Элементы общей алгебры

которых определены действия, удовлетворяющие основным алгебраическим аксиомам

а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах»
Софи Жермен
Алгебра

— наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств

A в множество A, при этом образ пары (x, y) обозначим,

например, x  y, где  — символ операции. Здесь A — произвольное непустое множество и AA — множество всех упорядоченных пар (x, y) — таких, что x, y  A. Непустое множество A называется основным множеством операции.
Можно составить иерархию множеств с бинарной операцией (разумеется, вместо  может быть вставлена любая — +, –, *, , , , , ,  и т.д. и т.п.).

элемента

на A={Саша, Даша, Петя}

Пример2: f=a mod3 b на A={0,1,2}
Списком троек (1-ый аргумент, 2-ой аргумент, значение).
Пример1: (Саши, Даши, Даша), (Саши, Маши, Саша), (Саши, Саши, Саша), (Даши, Маши, Саша), (Даши, Даша, Даша), (Маши, Маши, Петя), (Пети, Даши, Петя), (Пети, Маши, Петя), (Пети, Саши, Саша), (Петя, Петя, Саша)
Пример2: (0,0,0), (0,1,1), (0,2,2,), (1,0,1), (1,1,2), (1,2,0), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)

Таблицей Кэли - есть таблица nn, в которой элемент xy  A находится в клетке пересечения строки x и столбца y.

задана некоторая бинарная операция, обозначаемая . Если множество группоида конечно,

то есть A = card (A) = n, то таблица Кэли операции группоида есть таблица  n  n, в которой элемент x  y  A находится в клетке пересечения строки x и столбца y. Конечный группоид можно считать заданным, если выписана его таблица Кэли.

закону ассоциативности, т.е. группоид (A,), в котором для каждой тройки

элементов a , b и с  выполняется условие a  ( b  с) = (a  b)  с.
Моноид — это, по определению, полугруппа с единицей.

бинарная операция которого (например, ) такова, что каждое из уравнений

a  x = b, y  a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества.
Лупа, или квазигруппа с единицей, определение которой получается из аксиом группы отбрасыванием требования ассоциативности, особенно близка к группе.

— есть лупа, являющаяся в то же время полугруппой.

Пусть G — произвольное непустое множество, на котором задана бинарная алгебраическая операция  , т.е. для любых двух элементов a  и b из G определен некоторый элемент (обозначаемый, например, a  b) также из G.
Если при этом выполняются условия:
1) (a  b)  c = a   (b  c) для любых a, b и c из G;
2) в G существует такой элемент e (называемый единицей, иногда — нейтральным элементом), что a  e = e  a = a для любого a из G;
3) для любого a из G существует такой элемент a –1 (обратный к a элемент), что a  a –1 =  a –1  a =  e,
то множество G с заданной на нем операцией    назовем группой.
Абелева группа есть группа (A, ), в которой для любых двух элементов a , b  A имеет место a  b = b  a .

m} называется алгеброй. Обозначение алгебры: A = (M; 1, 2,…,

m), где M — называется основным множеством (несущим множеством, носителем) алгебры, а  = {1, 2,…, m} — сигнатурой алгебры A.
Типом алгебры A называется вектор арностей операций сигнатуры.
Множество M с заданными на нем отношениями {R1, R2,…, Rn} называется моделью. Обозначение модели: M = (M; R1, R2,…, Rn), где M — несущее множество (универсум) модели, а  = { R1, R2,…, Rn} — сигнатурой модели M.
Множество M с заданными на нем операциями {1, 2,…, m} и отношениями {R1, R2,…, Rn} называется алгебраической системой или алгебраической структурой. Обозначение алгебраической структуры: M = (M; 1, 2,…, m; R1, R2,…, Rn).

образ, вид, форма) – это одно из основных понятий современной

математики, которое исторически возникло сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим системам, как группы, кольца, поля и др., но оказавшееся принципиально существенным для общего понимания строения и структуры самых разных систем.
Пусть даны две системы объектов S и S/ , причем в первой системе S определены отношения Fk (x1, x2, ...), k = 1, 2, ..., n, а во второй системе S/ – определены отношения F/k (x/1, x/2, ...), k = 1, 2, ..., n. Системы S и S/ с указанными на них здесь отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x/=(x), x = (x/), где x – произвольный элемент системы S, а x/ – произвольный элемент системы S/, что из наличия Fk (x1, x2, ...) вытекает F/k (x/1, x/2, ...), и наоборот. Отображение  называется в этом случае изоморфным отображением или изоморфизмом системы S на систему S/, а обратное ему отображение  – изоморфизмом системы S/, на систему S. Факт изоморфности систем S и S/ обозначается следующим образом: SS /.

) – отображение множества элементов одной алгебраической системы в (в

том числе на) другую, сохраняющее все значимые отношения (в частности, все операции).
АВТОМОРФИЗМ (от греческих слов  – сам и ) – изоморфизм некоторой системы объектов на себя.
ЭНДОМОРФИЗМ – (от греческих слов  – внутри и ) – гомоморфизм алгебраической системы в (в том числе и на) себя.

