “a-b” se genera cuando “s” se convierte en “+jw” y el segmento “f-a” cuando “s=-jw”
Del análisis asintótico para los ángulos, al variar la frecuencia desde un valor muy pequeño hasta un valor muy grande, el cero tendría una variación de 180o a 90o y los dos polos de 0o a -180o
De la combinación del análisis asintótico, el ángulo variaría de 180o a –900 pasando por los ángulos 90o y 0o
Por esta razón, el recorrido GGH para el rando de 0

criterio de estabilidad de Nyquist a un sistema que posee

un cero en el semiplano de la derecha y dos polos iguales en el semiplano de la izquierda. Ejercicio 9.6
Diagrama de Nyquist utilizando MATLAB, para valores de K=0.4(azul), 0.5(verde), 0.6(rojo)
Situación: estable (N=0, Z=0), crítica, inestable (N=1, Z=1); P=0

Nyquist proporciona una información adecuada relacionada con la estabilidad absoluta
Nyquist

define la estabilidad absoluta en términos de los circulamientos al punto (-1 j0) del plano complejo
La proximidad del gráfico polar de GH(jw) al punto (-1 j0) es una medida de la estabilidad relativa del sistema
La ganancia del sistema produce alteraciones al gráfico polar de GH(jw), de tal manera de alejarse o acercarse al punto (-1 j0), introduciendo el criterio de un mejor o peor margen para la estabilidad; es decir, una idea de estabilidad relativa
Dada la dominancia de los sistemas de segundo orden, se establecerá una relación entre la respuesta a la frecuencia y su comportamiento dinámico en el dominio del tiempo

ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

objeto de ilustrar los conceptos referente a la estabilidad relativa

tomaremos el caso del ejercicio 9.3
Diagrama de Nyquist utilizando MATLAB, para valores de K=4(azul), 6(verde), 8(rojo)

ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

el criterio de Nyquist
Con el objeto de ilustrar los conceptos

referente a la estabilidad relativa tomaremos el caso del ejercicio 9.3
Diagrama de Nyquist utilizando MATLAB, para valores de K1=2, K2=4, K3=6

Para valores de ...Esta medida se conoce como “Margen de Ganancia”
El “Margen de Ganancia”, es el factor por el que se debe aumentar el valor de K para que el gráfico polar de GH(jw) pase por el punto (-1 j0)
El “Margen de Ganancia”, es el recíproco de la ganancia |GH(jw)| evaluada en wcg; esto es: 1/ |GH(jw)|.

el criterio de Nyquist
Con el objeto de ilustrar los conceptos

referente a la estabilidad relativa tomaremos el caso del ejercicio 9.3
Diagrama de Nyquist utilizando MATLAB, para valores de K1=2, K2=4, K3=6

Una medida alterna de la estabilidad relativa puede definirse en términos del margen del ángulo de fase entre el sistema actual y su caso marginalmente estable
Esta medida se conoce como “Margen de Fase”
El “Margen de Fase”, es el ángulo de fase a través del cual debe girar el gráfico polar de GH(jw) , en “wcp”, para que pase por el punto (-1 j0)
El “Margen de Fase”, es igual a la fase adicional que se necesita antes de que el sistema se vuelva inestable

el criterio de Nyquist
Con el objeto de ilustrar los conceptos

referente a la estabilidad relativa tomaremos el caso del ejercicio 9.3
El “Margen de Ganancia” y el “Margen de Fase” se pueden calcular fácilmente a partir de los gráficos de Bode de GH(jw)
Se debe representar el punto crítico (-1 j0) en el diagrama de Bode. La magnitud “1” equivale al eje “0db” en el gráfico de Bode de magnitud y el ángulo equivale al ángulo -180° o + 180° en el gráfico de Bode de fase.

un sistema de segundo orden
Dada la gran importancia de los

sistemas de segundo orden (puesto que muchos sistemas pueden ser aproximados a uno de este tipo), se establecerá una relación entre la respuesta a la frecuencia y su comportamiento dinámico en el dominio del tiempo
Se encontrará una vinculación entre el Margen de Fase y la Constante de Amortiguamiento
La función de transferencia de lazo GH(jw) para un sistema de segundo grado es:



La expresión correspondiente a la fase y magnitud:

un sistema de segundo orden
Se encontrará una vinculación entre el

Margen de Fase y la Constante de Amortiguamiento
La expresión correspondiente al Margen de Fase debe ser evaluado en el valor de “wcp” que es el valor de la frecuencia en la que |GH(wcp)|=1
La aproximación lograda para el “coeficiente de amortiguamiento” nos permite la vinculación al dominio de tiempo

circuito cerrado
Ancho de Banda del sistema
El Ancho de Banda de

un sistema de realimentación de lazo cerrado nos proporciona una excelente medida de la fidelidad de su respuesta
En sistemas de lazo cerrado, en los que la magnitud para bajas frecuencias asintóticamente es 0 db, el Ancho de Banda es la frecuencia “wBP” en donde la curva de la magnitud es –3 db


