Дисперсионный анализ

английском Analysis Of Variance - ANOVA) применяется для исследования влияния

одной или нескольких качественных переменных (факторов-качественные, количественные, случайные) на одну зависимую количественную переменную (отклик).

В дисперсионном анализе используется свойство аддитивности дисперсии независимых факторов.

Р.А.Фишер в 1938 году впервые определил дисперсионный анализ как «отделение дисперсии, приписываемой одной группе причин, от дисперсии, приписываемой другим группам»

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной
величины. Для этого проводят разложение суммарной дисперсии на
составляющие, обусловленные независимыми факторами.

.

сравнения двух независимых нормально распределенных выборочных совокупностей.

Выборочные дисперсии

, различаются значимо, если частное превышает табличный Fкр критерий Фишера для принятой доверительной вероятности p и чисел степеней свободы f1=n1-1, f2=n2-1.

где и - математическое ожидание

и генеральная дисперсия случайной величины Х.


2.факторы влияют только на изменение средних значений, а дисперсия наблюдений остается постоянной; эксперименты равноточны.

случайными уровнями (выбор уровней производится из бесконечной совокупности возможных уровней

- модель со случайными уровнями факторов);

2) с фиксированными (все уровни фиксированы – модель с фиксированными уровнями факторов);

3) модель смешанного типа (часть факторов рассматривается на фиксированных уровнях, а уровни остальных выбираются случайным образом).

фактора А (количественного или качественного), который принимает k различных значений

(уровней факторов), на рассматриваемый признак (отклик).
На i-м уровне производиться ni наблюдений, результаты которых представлены:

di - эффект фактора А на i-м уровне

( i = 1,2,…,k);
- ошибка измерения на i-м уровне.

Предположим, что наблюдения на фиксированном уровне фактора
нормально распределены относительно среднего значения
с обшей дисперсией

Проверяется нулевая гипотеза равенства средних значений на различных уровнях фактора А :
m1=m2=…=mk=m.

Общее число опытов равно N :
N=n1+n2+…+nk.

: n1=n2=…=nk=n.

всей выборки из N наблюдений:
Общую выборочную дисперсию разложим на

составляющие, которые характеризовали бы вклад фактора А и фактора случайности.

(проверка однородности системы) применяют для сравнения k независимых нормально распределенных

выборочных совокупностей равных объемов ni=const с дисперсиями . Выборочные дисперсии различаются значимо, если критерий Кохрана G превышает табличный Gкр для принятой доверительной вероятности p и числа степеней свободы f=k-1.

дисперсии σ2 , характеризующей фактор случайности, используют выборочную дисперсию Sош2:

(f=k(n-1)=N-k).

Приближенную оценку для дисперсии фактора А можно получить следующим образом:

Более точную оценку для можно получить, рассматривая отклонения средних на отдельных уровнях от общего среднего всей выборки .

критерию Фишера):
Влияние фактора является значимым, если:

квадратов итогов по столбцам , деленную на число наблюдений в

столбце

4) квадрат общего итога, деленный на число
всех наблюдений (корректирующий член)

5) сумма квадратов для столбца

6) SSобщ - общая сумма квадратов, равная
разнице между суммой квадратов всех
наблюдений и корректирующим членом

для оценки ошибки эксперимента

справедливо, то различие между и

значимо, следовательно значимо влияние фактора А.

то следующим шагом является сравнение выборочных средних.
Выборочные

средние различаются значимо, если t-критерий Стьюдента превышает табличный tp,f для принятой доверительной вероятности p и числа степеней свободы объединенной выборки f=n1+n2-2.

Нулевая гипотеза отвергается и различие между средними считается значимым.
Для выявления различности средних применяют критерии Стьюдента, Фишера или ранговый критерий Дункана.

алкила (фактор А) на процесс полимеризации.

и В. Фактор А исследуется , на уровнях a1, a2,…,

ak .Фактор В – на уровнях b1,b2,…,bm .

