Динамика твердого тела. Момент инерции

Момент силы. Уравнение моментов.
Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

называется величина:


Здесь mi – масса i-й частицы тела; Ri –

расстояние от этой частицы до оси Z.

Поскольку любое реальное твердое тело плотности ρ и объемом V есть совокупность бесконечно большого числа частиц, то

массы тела по его объему.
Эта величина представляет собой количественную

меру инертности твердого тела по отношению к любым попыткам изменить угловую скорость твердого тела.

Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции его частей, рассчитанных относительно той же оси.

скоростью v. Положение частицы в пространстве зададим радиусом-вектором r, проведенным

из неподвижной точки O.
Моментом импульса частицы относительно неподвижной точки O называется вектор L:


(где p = mv – импульс частицы).

Угол α – угол между векторами p и r; lp – кратчайшее расстояние от точки O до линии, вдоль которой направлен вектор p (плечо импульса).
Вектор L перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы p и r.

неподвижной оси Z называется проекция на эту ось момента импульса

L частицы, вычисленная относительно неподвижной точки оси Z.

Момент импульса Lz относительно неподвижной оси является скалярной величиной
Значение Lz не зависит от выбора точки O на оси Z.

образом, с учетом определения момента инерции, проекция на ось Z

момента импульса тела равна:


Проекция момента импульса тела Lz на ось Z не зависит от положения точки O на этой оси (поскольку I и ωz также не зависят от положения точки O).

относительно неподвижной точки O называется вектор, равный:




Здесь α – угол

между векторами r и F, h = rsinα - плечо силы – кратчайшее расстояния между линией действия силы F и точной O.

Вектор M перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы F и r.

Z называется проекция на эту ось вектора момента силы относительно

произвольной точки O на оси Z.

Величина Mz является скалярной и не зависит от выбора точки O на оси Z.

с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси Z. Обозначим через

L момент импульса тела относительно произвольной точки O оси Z, а через M – сумму моментов всех приложенных к нему внешних сил.

Для твердого тела как системы материальных точек справедливо уравнение моментов:


Перепишем его в проекции на ось Z:

выше, проекция на ось Z момента импульса тела равна Lz

= Iωz, то подставляя это выражение в уравнение моментов, получим уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:




Здесь I – момент инерции твердого тела относительно оси Z, εz = dωz/dt – проекция на ось Z вектора углового ускорения тела, Mz – проекция на ось Z момента всех внешних сил.

цилиндр массы m и радиуса R может вращаться с трением

вокруг неподвижной оси Z, совпадающей с его осью симметрии. На цилиндр намотана тонкая нерастяжимая невесомая нить, за которую начинают тянуть с постоянной силой F. Найти угловые скорость и ускорение цилиндра, если во время вращения на цилиндр действует постоянный момент силы трения Mтр.

Z от нас в плоскость чертежа и запишем уравнение динамики

вращения твердого тела:



Тогда угловое ускорение цилиндра:


Угловая скорость цилиндра:

одна из которых проводит через центр масс
Найдем связь между моментами

инерции твердого тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс.

Пусть ось ZC проходит через центр масс тела, а ось Z параллельна ей и находится на расстоянии b; обозначим b – перпендикулярный к обеим осям вектор, проведенный от Z к ZC.

одна из которых проводит через центр масс
Мысленно разделим тело на

частицы массами mi; к каждой частице проведем радиусы-векторы ri и ri′, перпендикулярные осям ZC и Z.
Учтем в дальнейшем, что ri′ = ri + b.

Момент инерции относительно оси Z:

одна из которых проводит через центр масс


Поскольку центр масс C

лежит на оси ZC тела, то, очевидно, rС = 0. Тогда:



Это равенство выражает теорема Гюйгенса – Штейнера о параллельном переносе оси момента инерции: момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IC тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния b между осями.

тонкого стержня массы m и длины l относительно оси, перпендикулярной

к стержню и проходящей через его середину (центр масс) I = (1/12)ml2, найдем момент инерции стержня относительно параллельной оси, проходящей через один из концов стержня:

однородного шара массы m и радиуса R относительно оси, проходящей

через его центр (центр масс) I = (2/5)mR2, найдем момент инерции шара относительно оси, касательной к поверхности шара:

сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Z с угловой скоростью ω. Разделим мысленно тело на частицы

массами mi.
Траекторией каждой из частиц является окружность с центром на оси вращения, лежащая в перпендикулярной к оси вращения плоскости. Обозначим скорость каждой из частиц vi = ωRi.
Кинетическая энергия Κ твердого тела равна сумме кинетических энергий составляющих его частиц:

вокруг неподвижной оси, равна:




Здесь I – момент инерции тела относительно

оси вращения.

на вращающееся вокруг неподвижной оси Z твердое тело действует внешняя

сила F, проекция на ось Z момента M которой равна Mz. Найдем выражение для работы A силы, снова рассматривая твердое тело как систему частиц.

По теореме о кинетической энергии элементарная работа δA всех сил, действующих на частицы, равна бесконечно малому приращению кинетической энергии dΚ системы:


Примем без доказательства, что элементарная работа всех внутренних сил равна нулю.

теорема о кинетической энергии применительно к твердому телу звучит так:

работа всех приложенных к твердому телу внешних сил равна приращению его кинетической энергии:




Согласно уравнению вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

элементарное приращение кинетической энергии твердого тела:



Здесь ϕ – угловая координата,

dϕ – угол, на который поворачивается тело за бесконечно малый промежуток времени dt.
Таким образом,

частиц

сохранения импульса системы частиц: момент импульса L замкнутой системы частиц

с течением времени не изменяется (т.е. сохраняется).

Действительно, если система замкнута, т.е. внешние силы отсутствуют, то:



Однако, в некоторых случаях момент импульса незамкнутой системы частиц может сохраняться. Рассмотрим эти случаи.

система не замкнута, но моменты внешних сил, вообще говоря, отличны

от нуля, но при этом сумма моментов внешних сила равна нулю, то момент импульса системы сохраняется:

горизонтально пуля со скоростью v0 массой m застревает в небольшом

деревянном шаре массой M, подвешенном на вертикальном стержне, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса O.

На пулю и шар действуют внешние силы mg, Mg и N (сила N в момент удара пули может быть очень большой). Однако, если за время удара стержень не успевает значительно отклониться, то моменты всех внешних сил относительно точки O равны нулю (линии действия этих сил проходят через точку O), то момент импульса системы сохраняется:

проекция на некоторую неподвижную ось Z момента всех внешних сил

равна нулю, то в проекции на ось Z момент импульса Lz сохраняется:

на нити шарик вращается с постоянной скоростью в горизонтальной плоскости

по окружности. В этом случае проекция на проходящую через точку подвеса O вертикальную ось Z момента импульса шарика сохраняется в процессе движения.
Действительно, на шарик действуют: сила натяжения нити T (не создающая момента, т.к. линия ее действия проходит через точку O); сила тяжести, момент которой M = [r×mg] в проекции на ось Z равен нулю (см. рисунок). Поэтому Lz = const.
Вектор L имеет постоянную длину и вращается в пространстве вместе с шариком, описывая поверхность кругового конуса, в то время как его проекция на ось Z остается постоянной.

импульса системы приблизительно сохраняется, если момент Mвнеш ограниченной по модулю

внешней силы действует в течение короткого промежутка времени Δt (т.е. Δt ≈ 0):