Экономико – математические методы и прикладные модели Методы и модели анализа

модели анализа временных рядов. Прогнозирование экономических процессов с использованием временных рядов.
Основная

литература:
Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие – М.: Вузовский учебник, 2007,2010

этапы построения моделей экономического прогнозирования.
Выявление и устранение аномальных наблюдений во

временных рядов.
Предварительный анализ временных рядов. Проверка наличия тренда.
Предварительный анализ временных рядов.
Вычисление количественных характеристик развития экономических процессов.
Построение моделей кривых роста. Оценка параметров кривых роста с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
Временной ряд, тренд, трендовая модель. Получение трендовой модели средствами Excel.
Оценка качества моделей прогнозирования. Проверка адекватности и оценка точности.
Оценка точности модели кривой роста, выбор наилучшей кривой роста.
Прогнозирование на основе кривой роста.
Адаптивные модели пргнозирования
Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие М.: Вузовский учебник, 2007, 2010.-365 с. - Стр. 271-323.

того, что неминуемо должно произойти, но некая совокупность возможных сценариев

развития событий. Причем, вероятность того или иного пути во многом определяется тем, владеют ли участники событий информацией об общей картине происходящего, понимают ли ее, следуют ли рекомендациям и каким именно рекомендациям. Прогноз событий там, где не следуют разумным рекомендациям (или не могут следовать, или не хотят, не доверяя им или игнорируя) всегда неблагоприятен.

модель)

1000 человек населения)

показателей обычно отражается динамическими и временными рядами.
Динамические ряды – упорядоченная

совокупность последовательных наблюдений одного показателя y в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя x.
Временные ряды – динамические ряды, у которых в качестве признака упорядочения выбрано время t.
Формы представления временных рядов:
Векторная Y(t), t = 1, 2, …, N – фактор времени,
Табличная =>

- отдельные значения временного ряда, характеризующие изменение показателя во времени.

Уровни

ряда могут измеряться в различных величинах:
абсолютных (размер прибыли, издержек, …);
относительных (объем производства с/х продукции на душу населения);
средних за некоторый период времени (среднесуточная выработка продукции,…);
индексных (индексы роста накопленного дохода,…).
Уровни временного ряда могут принимать:
детерминированные значения – не представляют интереса (например, число дней в месяце);
случайные значения – подвергаются научному анализу, при этом они могу быть: дискретными и непрерывными.
Длина временного ряда определяется количеством наблюдений n.

ВР – последовательные наблюдения характеризуют показатель на некоторый момент времени

0 t1 t2 t3 … t

интервальные ВР – показатель характеризуется за определенный период времени.
0 t1 t2 t3 ... t
Структура временных рядов
Изучение структуры ВР строится на основе компонентного анализа - разложения исходного ряда на составляющие компоненты:
ft – тренд (систематическая) составляющая или тенденция;
ct – циклическая составляющая – нестрого периодические циклические колебания, которые совершаются в течение ряда лет и вызваны политическими, военными, экономическими причинами;
st – сезонная составляющая – строго периодические циклические колебания, которые совершаются в течение года и вызваны природно-климатическими условиями;
εt – случайная составляющая (несистематическая) – все то, что осталось от ВР после выделения из него ut ,ct ,st .

названных составляющих компонент: yt= ft , st …;
аддитивной модели (сумма

составляющих компонент):
yt = ft + ct + st + εt ;
мультипликативной модели (произведение составляющих компонент): yt = ft · ct · st · εt ;

Если все компоненты в ряду выявлены верно, то εt должна :
подчиняться нормальному закону распределения;
представляться случайными числами;
быть независима от остатков других уровней ряда;
математическое ожидание М ( εt ) ≈ 0.

рядов.
Построение моделей.
Оценка качества моделей.
Выбор лучшей модели.
Получение прогноза.