уровне, i=1,2,…, K;

эффект фактора В на j-м уровне, j=1,2,…m;

эффект взаимодействия

факторов, представляем собой отклонение
среднего по наблюдениям в (ij)-й серии от суммы первых- трех членов
в модели

учитывает вариацию внутри серии наблюдений (ошибка
воспроизводимости)

линейную модель:

обозначим соответственно средние значения по строкам и столбцам:



А

- среднее всех результатов


Рассеяние средних по столбцам относительно общего среднего не зависит от фактора В, т.к. все уровни фактора В усреднены.
Это рассеяние связано с влиянием фактора А и случайного фактора. Так как дисперсия среднего в m раз меньше дисперсии единичного измерения, имеем:

от фактора А и связано с влиянием фактора В:




Эти равенства

позволяют оценить влияние факторов А и В, если известна оценка дисперсии.

Линейная модель:

Для оценки фактора случайности при отсутствии параллельных наблюдений, найдем дисперсию наблюдений по i-му столбцу:

(б)

(а)

Эта дисперсия обусловлена влиянием фактора В и фактора случайности



Вычитая (б) из (а), получим



Отсюда




Обозначим полученную оценку для дисперсии σ2 через Sош2

можно считать выборочными дисперсиями с (к-1)

и (m-1) степенями свободы соответственно. Проверяют нулевые гипотезы о незначимости влияния факторов А и В по критерию Фишера.





Нулевая гипотеза значима, αi=0.

влияние фактора А считается значимым. Аналогично, если




Гипотеза принимается, βj

=0. При справедливости неравенства:

Влияние фактора В считается значимым.

алгоритм расчета:
Находят :
Итоги по столбцам


Итоги по строкам


Сумму квадратов всех наблюдений


Сумму

квадратов итогов по столбцам , деленную на число наблюдений в столбце

в строке
6) Квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений

(корректирующий член)

7) Сумму квадратов для столбца: SSA=SS2-SS4;
8) Сумму квадратов для строки: SSB=SS3-SS4;
9) Общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех
наблюдений и корректирующим членом: SSобщ=SS1-SS4;
10) Остаточную сумму квадратов:
SSост=SSобщ-SSA-SSB=SS1-SS2-SS3+SS4;

:


13) Дисперсию :

каждом сочетании уровней факторов А и В проводится n параллельный

опытов. Имеется целая серия наблюдений yij1, yij2,…,yijn. Выборочная дисперсия результатов в каждой ячейке, где (n-1)-степень свободы:




Если выборочные дисперсии по всем ячейкам однородны, их можно усреднить и использовать полученную средневзвешенную дисперсию в качестве оценки для дисперсии воспроизводимости σ2 :

Число степеней свободы равно mk(n-1)

наблюдений в ij – й ячейке.

факторов А и В, удобно использовать следующий алгоритм расчета:

наблюдений в столбце


8) Сумму квадратов итогов по строкам.,

деленную на число наблюдений в строке

член)





10) Сумму квадратов для столбца


11)Сумму квадратов для строки


12) Сумму квадратов

для дисперсии
воспроизводимости

13) Общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом

в котором встречаются все возможные сочетания уровни изучаемых факторов. Дробным

факторным экспериментом(ДФЭ) – эксперимент, в котором пропущены некоторые сочетания уровней.
Рассмотрим трехфакторный дисперсионный анализ при одинаковом числе уровней n для каждого фактора. Полный перебор сочетаний уровней факторов потребует N опытов N=n3
Число опытов можно значительно сократить,
используя ДФЭ по схеме латинского квадрата,
введенного впервые Фишером. Латинский квадрат –
n:n – это квадратная матрица, составленная из
n элементов(чисел или букв) таким образом, что
каждый элемент повторяется в каждой строке и в каждом столбце только один раз.

первая строка и первый столбец построены в алфавитном порядке или

в порядке натурального ряда.

результаты взаимодействия незначимы и применяют линейную модель



Алгоритм расчета: Для этого

определяют
1) итоги по строкам Аi, столбцам Вj, и латинским буквам Сq.

Например, для латинского квадрата 3:3 итоги по строкам


Итоги по столбцам

на число наблюдений в строке




4) Сумму квадратов итогов по столбцам

, деленную на число наблюдений в столбце

наблюдений, соответствующих каждой букве



6) Квадрат общего итога, деленный на число

всех наблюдений(корректирующий член)













10) Общую сумму квадратов, равную разнице между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом