Дополнительные главы математического анализа

для множества А называется внутренней, если существует О(х0) А.
Х=R2
А
x1
x2
x3
Точка

Точка х0 для множества А называется граничной, если любая О(х0)∩Х \ А≠Ø и О(х0)∩М≠Ø, т.е. в любой ее окрестности этой точки есть как точки принадлежащие множеству А, так и не принадлежащие ему.

для множества А называется предельной, если любая О(х0) имеет хотя

Х=R2

А

А /

Точка множества А называется изолированной точкой А, если существует О(х0), не содержащая точек из А, отличных от х.

Точка х0 называется точкой прикосновения множества А, если любая О(х0) содержит точки из А.

множества А называется внутренностью А и обозначается intА.
Х=R2
A

Совокупность всех внешних

Совокупность всех граничных точек множества А называется границей А и обозначается ∂А.

intА

extА

∂А

Множество точек прикосновения А называется замыканием множества А и обозначается [А].
[A]=intА U ∂А или [A]=AUA/.

[А]

является предельной.
Каждая предельная точка множества А является его точкой прикосновения.

Граничной всегда является изолированная точка.

Граница для множества А является границей и до его дополнения, т.е. ∂А=∂(Х\А).

оно содержит все свои предельные точки, т.е. А/

Множество А называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т.е. [А]=А.

Множество А называется открытым, если его дополнение замкнуто.

Множество А называется открытым, если все его точки внутренние, т.е. А=intА.

Х=intА U ∂А U int(X \ А)

тогда, когда ∂А А.
Замыкание множества А является наименьшим

Граница есть замкнутое или пустое множество.

Множество Х и Ø являются одновременно и открытыми и замкнутыми.

Для любого множества А внутренностью является наибольшее открытое множество, содержащееся в А.

множества А является его предельной точкой: А/ А и

Множество А называется плотным в В, если .

Множество А называется всюду плотным (плотным в Х), если , т.е. в любой окрестности любой точки имеются точки множества А.

Множество А называется нигде не плотным в Х, если его дополнение Х\А всюду плотно в Х.

Топологическое пространство Х называется сепарабельным, если в нем существует счетное или конечное всюду плотное множество.

если существует двух непустых открытых множеств А и В пространства

Множество M называется связным, если такие множества не существуют.

Х=R2

М

А

В

М – несвязное

М

А

В

М –связное

замкнутое связное множество А называется континуумом в пространстве Х.
А
Область
Континуум

таких, что .

Х=R2

А

Покрытие открытое и конечное

, если оно само является покрытием.
Топологическое пространство Х называется