Элементы линейной алгебры 1

Содержание

1. Элементы линейной алгебры 1
2. МатрицыМатрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел,
3. Виды матриц. Квадратная матрица (m=n)
4. Виды матриц. Диагональная матрица
5. Виды матриц. Единичная и нулевая матрицыНулеваяЕдиничная
6. Виды матриц. Ступенчатая матрица, матрица-столбец и матрица-строкаСтупенчатая Матрица-строка (1n) Матрица-столбец (m1)
7. Равенство матриц1) Размеры матриц совпадают2) Соответствующие элементы
8. Сумма матрицПример.Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового
9. Разность матрицПример.Разностью матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового
10. Произведение матрицы на числоПроизведением матрицы A=(aij) на
11. Умножение матрицПроизведением матрицы A=(aij) (размера mp) на
12. Умножение матриц
13. Транспонирование матрицыМатрица АТ называется транспонированной к матрице А, если в ней поменяли местами строки и столбцы.
14. Определитель матрицыОпределитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.1.2.3.
15. Определитель матрицыМинором Mij некоторого элемента aij определителя
16. Определитель матрицыАлгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется
17. Обратная матрицаПусть дана невырожденная (det A≠0) квадратная
18. Обратная матрицаТеорема.Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную
19. Системы линейных уравненийСистемой m линейных уравнений с
20. Матричный вид системыОбозначения:Матрица коэффициентов при неизвестныхСтолбец неизвестныхСтолбец свободных членов
21. Матричные уравненияМатричная запись системы:A·X=BA-1 ─ существуетПусть m=nПусть detA≠0Тогда
22. Правило КрамераПусть m=nПусть detA = Δ ≠ 0Рассмотрим системуJ – столбецОбозначим
23. Правило КрамераРешение системы
24. Ранг матрицыРассмотрим матрицу AРангом матрицы r(A) называется
25. Элементарные преобразования матрицВычеркивание нулевой строкиЭлементарные преобразования матрицПерестановка
26. Элементарные преобразования матрицТеорема 1.Любую матрицу с помощью
27. Метод ГауссаМетод последовательного исключения неизвестных – наиболее
28. Метод ГауссаРассмотрим системуС помощью элементарных преобразований приводим ее к равносильной системе ступенчатого вида:
29. Метод ГауссаВозможен один из следующих случаев:1) система
30. Теорема Кронекера-КапеллиРассмотрим систему уравненийОбозначим
31. Теорема Кронекера-КапеллиТеорема.Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда
32. Скачать презентанцию

МатрицыМатрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа aij – элементы матрицы:i – номер строкиj – номер столбца.Обозначения матриц:A, B, C … или (aij),

Главная
Разное
Элементы линейной алгебры 1

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1 Элементы линейной алгебры

Слайд 2Матрицы
Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и

n столбцов.
Числа aij – элементы матрицы:
i – номер строки
j –

номер столбца.

Обозначения матриц:
A, B, C … или (aij), (bij), (cij) ...

МатрицыМатрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Числа aij –

Слайд 3Виды матриц. Квадратная матрица (m=n)

Слайд 4Виды матриц. Диагональная матрица

Слайд 5Виды матриц. Единичная и нулевая матрицы
Нулевая
Единичная

Слайд 6Виды матриц. Ступенчатая матрица, матрица-столбец и матрица-строка
Ступенчатая
Матрица-строка (1n)
Матрица-столбец (m1)

Слайд 7Равенство матриц
1) Размеры матриц совпадают
2) Соответствующие элементы матриц равны:
aij=bij,
i=1,m; j=1,n.
Две матрицы
A= (aij) и B=(bij) называются

равными, если

Равенство матриц1) Размеры матриц совпадают2) Соответствующие элементы матриц равны:aij=bij,i=1,m; j=1,n.Две матрицыA= (aij) и B=(bij) называются равными, если

Слайд 8Сумма матриц
Пример.
Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера mn называется матрица

C=(cij) размера mn, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A

и B

Сумма матрицПример.Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера mn называется матрица C=(cij) размера mn, каждый элемент которой

Слайд 9Разность матриц
Пример.
Разностью матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера mn называется матрица

C=(cij) размера mn, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов матриц A

и B

Разность матрицПример.Разностью матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера mn называется матрица C=(cij) размера mn, каждый элемент которой

Слайд 10Произведение матрицы на число
Произведением матрицы A=(aij) на число  называется матрица

того же размера, элементы которой равны aij.

Произведение матрицы на числоПроизведением матрицы A=(aij) на число  называется матрица того же размера, элементы которой равны

Слайд 11Умножение матриц
Произведением матрицы A=(aij) (размера mp) на матрицу B=(bij) (размера pn) называется

матрица C=(cij) (размера mn), элементы которой вычисляются по формулам:

Умножение матрицПроизведением матрицы A=(aij) (размера mp) на матрицу B=(bij) (размера pn) называется матрица C=(cij) (размера mn), элементы

Слайд 12Умножение матриц

Слайд 13Транспонирование матрицы
Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в

ней поменяли местами строки
и столбцы.

Слайд 14Определитель матрицы
Определитель – это число,
характеризующее квадратную
матрицу.

1.
2.
3.

Слайд 15Определитель матрицы
Минором Mij некоторого элемента aij
определителя называется определитель,
полученный

из исходного
вычеркиванием строки и столбца,
на пересечении которых стоит
данный

элемент.

Слайд 16Определитель матрицы
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента,

умноженный на (-1)S , где S – сумма номеров строки

и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin |A|=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj

Определитель матрицыАлгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)S , где S –

Слайд 17Обратная матрица
Пусть дана невырожденная (det A≠0) квадратная матрица порядка n
Матрица А-1

называется обратной к матрице А, если выполняются равенства
Е – единичная матрица.

Обратная матрицаПусть дана невырожденная (det A≠0) квадратная матрица порядка nМатрица А-1 называется обратной к матрице А, если

Слайд 18Обратная матрица
Теорема.
Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.
Aij – алгебраическое дополнение

элемента aij,
| A | – определитель матрицы A.

Обратная матрицаТеорема.Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.Aij – алгебраическое дополнение элемента aij,| A | – определитель

Слайд 19Системы линейных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система

вида
где aij и bi ─ числа, xi – неизвестные.
,
Решением системы

уравнений называется такой набор чисел x1, x2 .. xn, при котором каждое уравнение системы обращается в тождество

Системы линейных уравненийСистемой m линейных уравнений с n неизвестными называется система видагде aij и bi ─ числа,

Слайд 20Матричный вид системы
Обозначения:
Матрица коэффициентов при неизвестных
Столбец неизвестных
Столбец свободных членов

Слайд 21Матричные уравнения
Матричная запись системы:
A·X=B
A-1 ─ существует
Пусть m=n
Пусть detA≠0
Тогда

Слайд 22Правило Крамера
Пусть m=n
Пусть detA = Δ ≠ 0
Рассмотрим систему
J –

столбец
Обозначим

Слайд 23Правило Крамера
Решение системы

Слайд 24Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу A

Рангом матрицы r(A) называется порядок его базисного минора.

Минор

Mk матрицы A называется ее базисным минором, если он отличен

от нуля, а все миноры матрицы A более высокого порядка k+1, k+2, …, t равны нулю.

Ранг матрицыРассмотрим матрицу AРангом матрицы r(A) называется порядок его базисного минора.Минор Mk матрицы A называется ее базисным

Слайд 25Элементарные преобразования матриц
Вычеркивание нулевой строки
Элементарные преобразования матриц
Перестановка двух строк
Прибавление к одной из строк другой

строки, умноженной на любое число

Элементарные преобразования матрицВычеркивание нулевой строкиЭлементарные преобразования матрицПерестановка двух строкПрибавление к одной из строк другой строки, умноженной на

Слайд 26Элементарные преобразования матриц
Теорема 1.

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому

виду.

Теорема 2.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу

(ненулевых) строк.

Элементарные преобразования матрицТеорема 1.Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.Теорема 2.При элементарных преобразованиях

Слайд 27Метод Гаусса

Метод последовательного исключения неизвестных – наиболее распространенный метод решения систем линейных

уравнений.

