Элементы линейной алгебры

главной и побочной диагонали.
Определители второго порядка обозначаются символами
а11 а12

а11, а22 – главная диагональ
а21 а22 а21, а12 – побочная диагональ
аij – элементы определителя
i – номер строки
J – номер столбца

а11 ∙ а22 ∙ а33 +

а21 ∙ а13 ∙ а32 +
а21 а22 а23 = + а31 ∙ а12 ∙ а23 – а31 ∙ а22 ∙ а13 -
а31 а32 а33 - а11 ∙ а32 ∙ а23 – а21 ∙ а12 ∙ а33

Определители третьего порядка вычисляются с помощью правила треугольников:

его величина умножается на это же число.


При перестановке строк

определитель изменяет знак на противоположный.


Если один из столбцов определителя равен нулю, то и определитель равен нулю.

Свойства определителей

на произвольное число, то величина определителя не изменится:


Если один

из столбцов определителя может быть представлен в виде суммы столбцов
, то определитель равен сумме определителей и :

Определитель с одинаковыми строками равен нулю.
Определитель с пропорциональными строками равен нулю.

и столбца на пересечении которых находится данный элемент.

Алгебраическим дополнением называется

минор, взятый со своим знаком:
если сумма номеров строки и столбца на пересечении которых находится данный элемент число четное, то ставится знак +
если сумма номеров строки и столбца на пересечении которых находится данный элемент число нечетное, то ставится знак -

а11 а12 а13

а21 а22 а23
а31 а32 а33

А11= +

А12= -

А13= +

а22 а23
а32 а33

а21 а23
а31 а33

а21 а22
а31 а32

строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Например:
2 -1 4
7

2 3 = 2 ∙ - (-1) ∙ + 4 ∙ =
3 -2 1
= 2∙ (2+6)+1∙ (7-9)+4 ∙(-14-6) = 16-2-80 = -66
2 -3 1
6 -6 2 = 1∙ - 2 ∙ + 2 ∙ =
2 -1 2
= 1∙ (-6+12)-2∙ (-2+6)+2 ∙ (-12+18) = 10

2 3
-2 1

7 3
3 1

7 2
3 -2

6 -6
2 -1

2 -3
2 -1

2 -3
6 -6

x1, x2 - неизвестные
a21x1+ a22x2=b2 aij – коэффициенты
b1, b2 – свободные члены
∆ = Если определитель ∆ не равен 0, то система имеет единственное решение,
которое находится по формуле:
∆x1 =

∆x2 =


Формула Крамера

а11 a12
а21 a22

b1 a12
b2 a22

a11 b1
a21 b2

=b1 x1,

x2, x3 - неизвестные
a21x1+ a22x2+ a23x3 =b2 aij - коэффициенты
a31x1+ a32x2+ a33x3 =b3 b1, b2, b3 - свободные члены

∆ = ∆x2=


∆x1= ∆x3=

а11 a12 a13
а21 a22 a23
a31 a32 a33

b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33

a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33

a11 a21 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3

решение, которое находится по формуле:

таблицу.

А=

аij – элементы определителя
i – номер строки
j – номер столбца
Данная матрица имеет размер m×n.

а11 a12 … a1n
а21 a22 … a2n
am1 am2 … amn

Матрицы

матрицей называется матрица, в которой m≠n.
Единичной (обозначается Е)

называется матрица с единицами на главной диагонали.

Виды матриц

состоящая из одной строки, называется матрица-строка.


Матрица, состоящая из одного

столбца, называется матрица-столбец.

а11 a12 … a1n

а11
а21
am1

строк на столбцы.

А=

АТ=


Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое количество строе и одинаковое количество столбцов и их соответствующие элементы равны).

а11 a12 a13
а21 a22 a23
а31 a32 a33

а11 a21 a31
а12 a22 a32
a13 a23 a33

умножением каждого ее элемента на заданное число.

k ∙

=

Суммой матриц А и В одного размера называется матрица С=А+В такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

С = + =

Действия над матрицами

а11 a12 a13
а21 a22 a23
a31 a32 a33

kа11 ka12 ka13
kа21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33

а11 a12
а21 a22

b11 b12
b21 b22

a11+ b11 a12+ b12
a21+ b21 a22+ b22

такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-ой строке и

j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы.


А∙В = ∙ =


=

Две матрицы можно перемножать тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
A∙ A−1 =

A−1∙ A = Е
Определитель матрицы A не должен быть равен 0.

Формула нахождения обратной матрицы A−1:

Обратная матрица