рядов.
Метод простой скользящей средней.
Метод взвешенной скользящей средней.
Метод экспоненциального сглаживания.
3.
Проверка наличия

тренда.
Метод проверки разностей средних уровней.
Метод Фостера-Стьюарта.

4.Вычисление количественных характеристик развития экономических процессов.

этапе предварительного анализа уровни ВР должны проверяться:
на сопоставимость;
на однородность;
на устойчивость;
на

полноту (представительность, репрезентативность) данных.

в одних и тех же единицах измерения;
2) иметь одинаковый шаг

наблюдения;
3) рассчитываться по одной и той же методике;
4) охватывать одни и те же единицы совокупности;
5) соответствовать одинаковым интервалам или моментам времени.
Несопоставимость чаще всего проявляется в стоимостных показателях.

Полнота данных означает достаточное число наблюдений для выполнения прогноза, из условий обнаружения закономерностей.

и изломов тенденций.

Устойчивость характеризует преобладание законо-мерности над случайностью в

изменении уровней ряда.











Преобладание случайности Преобладание закономерности
На данном этапе строятся графики динамики и подвергаются
визуальному анализу.

критерию Ирвина):
для каждого наблюдения начиная со второго, рассчитывается:

λt = | yt - yt-1 | / σy ,
где σy = - среднее квадратическое отклонение;

- среднее арифметическое значение показателя yt .

рассчитанные значения λt сравниваются с табличным λtтабл , и если выполняется неравенство λt > λtтабл, то наблюдение аномально.

Табличные
значения λt =>

- из-за ошибок в измерении и передаче информации, их называют

ошибками первого рода ( они подлежат устранению);
объективными – из-за ошибок, возникающих в результате воздействия на данный процесс редко проявляющихся объективных факторов, называют ошибками второго рода (устранению не подлежат).
Устранение АН производится путем их замены средней арифметической соседних уровней ряда: yt = (yt – 1 + yt + 1 ) / 2 , или экспоненциальной скользящей средней.

показателя во времени. Различают 3 вида: ↑ ,

↓ , →. возрастающий убывающий боковой

Для выявления тренда используются:
Знаковый критерий Кокса и Стьюарта;
метод Фостера - Стьюарта;
метод проверки разностей средних уровней:
метод автокорреляционных функций и другие.

разбивают на две примерно равные по числу уровней части, каждая

из которых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. Если временной ряд имеет тенденцию к тренду, то средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно (значимо) различаться между собой. Если же расхождение незначительно, несущественно (случайно), то временной ряд не имеет тенденции. Таким образом, проверка наличия тренда в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей.

подготовить ряд для построения модели прогнозирования.
Сглаживание может выполняться различными методами:
Простой

скользящей средней;
Взвешенной скользящей средней;
Экспоненциального сглаживания.
Метод простой скользящей средней:
Выбирается интервал сглаживания m = 3,5,7,9.
Если необходимо сгладить мелкие колебания, то m выбирается по возможности большим, и m уменьшается, если необходимо сохранить мелкие волны.

в интервале сглаживания:

.
4) Интервал сглаживания смещается на один уровень ря-да и вновь рассчитывается среднее арифметическое.
Вычисления продолжаются до последнего уровня.
Недостаток метода – первые и последние p уровней остаются не сглаженными.
Метод взвешенной скользящей средней
Сглаживание производится по уравнению полинома

ŷ

с учетом весовых коэффициентов (для m=5).

сумма весов с учетом общего члена равна 1,0 .

Метод экспоненциального сглаживания
Для выравнивания используются значения предыдущих уровней взятых с определенным весом 0 < α <1,0.
Расчетная формула: ŷ .

абсолютных приростов:
цепных ∆yцепн = yt - yt-1 ,
базисных

∆yбазисн = yt - y1 ,
средних САП = (yn - y1 ) / (n-1) ,
где y1 , yt , yt-1 , yn – первый, текущий, предшествующий
и последний уровни ВР, соответственно.
САП может использоваться для прогнозирования:
yn+k = yn + k · САП
, где k – шаг прогнозирования

Недостаток САП – нельзя опираться только на последнее наблюдение, поскольку оно имеет случайное значение, поэтому низкое качество прогноза, нельзя построить доверительный интервал прогноза.

yt / yt-1 ,
Базисных Тбазисн= yt / y1

,
Средних Тсредн = .

Выявление автокорреляции.
Автокорреляция отражает взаимосвязь между уровнями временного ряда и она характеризуется коэффициентом автокорреляции:

rl = ,


где l – количество шагов на которое сдвигаются уровни ряда.
Если 0,7 < |rl | < 1,0, то имеет смысл выполнять прогноз на l шагов вперед.

типов: инерцией тенденции, инерцией взаимосвязи между после­довательными уровнями ряда и

инерцией взаимосвязи между исследуемым показателем и показателями-факторами, оказывающими на него причин­ное воздействие. Соответственно различают задачи анализа и моделирования тенденций, взаимосвязи между последовательными уровнями ряда; причинных взаимодействий между исследуемым показателем и показателями - факторами. Первая из них решается с помощью моделей кривых роста, вторая - с помощью адаптивных методов и моделей, а третья с помощью регрессионных моделей.

называть кривой роста.
Аналитические методы выделения (оценки) неслучайной составляющей временного ряда

с помощью кривых роста реализуются в рамках моделей регрессии, в которых в роли зависимой переменной выступает переменная yt, а в роли единственной объясняющей переменной  время t.

описания тренда могут выбираться различные функции:
Полиномиальные (полином q –й степени)

yt=a0+a1 t+a2 t 2+…+aq t q ;

Экспоненциальные
yt=a0·ea1t – простая экспонента,
yt=a0+a1·ea2t – модифицированная;

S –образные t
yt=a0· a1a2 – Гомперца,
yt= a0/(1+a1·e – a2t ) – логистическая.

года

по методу наименьших квадратов, т.е. подбираются таким образом, чтобы график

функции "кривой роста" располагался на минимальном удалении от точек исходных данных. Согласно методу наименьших квадратов при оценке параметров модели всем наблюдениям присваиваются равные веса, т.е. их информационная ценность признается равной, а тенденция развития на всем участке наблюдений – неизменной.

производные по a1, a0 и приравниваются нулю.
В результате решения

системы уравнений получаем:


; .


Вычисленные значения параметров модели подставляются в уравнение модели: yp=a0+a1t ,

компьютерное моделирование: Учебное пособие М.: Вузовский учебник, 2007, 2010.-365 с.

- Стр. 312-323.

— это модели дисконтирования данных, способные быстро приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. Инструментом прогноза в адаптивных моделях, как и в кривых роста, является математическая модель с единственным фак­тором «время».
При оценке параметров адаптивных моделей в отличие от моделей «кривых роста» наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным признается их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность.
 

значения параметров модели.
По имеющейся модели дается прогноз на один шаг,

причем его отклонение от фактических значений ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии с принятой схемой корректировки параметров модели.
По модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и весь процесс повторяется вновь до исчерпания фактических членов ряда. Т.о., модель постоянно “впитывает” новую информацию, адаптируется к ней и к концу периода отражает тенденцию развития.
Прогнозирование на будущее осуществляется с использованием параметров, определенных на последнем шаге по последним фактическим наблюдениям ряда.

значение формируется на основе предыдущих фактических значений с разными весами.

Различают следующие модели Брауна:
● нулевого порядка, которая описывает процессы, не имеющие тенденции развития. Она имеет лишь один параметр (оценка текущего уровня).
● первого порядка ( ).
● второго порядка, отражающей развитие в виде параболической тенденции .

точечный прогноз

ряда остатков нормальному закону распределения.
4. Равенство нулю средней ошибки.



Оценка точности

модели
Среднеквадратическое отклонение.
Минимальная по абсолютной величине ошибка.
Средняя относительная ошибка аппроксимации.

точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

Качество оценивается на основе исследования остаточной компоненты εt по критериям адекватности :
Критерий поворотных точек или p - критерий (свойство случайности);
R/S – критерий (нормальность распределения);
Критерий Дарбина-Уотсона или d – критерий (свойство независимости остатков);
Равенство математического ожидания нулю M(εt )= 0.
и критериям точности :
Среднее квадратическое отклонение S;
Средняя относительная ошибка аппроксимации ε отн.

ошибки).
Если случайная компонента имеет нормальное распределение, то

проверка выполняется по t- критерию Стьюдента



где – средне арифметическое значение εt ,
Sε – стандартное (среднеквадратическое) отклонение значений εt .

Если рассчитанное значение t- критерия Стьюдента меньше его табличного значения с уровнем значимости α и числом степеней свободы (n-1), то H0 нулевая гипотеза о равенстве нулю математического ожидания принимается.

случайности уровней ряда могут быть использованы критерий серий и критерий

поворотных точек.
Критерий «пиков», или критерий поворотных точек. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны.

служит для проверки свойства случайности колебаний остаточной компоненты относительно тренда.

Значение εt считается поворотной точкой если выполняется одно из условий:
εt-1< εt > εt+1 или εt-1> εt < εt+1 .
Свойство случайности с уровнем значимости 0,05 выполняется, если фактическое количество поворотных точек p больше расчетного:

критерий (свойство независимости остатков т.е. отсутствие автокорреляции):

,


где εi = yiфакт – yi расч .
Критерий d –распределен в интервале 0 … 4.
Если d < 2, то присутствует положительная авто-корреляция между остатками уровней и отрицательная - если d > 2 .
Если 0 < d < d1, то остатки содержат автокорреляцию.
Если d1 < d < d2, то имеется неопределенность и тогда рассчитывается первый коэффициент автокорреляции по формуле:

1 3

2 4

d1 ? d2 d’=4-d
0 0,98 1,36 2 4
|r(1)|<0,36
1- Свойство независимости не выполняется
2- Свойство независимости выполняется
3- Область неопределенности
4 – Критерий следует модифицировать d’=4-d
Для n = 15 значения d1= 1,08 и d2=1,36 (при уровне значимости 0,05).

(1) сопоставляется с r (1)табл табличным, и если r (1)

< r (1)табл, то автокорреляция отсутствует, в противном случае присутствует (r(1)табл=0,36 ).

Проверка независимости (отсутствие автокорреляции)
Коэффициент автокорреляции первого порядка

R/S -критерий

RS= (emax-emin )/Se, где
Если фактическое численное значение R/S-критерия попадает в диапазон табличных значений: для n = 10 => R/S = 2,67…3,68;
при уровне значимости =0,05, то H0 нулевая гипотеза о ненормальном распределении et отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1 о нормальном распределении случайной компоненты.

среднее квадратическое отклонение
,
где n – количество уровней ряда,

k - число факторов в модели.
Чем меньше значение Se тем выше точность модели;

средняя относительная ошибка аппроксимации

e отн = % .

Если e отн < 5% , то точность модели считается удовлетворительной,
при e отн > 10% - низкой.
Точность модели можно оценивать и по коэффициенту детерминации R2

считается та модель, которая имеет лучшие показатели качества.
Получение

точечного и интервального прогноза
Точечный прогноз получают путем подстановки в модель значений фактора времени на прогнозируемом шаге
ŷn+k = a0 + a1·(n+k), где n + k = t.
Поскольку вероятность точечного прогноза близка к нулю, то рассчитывается интервальный прогноз
ŷn+k [ŷn+k ± uk],

где uk = S· tα· . .

Прошлое Будущее

Настоящее

t

y

Yp=a0+a1t

Точечный
прогноз

Интервальный
прогноз