La velocidad de respusta de un sistema de lazo cerrado será proporcional a “wBP”
El tiempo de estabilización “Ts” de un sistema de lazo cerrado es inversamente proporcional a “wBP”

circuito cerrado
Ancho de Banda del sistema
Sección 9.6. Consideraremos dos sistemas

de lazo cerrado de segundo orden que tienen igual coeficiente de amortiguamiento. Observaremos sus respuestas al escalón unitario

sistema
Observe que ambos sistemas tienen igual Mpw debido a igual

coeficiente de amortiguamiento

Respuesta de frecuencia de circuito cerrado

circuito cerrado
Ancho de Banda del sistema
Consideraremos dos sistemas de lazo

cerrado de segundo orden que tienen igual coeficiente de amortiguamiento.
Respuesta al escalón unitario
Observe el Ts
Verde: Ts = 0.26
Azul: Ts = 0.80

muchos sistemas de control que tienen un atraso de tiempo

dentro del circuito cerrado
Se presenta en aquellos sistemas en donde se mueve un material que necesita un tiempo finito para pasar de un punto a otro
El atraso de tiempo afecta a la estabilidad del sistema
El efecto del atraso de tiempo es conveniente visualizarlo con el método de Nyquist debido a que no afecta a la curva de la magnitud solo altera la curva de la fase

ESTABILIDAD EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Por ejemplo en un sistema de control de una laminadora
Se produce un retardo “T” debido al tiempo que transcurre en desplazar la lámina, que se mueve a una velocidad constante “v”, entre el punto donde los cilindros realizan el cambio de espesor y la ubicación del sensor de espesor ubicado a una distancia “d”.

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Por ejemplo en un sistema de control de una laminadora
Se produce un retardo “T” debido al tiempo que transcurre en desplazar la lámina, que se mueve a una velocidad constante “v”, entre el punto donde los cilindros realizan el cambio de espesor y la ubicación del sensor de espesor ubicado a una distancia “d”.

FIEC

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Por ejemplo en un sistema de control del nivel de un tanque. Ejemplo 9.9
Se produce un retardo “T” entre el ajuste de la válvula y la salida del fluido que fluye con un caudal de “q=5m3/s”, la sección transversal del tubo es 1 m2 y la distancia “d=5 m”. Por lo tanto: T=1 s

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Por ejemplo en un sistema de control del nivel de un tanque. Ejemplo 9.9a
Se produce un retardo “T” entre el ajuste de la válvula y la salida del fluido que fluye con un caudal de “q=5m3/s”, la sección transversal del tubo es 1 m2 y la distancia “d=5 m”. Por lo tanto: T=1 s

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Por ejemplo en un sistema de control del nivel de un tanque. Ejemplo 9.9
Se produce un retardo “T” entre el ajuste de la válvula y la salida del fluido que fluye con un caudal de “q=5 m3/s”, la sección transversal del tubo es 1 m2 y la distancia “d=5 m”. Por lo tanto: T=1 s
Para efecto de cálculo, el retardo lo representaremos mediante la Función de “Pade”. En nuestro caso usaremos la aproximación de segundo orden

de control con atraso de tiempo
Sistema de control del nivel

de un tanque.
Ajustar K de tal forma que el MF = 30º
Ejemplo 9.9b

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Compensación del retardo mediante el método del “Predictor de Smith”
La Función de Transferencia en Lazo Cerrado de un sistema con retardo Tcr(s) es:

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Compensación del retardo mediante el método del “Predictor de Smith”
Se desea transformar el sistema de tal manera que su Función de Transferencia sea:

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Compensación del retardo mediante el método del “Predictor de Smith”
Se desea transformar el sistema de tal manera que su Función de Transferencia sea:

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Compensación del retardo mediante el método del “Predictor de Smith”
La Función de Transferencia en Lazo Cerrado con retardo.
Ejemplo 9.9c

de control con atraso de tiempo
Existen muchos sistemas de control

que tienen un atraso de tiempo dentro del circuito cerrado
Compensación del retardo mediante el método del “Predictor de Smith”
La Función de Transferencia en Lazo Cerrado con retardo.
Ejemplo 9.9c

Gs(jw) se dispone:
Respuesta a la frecuencia de Gs(jw).
Respuesta al escalón

unitario de Gs(jw).
Su controlador es PD, en el que Tv = 0.1 s.
Ajustar KR de tal manera que el Margen de Magnitud sea 3.
Encuentre Gs(jw)

de Bode de magnitud de Gs(jw) se puede reconocer que

se trata de un sistema de “Primer Orden”.
Del gráfico de respuesta al escalón se observa que el sistema tiene retardo.
Del gráfico de fase de Gs(jw), para frecuencias muy altas, el ángulo es asintótico a -270º; por lo tanto, según Pade, el retardo debe ser de primer orden puesto que contribuye con - 180º.
El retardo contribuirá en w = 2/T con - 90º al gráfico del ángulo del sistema de primer orden.

del ángulo, cuando w = 2 el ángulo de Gs(jw)

» -170º; por lo tanto:

PD, en el que Tv = 0.1 s.
Ajustar KR de

tal manera que el Margen de Magnitud sea 3.
El ángulo de de la Función de Transferencia de Lazo Abierto debe ser -180º cuando la frecuencia es wcg, en ese valor de la frecuencia se deberá evaluar el Margen de Ganancia deseado.









Utilizando Matlab se puede encontrar el valor de la frecuencia wcg

>> w=solve('atan(0.1*w)-atan(2*w)-2*atan(0.535*w)+pi','w')
w =
3.00078

PD, en el que Tv = 0.1 s.
Ajustar KR de

tal manera que el Margen de Magnitud sea 3.
La frecuencia de cruce wcg también se la puede encontrar gráficamente y se encuentra cuando el ángulo de la Función de Transferencia de Lazo Àbierto es igual a -180º.

PD, en el que Tv = 0.1 s.
Ajustar KR de

tal manera que el Margen de Magnitud sea 3.
La Magnitud de Lazo Abierto evaluado en la frecuencia de cruce wcg es igual al inverso del Margen de Magnitud.

herramienta Sisotool de Matlab: