Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.1. Производная функции. Дифференциал и его приложение к приближенным вычислениям

сложной функции.
Производные высших порядков.

при условии, что - называется производной

Определение.

если в этой точке существует её производная.

производной.

угловой коэффициент прямой(секущей)

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Секущая стремится занять

Секущая

Автоматический показ. Щелкните 1 раз.

угловой коэффициент прямой(касательной)
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания. 2. Найти f(a). 3. Найти f '(x) и f '(a). 4. Подставить

у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2.

Решение. 1. Обозначим абсциссу точки

в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является

1. a = 3 – абсцисса точки касания. 2. f(3) = – 2. 3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5. 4. y = – 2 + 5(x – 3),
y = 5x – 17 – уравнение касательной.

закону x(t), то скорость ее движения v(t) в момент времени

Физический смысл производной функции в данной точке

движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение.

а)

б)

Задача 1

момент времени t;
б) в момент времени t=3с.
Решение.



Задача 2

этих функций:

этих функций на производную другой:

разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную

Определение.

в степени меньшей на единицу

Функция

x-1, R, x > 0; (xn)´ = n xn-1, nN,

9)

10)

11)

12)

производной основной функции
на производную внутренней функции)

производной основной функции
на производную внутренней функции)
Производная сложной функции
Сложная функция
Производная простой

Простая функция

производной основной функции
на производную внутренней функции)
Производная сложной функции
Сложная функция
Производная простой

Простая функция

Пример:

производной основной функции
на производную внутренней функции)
Пример:

производной основной функции
на производную внутренней функции)
Пример:

Романов. – Ростов н/Д: Феникс, 2015 – 316 с.: ил.-