после и ) или, что то же самое, сюръективное отображение

(СЮРЪЕКЦИЯ) множества A на множество B – отображение f такое, что образ A есть все B, т.е. f(A)=B.
МОНОМОРФИЗМ – (от греческих слов  – один и ) или, что то же самое, инъективное отображение (ИНЪЕКЦИЯ) множества A в множество B – отображение, при котором различные элементы из A имеют различные образы в B. Инъективное отображение называют также взаимно однозначным отображением множества A в множество B или вложением.
БИМОРФИЗМ – (от латинского bi – двойной, двоякий и ) или, что то же самое, биективное отображение (БИЕКЦИЯ) –мономорфизм и эпиморфизм одновременно.

множество R, для элементов которого определены две бинарные операции —

сложение и умножение (обозначаемые  и  соответственно; знак  обычно опускается), причем предполагаются выполненными следующие аксиомы колец (a, b, c  R):
Коммутативность сложения: a  b = b  a.
Ассоциативость сложения:
a  (b  c) = (a  b)  c.
Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение a  x = b имеет решение x = b  a   R.
  Дистрибутивность умножения относительно сложения:
a (b  c) = a b  a c и (b  c) a = b a  c a.

, то кольцо называют ассоциативным;
если

, альтернативным;
если ab = ba и , йордановым;
если a2 = a, a(bc) + b(ca) +c(ab) = 0, то оно называется кольцом Ли;
если ab = ba , то кольцо называется коммутативным.
Примеры колец:
множество всех целых чисел;
множество всех четных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу m;
множество всех рациональных чисел;
множество всех многочленов от одного или нескольких переменных с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;
множество всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой

(A, +) является абелевой группой, а система (A, ), где

A получается из A удалением нулевого элемента (т.е. нейтрального элемента абелевой группы), является группой и операция  дистрибутивна относительно операции + .
Теорема. Кольцо является телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух элементов и оба уравнения ax = b и xa = b, разрешимы для любых элементов a, b A, где a  0.
Тело служит обобщением системы (Q, + , ) рациональных чисел, однако требование коммутативности умножения опускается.
Теорема Веддербёрна. Всякое конечное тело коммутативно.

элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции — сложение

и умножение, обе ассоциативные и коммутативные, связанные между собой законом дистрибутивности, т.е. для любых a, b, c из поля справедливо:
a  b  b  a , ab  ba ,
(a  b)  c  a  (b  c), (ab) c  a (bc),
(a  b) c  ac   bc .
Кроме того, в поле требуется существование нулевого элемента 0 (нуля), для которого 0  a  a , и для каждого элемента a противоположного элемента –a, то есть такого элемента, что a  (–a )  0, а также существование единичного элемента e (единицы), для которого ae  a, и для каждого ненулевого элемента a существование обратного элемента a–1, т.е. такого элемента, что aa–1  e. Отсюда следует, что в поле выполнимы операция вычитания, а также операция деления на ненулевой элемент. Таким образом, все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы — абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля).

двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную

нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

и В  А. Тогда а из А есть мажоранта

множества В, если для всех b из B справедливо утверждение a ≥ b.
Пусть дано ( A, ≥ ) и В  А. Тогда а из А есть миноранта множества В, если для всех b из B справедливо утверждение b ≥ a.
Если мажоранта принадлежит B, то она называется максимумом множества B.
Если миноранта принадлежит B, то она называется минимумом множества B.
Как легко показать, при условии существования максимум (минимум) единственен.
Если множество всех мажорант в свою очередь имеет минимум, то этот элемент единственен и его называют наименьшей верхней гранью (НВГ) и обозначают Sup B.
Если множество всех минорант в свою очередь имеет максимум, то этот элемент единственен и его называют наибольшей нижней гранью (ННГ) и обозначают Inf B.

алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются  и 

или  и , а также  и ), удовлетворяющая следующим тождествам
(1) a  a = a, (1) a   a = a {идемпотентность},
(2) a  b = b  a, (2) a   b = b  a {коммутативность},
(3) (a  b)  c = a  (b  c), (3) (a  b) c = a   (b  c) {ассоциативность},
(4) a (a  b) = a, (4) a  a  b = a  {поглощение}.
Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:
a  b = sup {a, b},         a    b = inf {a, b}, 
и обратно. При этом для любых элементов a и b эквивалентны следующие утверждения: (а) a b  ; (б) a b = a; (в) a  b = b. Понятия изоморфизма решеток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают.

включению;
2) всякое линейно упорядоченное множество; причем если a b, то

sup{a, b} = b, а inf {a, b} = a;
3) множество всех надпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где inf — пересечение, а sup — сумма соответствующих надпространств;
4) множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: a b , если b = ac для некоторого c. Здесь sup — наименьшее общее кратное, а inf — наибольший общий делитель данных чисел;

представления ЧУМ. На а этих диаграммах изображают элементы ЧУМ, причем

если элемент a предшествует элементу b, то a рисуют ниже b, и соединяют отрезком, если a непосредственно предшествует b.