Динамика вращения твердых тел

Кинетическая энергия и момент инерции.
3. Зависимость момента инерции относительно оси

вращения.
4. Момент силы.
5. Условия равновесия тела, имеющего ось вращения.
6. Момент импульса и основное уравнение динамики.
7. Закон сохранения момента импульса.
8. Аналогия между величинами при поступательном и вращательном движениях.
9. Гироскопы.

тела часто встречаются на практике – это всевозможные маховики, валы,

роторы генераторов и двигателей, винты, сверла, фрезы т.п.
В общем случае это вращение вокруг неподвижной точки, которое можно свести к трем независимым вращением вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. Ось может быть: неподвижной, перемещающейся в пространстве, совсем свободной.
При наблюдении за вращательным движением прежде всего бросается в глаза устойчивость, приобретаемая телом при вращении. Можно предположить, что тело, вращающееся вокруг оси, проходящей через центр

состояние неопределенно долго. Такое заключение аналогично первому закону Ньютона для

поступательного движения.
Внешнее воздействие приводит к изменению состояния вращательного движения тела. Это утверждение аналогично второму закону Ньютона. Однако результат действия силы (ускорение движения) зависит не только от силы и от массы приводимого в движение тела, но и от того, где расположена точка приложения силы и как расположена масса тела относительно оси вращения.
При изучении законов движения материальной точки мы ввели ряд динамических величин: импульс, силу, кинетическую энергию и т.п.

движения твердого тела.
Особенностью вращательного движения является то, что все точки

тела движутся по окружностям (концентрическим), центры которых лежат на оси вращения. Все эти точки движутся с разными линейными скоростями, а одинаковой является для них угловая скорость ω. Если же твердое тело вращается, то все его динамические характеристики можно выразить через угловую скорость, ибо линейные скорости разных точек твердого тела различны. Именно по этой причине мы вынуждены будем ввести в данном случае ряд новых физических величин: момент инерции, момент силы и момент импульса.

Содержание

кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Задачу будем

решать в приближении ньютоновской механики, т.е. при условии, что все точки движутся со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. Для упрощения задачи вначале рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек, а затем обобщим результат на любое твердое тело.

на расстояние l друг от друга. Будем считать систему жесткой,

т.е. расстояние между точками не меняется. Система вращается вокруг оси с угловой скоростью ω. Тогда линейная скорость первой точки V1 = r1·ω,
скорость второй точки
V2 = r2·ω,
где r1 и r2 – расстояние материальных точек до оси вращения.

(9.1)
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит:

(9.2)

масс этих точек относительно оси вращения.
Подставив (9.3) в (9.2), получим
(9.4)
Единицей

момента инерции в СИ служит килограмм на метр в квадрате (кг⋅м2).

инерции этой системы на квадрат угловой скорости вращения.
Если система

состоит не из двух, а из n материальных точек, то выражение для её кинетической энергии сохраняется, но момент инерции имеет вид:
(9.5)

интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом

случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.
Итак, величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси.

относительно оси симметрии


Момент инерции тонкостенного полого цилиндра радиуса R относительно

оси симметрии


Таким образом,
момент инерции зависит от формы, массы, размера тела и различен относительно разных осей вращения.

радиуса R относительно оси симметрии.
Задача 2. Найти момент инерции тонкостенного

полого цилиндра радиуса R относительно оси симметрии.

не только от его массы, но и от положения оси

вращения. Это непосредственно следует из выражения (9.5). Действительно, если перенести ось, то r1, r2,…,rn станут другими, в результате чего и момент инерции окажется иным.
Вычислим моменты инерции системы из двух материальных точек относительно двух осей, параллельных друг другу и перпендикулярных плоскости чертежа (рис. 9.2). Расстояние между осями AC = l.

той же системы относительно оси, проходящий через центр масс C:
(9.8)
По

теореме Пифагора
и
Подставив в (9.7) и проделав несложные преобразования, получим с учетом (9.8)

= J0 + ml2

(9.9)
Итак, момент инерции системы материальных точек относительно произвольной оси равен моменту инерции этой системы относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между осями (теорема Штейнера).

системы относительно оси, проходящей через её центр масс.

для оси ОО`

для оси ЕЕ`.

Содержание

Задача 3. Показать, используя теорему Штейнера, что минимальное значение имеет момент инерции системы относительно оси, проходящей через её центр масс.

а, проходящей через точку О, действует постоянная сила F (рис.9.3).

Ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка. Положение точки приложения силы F определяется радиус–вектором r.

