Дифракция сферических волн (дифракция Френеля).

на преграду (отверстие) падает сферическая волна (волновой фронт – сфера),

Для того, чтобы определить интенсивность излучения в произвольной точке экрана, необходимо просуммировать вклады в интенсивность от всех точечных источников открытой части волнового фронта.

открытой части волнового фронта.
Можно сформулировать следующий алгоритм суммирования интенсивностей

2. Разделить открытую часть волнового фронта на зоны Френеля.

3. Просуммировать вклады от всех зон Френеля в интенсивность излучения в точке наблюдения.

дифракции Френеля.

Френеля.
Пусть S – точечный источник

dσ – элемент сферической поверхности, который в дальнейшем мы будем считать источником вторичных волн;

- вектор нормали к элементу сферической поверхности dσ.

ψ – угол между вектором нормали к dσ и направлением на точку наблюдения;

r – расстояние от элемента dσ до точки наблюдения.

Френеля.
Уравнение сферической волны в общем случае можно записать так
Пусть

- амплитуда сферической волны, исходящей из источника S.

Тогда для колебаний, происходящих на поверхности σ можно записать

Френеля.
Величину E0 можно считать амплитудой колебаний на поверхности

Для волн, исходящих из точечных источников на поверхности σ

Здесь E0σ - амплитуда волны, исходящей с элемента поверхности σ.

Коэффициент K(ψ) определяет зависимость амплитуды колебаний волны от направления, то есть от угла ψ.

K(ψ) = Kmax при совпадении направлений вектора нормали с направлением на точку наблюдения;
K(ψ) = 0 при ψ ≥ π∕2 (не существует волн, распространяющихся внутрь поверхности σ).

Френеля.
Суммарная напряжённость электрического поля в волне, исходящей из всех

чтобы выполнить суммирование (интегрирование), разобьём весь волновой фронт на зоны

Волны из двух соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе.

волнового фронта на
зоны Френеля.
Радиус зоны Френеля
Чтобы найти ра-диус зоны

h определим из прямоугольных треугольников SN1Q1 и PN1Q1.


h – высота

величиной порядка λ2 :
Отсюда высота сферического сегмента

радиус зоны Френеля номер m:
Итак,
После подстановки
Пренебрежём малой величиной порядка λ2

площади зон Френеля должны быть равны. Проверим, выполняется ли это

Площадь зоны Френеля номер m равна разности площадей сферических сегментов.

Площадь сферического сегмента равна

Площадь зоны Френеля номер m:

Френеля не зависят от номера зоны m, следовательно, они равны.

Напомним, что формула для радиусов зон Френеля справедлива при выполнении этого же условия.

1. Радиусы зон Френеля можно определить по формуле:

2. Площади зон Френеля равны.

Выводы:

поля в волне, исходящей из всех точечных источников на поверхности

Интенсивность излучения в точке наблюдения P пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля.

Для того, чтобы вычислить этот интеграл мы (вслед за Френелем!) разделили волновой фронт на зоны, обладающие следующими свойствами.

наблюдения P волны из двух соседних зон приходят с разностью

2. Радиусы зон Френеля можно определить по формуле:

3. Площади зон Френеля равны.

Свойства зон
Френеля:

4. Свойства 2 и 3 справедливы для не слишком больших номеров зон m, таких, что

вычислению интеграла
Определим элемент поверхности dσ. В рассматриваемом случае
Из треугольника SNP

Продифференцируем последнюю формулу по r и по θ.

в интеграл:

волнового фронта на зоны Френеля и сначала подсчитаем вклад в

Будем считать, что коэффициент в пределах одной зоны Френеля постоянен. Для каждой зоны K(ψ) имеет своё определённое значение.
K(ψ) = Km(ψ) = Km.

поля от одной зоны Френеля номер m равен

интеграла в формулу для напряжённости поля от одной зоны Френеля

напряжённость поля в точке наблюдения от одной зоны Френеля номер

Напряжённость поля в точке наблюдения, создаваемая всеми зонами Френеля равна сумме вкладов от каждой зоны.

Рассмотрим сумму в скобках. Коэффициенты Ki для соседних зон не сильно отличаются друг от друга, поэтому

можно теперь представить так:
Слагаемые в квадратных скобках можно считать равными

При полностью открытом волновом фронте (m → ∞)

напряжённости.

если расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения =1м. Длина

Ответ: =0,71 мм, =1,0 мм, =1,22 мм, =1,41мм, =1,58 мм.

нормально на диафрагму с диаметром отверстия d = 6 мм.

Ответ: m = 5; центр дифракционной картины будет светлым.

Дано:
λ = 600 нм
L = 3 м
d = 6 мм

m - ?

Решение