Суть метод Гаусса:
а) из всех уравнений системы кроме первого

исключается неизвестное x1;

б) из всех уравнений системы кроме первого и второго
исключается неизвестное x2;

в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего
исключается неизвестное x3 и т.д.

Метод ГауссаМетод последовательного исключения неизвестных – наиболее распространенный метод решения систем линейных уравнений.Суть метод Гаусса: а) из

Слайд 28Метод Гаусса
Рассмотрим систему
С помощью элементарных преобразований приводим ее к равносильной системе

ступенчатого вида:

Слайд 29Метод Гаусса
Возможен один из следующих случаев:
1) система не имеет решений (система

несовместна);
2) система имеет единственное решение;
3) система имеет бесчисленное множество решений.

Метод ГауссаВозможен один из следующих случаев:1) система не имеет решений (система несовместна);2) система имеет единственное решение;3) система

Слайд 30Теорема Кронекера-Капелли
Рассмотрим систему уравнений
Обозначим

Слайд 31Теорема Кронекера-Капелли
Теорема.
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Элементы линейной алгебры 1

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1 Элементы линейной алгебры

Слайд 2МатрицыМатрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и

n столбцов. Числа aij – элементы матрицы:i – номер строкиj –

Слайд 3Виды матриц. Квадратная матрица (m=n)

Слайд 4Виды матриц. Диагональная матрица

Слайд 5Виды матриц. Единичная и нулевая матрицыНулеваяЕдиничная

Слайд 6Виды матриц. Ступенчатая матрица, матрица-столбец и матрица-строкаСтупенчатая Матрица-строка (1n) Матрица-столбец (m1)

Слайд 7Равенство матриц1) Размеры матриц совпадают2) Соответствующие элементы матриц равны:aij=bij,i=1,m; j=1,n.Две матрицыA= (aij) и B=(bij) называются

равными, если

Слайд 8Сумма матрицПример.Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера mn называется матрица

C=(cij) размера mn, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A

Слайд 9Разность матрицПример.Разностью матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера mn называется матрица

C=(cij) размера mn, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов матриц A

Слайд 10Произведение матрицы на числоПроизведением матрицы A=(aij) на число  называется матрица

того же размера, элементы которой равны aij.

Слайд 11Умножение матрицПроизведением матрицы A=(aij) (размера mp) на матрицу B=(bij) (размера pn) называется

матрица C=(cij) (размера mn), элементы которой вычисляются по формулам:

Слайд 12Умножение матриц

Слайд 13Транспонирование матрицыМатрица АТ называется транспонированной к матрице А, если в

ней поменяли местами строки и столбцы.

Слайд 14Определитель матрицыОпределитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.1.2.3.

Слайд 15Определитель матрицыМинором Mij некоторого элемента aij определителя называется определитель, полученный

из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоитданный

Слайд 16Определитель матрицыАлгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента,

умноженный на (-1)S , где S – сумма номеров строки

Слайд 17Обратная матрицаПусть дана невырожденная (det A≠0) квадратная матрица порядка nМатрица А-1

называется обратной к матрице А, если выполняются равенстваЕ – единичная матрица.

Слайд 18Обратная матрицаТеорема.Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.Aij – алгебраическое дополнение

элемента aij,| A | – определитель матрицы A.

Слайд 19Системы линейных уравненийСистемой m линейных уравнений с n неизвестными называется система

видагде aij и bi ─ числа, xi – неизвестные.,Решением системы

Слайд 20Матричный вид системыОбозначения:Матрица коэффициентов при неизвестныхСтолбец неизвестныхСтолбец свободных членов

Слайд 21Матричные уравненияМатричная запись системы:A·X=BA-1 ─ существуетПусть m=nПусть detA≠0Тогда

Слайд 22Правило КрамераПусть m=nПусть detA = Δ ≠ 0Рассмотрим системуJ –

столбецОбозначим

Слайд 23Правило КрамераРешение системы

Слайд 24Ранг матрицыРассмотрим матрицу AРангом матрицы r(A) называется порядок его базисного минора.Минор