Рис. 9.3

Рис. 9.4

dφ
δА = Frsinαdφ,

(9.10)
где α – угол, образованный векторами r и F.
Величина rsinα = l представляет кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы. Её называют плечом силы.
Величина равная векторному произведению радиус-вектора r на силу F, носит название момента силы относительно точкиO(рис.9.4) М = [rF] (9.11)
Вектор М образует с векторами r и F правовинтовую систему. Модуль этого вектора

(9.11a)

относительно точки О и момент силы относительно оси вращения, на

которой лежит данная точка. Первая величина, как мы только что видели, является вектором, а вторая – проекцией вектора М на ось а.

то направление вектора М совпадает с осью вращения. Именно такой

случай показан на рис. 9.3 и 9.4.
Теперь возвратимся к выражению 9.10 и элементарную работу силы F выразим как произведение момента этой силы относительно оси на угол поворота радиуса-вектора dφ:

0; если же
их знаки противоположны, то δА < 0.
Но

в соответствии с законом сохранения механической
энергии элементарная работа всех внешних сил равна
приращению кинетической энергии тела, так как его
собственная потенциальная энергия не меняется. Поэтому




Или после деления на промежуток времени dt, за который
Произведена элементарная работа:

то


(9.12)
где - суммарный момент импульса всех внешних сил
относительно неподвижной оси вращения (если к телу приложено не одна, а несколько сил); - угловое ускорение тела относительно этой же оси.
Справедливо также и уравнение

(9.12а)

тела.
Из уравнения видно, что момент инерции определяет инерциальные свойства твердого

тела при вращении: при одном и том же значении момента силы тело приобретает тем меньшее угловое ускорение, чем большим моментом инерции оно обладает.

то уравнение

можно записать так:
(9.13)

Величина носит название момента импульса относительно оси а. Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту силы относительно этой оси:

импульса всех частиц, из которых состоит тело. Тогда легко обнаруживается

связь между импульсом и моментом импульса частицы. Эти два вектора вместе с радиусом-вектором r, определяющим положение частицы относительно некоторой произвольно выраженной точки на оси а, образуют правовинтовую систему:
(9.14)

Момент импульса относительно оси есть проекция вектора L на данную ось вращения (рис.9.5)

же точки, то для твердого тела (системы частиц) справедливо уравнение

(9.15)

Содержание

Рис.9.5

Это уравнение носит название уравнения моментов. В динамике твердого тела оно занимает такое место, как в динамике материальной точки уравнение

играет громадную роль и при анализе явлений, происходящих в немеханических

системах.

Единицей момента импульса в СИ служит килограмм - метр на секунду в квадрате (кг·м/с2) .

является моментом внешней силы или равнодействующей внешних сил, сумма моментов

внутренних сил всегда равна нулю. Это последнее утверждение принимается как постулат в механике Ньютона, дополнительно к законам Ньютона. Если система замкнута, то алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на тело, равна нулю, т.е. М = 0. Тогда из (9.15) следует, что и dL = 0, т.е.
(9.16)

в инерциальной системе отсчета суммарный момент импульса замкнутой системы частиц сохраняется.

импульса: момент импульса замкнутой системы частиц является постоянной величиной.
Момент импульса

может сохраняться и для незамкнутых систем. Если относительно некоторой точки О в выбранной системе отсчета суммарный момент внешних сил равен нулю, то согласно уравнению моментов сохраняется момент импульса относительно этой точки О. Если проекция суммарного момента всех внешних сил, например, на неподвижную ось равна нулю, то сохраняется не сам момент импульса, а его проекция на эту ось. Иначе говоря, в этом случае сохраняется момент импульса относительно оси:

оси может изменяться.
Сохранение момента импульса замкнутой системы допускает, что моменты

импульса отдельных её частей могут со временем изменяться. Однако при всех изменениях убыль момента импульса одной части системы всегда равна приращению момента импульса другой её части.
Из закона сохранения момента импульса в применении к вращению твердого тела относительно оси
(9.17)

тела во время вращения, можно изменять (уменьшать или увеличивать) в

такое же число раз угловую скорость. Иллюстрацией могут служить, например, опыты на скамье Жуковского – подставке, свободно вращающейся в горизонтальной плоскости. Сидящий на скамье человек раскидывает или прижимает к туловищу руки и тем самым изменяет момент инерции (рис. 9.6). В соответствии с законом сохранения момента импульса её угловая скорость изменяется.

Рис.9.6

и вращательном движениях

R-r1
Диск (край)
Стержень-центр
Стержень-край
Сферическая оболочка
Содержание
Твёрдый шар