Презентация на тему Дискретные и непрерывные случайные величины

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ВОПРОС 12:

Дискретные случайные величины

Определение: ξ – дискретная случайная величина, если:
R(ξ)= {x1, x2, ..., xn, ... } V {x1, x2, ..., xn }

R(.) – область возможных значений

Определение: функция p(x):

называется законом распределения
(или дифференциальным законом распределения)

Пример 1:

Свойство:

x

p(x)

1

6

2

3

4

5

Пример 2

случайная величина

- число наступления события A
при одном испытании, причем P(A)=p.

Биномиальное распределение

Распределение Пуассона

Распределение Лапласа

Пример.

На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт.
Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных?

Пример.

Телефонистка в среднем за один час получает N вызовов. Какова вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов?

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пример.

] ξ — число наступлений события (А: s=1) при десяти бросаниях игральной кости.

Ряд распределения случайной величины

.

ВОПРОС 13:

Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства

Определение:

называется функцией распределения вероятностей.

Функция

Пример:

Пример:

Основные свойства
функции распределения

1.

3.

2.

=>

ВОПРОС 14:

Непрерывные случайные величины

Определение: Случайная величина ξ
называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция

СВОЙСТВА F(x)

1.

2.

3.

Свойства плотности распределения вероятностей

1.

2.

3.

.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю.

Следствие. События, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств

,

,

имеют одинаковую вероятность

Пример.

Решение

ВОПРОС 15:

Равномерное распределение

Зоччиэдр

Тетраэдр

Октаэдр

Додакаэдр

ИГРАЛЬНЫЕ КОСТИ - АСТРАГАЛЫ

Изобретение Паламеда

Куб

X

F(X)

a

b

ФУНКЦИИ РАВНОМЕРНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ
НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина имеет равномерное распределение
на отрезке [a, b],
т.е. ξ∈U[a, b] («uniform»),
если ξ —  координата точки,
брошенной наудачу на отрезок
[a, b] числовой прямой, имеют одинаковую вероятность.

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ВОПРОС 16:

Нормальное распределение

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777, Брауншвейг —1855, Гёттинген) — немецкий математик, астроном и физик , считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков».

ВИД ПЛОТНОСТИ НОРМАЛЬНОЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ВИД ПЛОТНОСТИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Свойства

при x=a

График имеет точки перегиба при

При

график функции асимптотически приближается к оси Ox

1.

2.

3.

4.

При увеличении

кривая плотности распределения
становится более пологой

Теорема. Функция

удовлетворяет условию нормировки для любых a и

Доказательство

Определение. Функция

называется
интегралом вероятностей

Свойства интеграла вероятностей

1.

2.

4.

Ф(0)=0

Ф(-x)=-Ф(х)

3.

.

Утверждение.

Доказательство

Заменим переменную

интеграл
вероятности

=

Пример

ВОПРОС 17:

Математическое ожидание случайной величины и его свойства

ПРИМЕР. В БД хранится N файлов:
m1 - число файлов объемом х1 кб,
m2 - файлов объемом х2 кб,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mn - файлов объемом хn кб,
Здесь m1+m2+...+mn=N.
Найдем среднее арифметическое значение объема файла xср :

Определение:

Для непрерывной случайной величины

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Пример доказательства

Замечание 1

] x1, x2, ..., xn, ... –
бесконечная последовательность

Требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.

ВОПРОС 18:

Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение

Пример

Определение:

Утверждение.

Доказательство.

1.

2.

3.

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ:

.

Определение:

ВОПРОС 19:

Моменты распределения
случайных величин

Определение.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины:

Определение. Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины

ВОПРОС 20:

Примеры вычисления
моментов

Пример 1:

Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости.

Определить: математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение

Решение:

Пример 2:

Найти математическое ожидание
и дисперсию.

Пример 3:

.

,

Пример 4:

Случайная величина распределенная подчинена закону Пуассона

Найти:

Пример 5:

Случайная величина распределенная подчинена равномерному закону

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение случайной величины.

Пример 6:

Случайная величина распределенная подчинена нормальному закону

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение случайной величины.

Доказать самостоятельно!

ВОПРОС 21:

Линейные функции
случайных величин

Линейная функция гауссовской (нормально распределенной) случайной величины

Доказательство.

Замена переменной

ОБОБЩЕНИЕ: