Электрический заряд и его свойства

частиц (инвариантом!) – электронов и протонов. Заряд этих частиц одинаков

по абсолютной величине, противоположен по знаку и называется элементарным зарядом ( = 1,6 · 10 -19 Кл в системе СИ)).


Если каким-либо образом создать в теле избыток частиц одного знака, тело окажется заряженным. Поскольку всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, он является кратным е:
(1)
Это означает, что величина заряда любого тела может принимать только дискретные значения, кратные e.

Закон сохранения заряда: в электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов есть величина постоянная

Величина заряда не зависит от того, покоится заряженное тело или движется, т.е. она является релятивистки инвариантной величиной.

в вакууме имеет вид (см. рис. 1.1):

, (2)
Модуль силы взаимодействия

можно представить в виде:

(3)
Здесь k – коэффициент пропорциональности, в системе СИ k =9·109 м/Ф ,
q1, q2 – величины взаимодействующих зарядов, r12 – расстояние между зарядами.

Рис. 1.1.

Сила взаимодействия направлена по прямой, соединяющей заряды (центральная сила). Рисунок соответствует случаю зарядов одного знака, (q1·q2 ) > 0, при этом между зарядами возникают силы отталкивания. Если точечные заряды имеют разные знаки, (q1· q2) < 0, между ними возникают силы притяжения.

электрическими зарядами Взаимодействие между неподвижными зарядами осуществляется посредством силового, электростатического

поля.

Пробным телом для электростатического поля является, так называемый, «пробный заряд». В качестве «пробного заряда» принято брать малый заряд, такой, чтобы своим электрическим полем он не искажал измеряемое поле.

Количественной характеристикой электростатического поля является напряженность, которая равна отношению силы, действующей со стороны поля на помещенный в эту точку «пробный заряд», к величине этого заряда:


(4)
Напряженность электрического поля, векторная величина, не зависит от величины вносимого в поле заряда и является его силовой характеристикой. Направление вектора напряжённости совпадает с силой, действующей на положительный заряд.

поля этого заряда в произвольной точке А (см. рис 1.2).

Для этого поместим в точку А пробный заряд . На основании закона Кулона имеем:

(5)

В векторном виде .

Рис. 1.2.

Поле точечного заряда обладает сферической симметрией:

линиями вектора или силовыми линиями.
Силовой линией

называется такая линия, касательная к каждой точке которой совпадает по направлению с вектором напряженности в данной точке (рис.1.3).

Силовые линии электростатического поля разомкнуты (начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных см. рис.1.4).

Рис. 1.3.

конденсатора (рис.1.5). В однородном поле напряженность в каждой точке одинакова

по величине и направлению, поэтому оно изображается системой параллельных силовых линий, равномерно распределенных в пространстве. Такое поле может создаваться бесконечной равномерно заряженной плоскостью или системой параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 1.5).

Рис. 1.5.

, создающих поле. Поместим в точку поля пробный заряд qпр. Тогда согласно (5)
(6)

Действие электростатического поля на заряд не зависит от наличия в этой области пространства других полей или зарядов, поэтому и сила взаимодействия любого заряда с пробным зарядом не зависит от присутствия других зарядов:

где – напряженность поля, создаваемого i-м зарядом в той точке, где нужно узнать напряженность поля системы зарядов.
Вследствие этого результирующая сила равна:

(7)
Сравнивая равенства (6) и (7), получим:

(8)
Последнее равенство и представляет собой математическое выражение принципа суперпозиции: «Напряженность электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов в произвольной его точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности».

знака (рис.1.6).

Рис. 1.6.

Модуль вектора E рассчитывается

по теореме косинусов.

, расположенную в электростатическом поле. Пусть в каждой точке

поверхности нам известны значение вектора напряженности и его направление (рис 1.7). Выделим элементарную площадку на этой поверхности и построим единичный вектор нормали к ней ( ).

Рис. 1.7.

интеграл:

(9)



Согласно свойствам скалярного произведения векторов интеграл (9) можно записать по-другому:


где

– угол между векторами и , а есть проекция вектора на нормаль к площадке .
Поток – величина скалярная, он может быть как положительным, так и отрицательным; знак потока зависит от угла .
Если величина вектора одинакова на всей поверхности и угол, под которым вектор «протыкает» поверхность везде одинаков (рис. 1.8), поток .
Таким образом, поток создается нормальной составляющей вектора . Если вектор направлен по касательной к поверхности, не «протыкает» ее, то поток в этом случае равен нулю.

Рис. 1.8.

равен алгебраической сумме электрических зарядов, находящихся внутри этой поверхности, деленной

на .

В качестве простого доказательства этой теоремы проверим справедливость этой теоремы для случая точечного заряда.
Построим вокруг положительного точечного заряда величиной сферу произвольного радиуса с центром в той точке, где находится заряд (рис.1.9).

Рис. 1.9.

и равна


Вектор перпендикулярен поверхности сферы, во всех ее

точках, и направлен от заряда по силовой линии вдоль радиуса сферы. Пользуясь определением (9), рассчитаем поток через замкнутую поверхность построенной сферы:


Видно, теорема оказалась справедлива для случая точечного заряда.
Гаусс доказал, что поток не изменится, если изменить радиус сферы, сместить ее центр, деформировать сферу, сделать складки на ее поверхности (рис.1.10).

Рис. 1.10.

форме для любого количества зарядов внутри сферы может быть записана

в виде:

(10)

Дифференциальную форму теоремы получил Остроградский. Если заряд распределен равномерно внутри замкнутой поверхности объемом , можно выразить этот заряд через объемную плотность заряда :

Тогда поток вектора через эту поверхность согласно доказанной теореме:



Теперь разделим обе части равенства на и будем «стягивать» этот объем в точку. Тогда в пределе

обозначают

Дивергенция в декартовых координатах вычисляется по формуле:



Итак, в дифференциальной форме теорема Остроградского для электростатического поля в вакууме имеет вид:

(11)

В интегральной форме полная математическая запись теоремы Остроградского – Гаусса имеет вид:


то есть показывает связь потока вектора с его дивергенцией.

равномерно по поверхности сфера. Рассмотрим сферическую поверхность радиуса R с

поверхностной плотностью заряда

Нужно найти зависимость величины напряженности поля сферы от расстояния до ее центра .

Определим поле внутри сферы, когда . Построим внутри сферы концентрическую с ней сферическую поверхность радиуса см. рис. 1.11.

Поток вектора через эту поверхность имеет вид:

теоремы Гаусса должен быть равен нулю. Следовательно, и напряженность поля

внутри заряженной по поверхности сферы будет равна нулю (рис 1.11).
Далее для внешней области . строим вспомогательную сферу радиуса и определяем поток через ее поверхность: .

Однако в этом случае он будет равен


Отсюда получаем:

(12)

Таким образом, поле внутри сферы отсутствует, а вне сферы совпадает с полем точечного заряда, равного заряду сферы и помещенного в ее центре (рис. 1.11).

распределение поля: 2. Равномерно заряженной бесконечно протяжённой плоскости с поверхностной

плотностью зарядов . Оно однородно и имеет вид:
и (13)
3. Поле плоского конденсатора внутри однородно, снаружи отсутствует и имеет вид:
(14)
4. Поле бесконечной однородно заряженной нити имеет вид:

, (15)
где - линейная плотность заряда нити.
Из соотношения видно, что напряженность поля бесконечной заряженной равномерно нити убывает обратно пропорционально расстоянию до нити.